全国通用版2019版高考数学总复习专题四数列4.2数列解答题精选刷题练理.doc

4.2数列解答题命题角度1等差、等比数列的判定与证明高考真题体验对方向1.(2016全国17)已知数列an的前n项和Sn=1+an,其中0.(1)证明an是等比数列,并求其通项公式;(2)若S5=3132,求.解(1)(等比数列的定义与通项公式)由题意得a1=S1=1+a1,故1,a1=11-,a10.由Sn=1+an,Sn+1=1+an+1得an+1=an+1-an,即an+1(-1)=an.由a10,0得an0,所以an+1an=-1.因此an是首项为11-,公比为-1的等比数列,于是an=11-1n-1.(2)由(1)得Sn=1-1n.由S5=3132得1-15=3132,即-15=132.解得=-1.2.(2014全国17)已知数列an满足a1=1,an+1=3an+1.(1)证明an+12是等比数列,并求an的通项公式;(2)证明1a1+1a2+1an32.解(1)由an+1=3an+1得an+1+12=3an+12.又a1+12=32,所以an+12是首项为32,公比为3的等比数列.an+12=3n2,因此an的通项公式为an=3n-12.(2)由(1)知1an=23n-1.因为当n1时,3n-123n-1,所以13n-1123n-1.于是1a1+1a2+1an1+13+13n-1=321-13n32.所以1a1+1a2+1an32.新题演练提能刷高分1.(2018安徽江南十校3月联考)已知Sn是数列an的前n项和,且满足Sn-2an=n-4.(1)证明:Sn-n+2为等比数列;(2)求数列Sn的前n项和Tn.(1)证明原式转化为Sn-2(Sn-Sn-1)=n-4(n2),即Sn=2Sn-1-n+4,所以Sn-n+2=2Sn-1-(n-1)+2.注意到S1-1+2=4,所以Sn-n+2为首项为4,公比为2的等比数列.(2)解由(1)知:Sn-n+2=2n+1,所以Sn=2n+1+n-2,于是Tn=(22+23+2n+1)+(1+2+n)-2n=4(1-2n)1-2+n(n+1)2-2n=2n+3+n2-3n-82.2.(2018吉林长春质量监测二)已知数列an的通项公式为an=2n-11.(1)求证:数列an是等差数列;(2)令bn=|an|,求数列bn的前10项和S10.(1)证明an=2n-11,an+1-an=2(n+1)-11-2n+11=2(nN*),数列an为等差数列.(2)解由(1)得bn=an=|2n-11|,当n5时,bn=|2n-11|=11-2n;当n6时,bn=|2n-11|=2n-11.S10=55-2(1+2+3+4+5)+2(6+7+8+9+10)-55=50.3.(2018福建福州期末)已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=2an-1.(1)证明数列an是等比数列;(2)设bn=(2n-1)an,求数列bn的前n项和Tn.解(1)当n=1时,a1=S1=2a1-1,所以a1=1,当n2时,an=Sn-Sn-1=(2an-1)-(2an-1-1),所以an=2an-1,所以数列an是以a1=1为首项,以2为公比的等比数列.(2)由(1)知,an=2n-1,所以bn=(2n-1)2n-1,所以Tn=1+32+522+(2n-3)2n-2+(2n-1)2n-1,2Tn=12+322+(2n-3)2n-1+(2n-1)2n,-得-Tn=1+2(21+22+2n-1)-(2n-1)2n=1+22-2n-121-2-(2n-1)2n=(3-2n)2n-3,所以Tn=(2n-3)2n+3.4.(2018广西柳州、南宁第二次联考)设a1=2,a2=4,数列bn满足:bn+1=2bn+2且an+1-an=bn.(1)求证:数列bn+2是等比数列;(2)求数列an的通项公式.解(1)由题知bn+1+2bn+2=2bn+2+2bn+2=2,又b1=a2-a1=4-2=2,b1+2=4,bn+2是以4为首项,以2为公比的等比数列.(2)由(1)可得bn+2=42n-1,故bn=2n+1-2.an+1-an=bn,a2-a1=b1,a3-a2=b2,a4-a3=b3,an-an-1=bn-1.累加得an-a1=b1+b2+b3+bn-1,an=2+(22-2)+(23-2)+(24-2)+(2n-2)=2+22(1-2n-1)1-2-2(n-1)=2n+1-2n,即an=2n+1-2n(n2).而a1=2=21+1-21,an=2n+1-2n(nN*).命题角度2等差、等比数列的通项公式与前n项和公式的应用高考真题体验对方向1.(2018全国17)记Sn为等差数列an的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.(1)求an的通项公式;(2)求Sn,并求Sn的最小值.解(1)设an的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.由a1=-7得d=2.所以an的通项公式为an=2n-9.(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.2.(2018全国17)等比数列an中,a1=1,a5=4a3.(1)求an的通项公式;(2)记Sn为an的前n项和,若Sm=63,求m.解(1)设an的公比为q,由题设得an=qn-1.由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去),q=-2或q=2.故an=(-2)n-1或an=2n-1.(2)若an=(-2)n-1,则Sn=1-(-2)n3.由Sm=63得(-2)m=-188,此方程没有正整数解.若an=2n-1,则Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,解得m=6.综上,m=6.3.(2016全国17)Sn为等差数列an的前n项和,且a1=1,S7=28.记bn=lgan,其中x表示不超过x的最大整数,如0.9=0,lg99=1.(1)求b1,b11,b101;(2)求数列bn的前1 000项和.解(1)设an的公差为d,据已知有7+21d=28,解得d=1.所以an的通项公式为an=n.b1=lg 1=0,b11=lg 11=1,b101=lg 101=2.(2)因为bn=0,1n10,1,10n100,2,100n35成立的n的最小值.解(1)设等差数列an的公差为d,d0.因为a2,a3,a6成等比数列,所以a32=a2a6,即(1+d)2=1+4d,解得d=2或d=0(舍去).所以an的通项公式为an=a2+(n-2)d=2n-3.(2)因为an=2n-3,所以Sn=n(a1+an)2=n(a2+an-1)2=n2-2n.依题意有n2-2n35,解得n7.故使Sn35成立的n的最小值为8.2.(2018广东东莞二模)已知等比数列an与等差数列bn,a1=b1=1,a1a2,a1,a2,b3成等差数列,b1,a2,b4成等比数列.(1)求an,bn的通项公式;(2)设Sn,Tn分别是数列an,bn的前n项和,若Sn+Tn100,求n的最小值.解(1)设数列an的公比为q,数列bn的公差为d,则2q=2+2d,q2=1+3d,解得d=0,q=1(舍)或d=1,q=2,an=2n-1,bn=n.(2)由(1)易知Sn=1-2n1-2=2n-1.Tn=n(n+1)2.由Sn+Tn100,得2n+n(n+1)2101,2n+n(n+1)2是单调递增数列,且26+672=85101,n的最小值为7.3.(2018四川南充三诊)已知an是等比数列,a1=2,且a1,a3+1,a4成等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)若bn=log2an,求数列bn前n项的和.解(1)设数列an的公比为q,则a3=a1q2=2q2,a4=a1q3=2q3,因为a1,a3+1,a4成等差数列,所以a1+a4=2(a3+1),即2+2q3=2(2q2+1),整理得q2(q-2)=0,因为q0,所以q=2,所以an=22n-1=2n(nN*).(2)因为bn=log2an=log22n=n,所以Sn=b1+b2+bn=1+2+n=n(n+1)2(nN*).4.(2018湖北重点高中协作体期中)已知等差数列an的公差d为1,且a1,a3,a4成等比数列.(1)求数列an的通项公式;(2)设数列bn=2an+5+n,求数列bn的前n项和Sn.解(1)在等差数列an中,因为a1,a3,a4成等比数列,所以a32=a1a4,即(a1+2d)2=a12+3a1d,解得a1d+4d2=0.因为d=1,所以a1=-4,所以数列an的通项公式an=n-5.(2)由(1)知an=n-5,所以bn=2an+5+n=2n+n.Sn=b1+b2+b3+bn=(2+22+23+2n)+(1+2+3+n)=2(1-2n)1-2+n(1+n)2=2n+1+n(n+1)2-2.5.(2018安徽马鞍山第二次质监)已知数列an是等差数列,其前n项和为Sn,a2=37,S4=152.(1)求数列an的通项公式;(2)求数列|an-2n|的前n项和Tn.解(1)设数列an的首项为a1,公差为d,则a1+d=37,4a1+6d=152,解得a1=35,d=2,所以数列an的通项公式为an=2n+33(nN*).(2)由(1)知,|an-2n|=|2n+33-2n|=2n+33-2n(0n5),2n-(2n+33)(n6),当0n5时,|2n+33-2n|=2n+33-2n,有Tn=(35+2n+33)n2-2(1-2n)1-2=n2+34n-2n+1+2.当n6时,T5=133,|2n+33-2n|=2n-(2n+33),Tn-T5=64(1-2n-5)1-2-(45+2n+33)(n-5)2=2n+1-n2-34n+131,Tn=2n+1-n2-34n+264.综上所述:Tn=n2+34n-2n+1+2(00,解得q=2.所以,bn=2n.由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8.由S11=11b4,可得a1+5d=16,联立,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n-2.所以,数列an的通项公式为an=3n-2,数列bn的通项公式为bn=2n.(2)设数列a2nb2n-1的前n项和为Tn,由a2n=6n-2,b2n-1=24n-1,有a2nb2n-1=(3n-1)4n,故Tn=24+542+843+(3n-1)4n,4Tn=242+543+844+(3n-4)4n+(3n-1)4n+1,上述两式相减,得-3Tn=24+342+343+34n-(3n-1)4n+1=12(1-4n)1-4-4-(3n-1)4n+1=-(3n-2)4n+1-8.得Tn=3n-234n+1+83.所以,数列a2nb2n-1的前n项和为3n-234n+1+83.2.(2017山东19)已知xn是各项均为正数的等比数列,且x1+x2=3,x3-x2=2.(1)求数列xn的通项公式;(2)如图,在平面直角坐标系xOy中,依次连接点P1(x1,1),P2(x2,2)Pn+1(xn+1,n+1)得到折线P1P2Pn+1,求由该折线与直线y=0,x=x1,x=xn+1所围成的区域的面积Tn.解(1)设数列xn的公比为q,由已知q0.由题意得x1+x1q=3,x1q2-x1q=2.所以3q2-5q-2=0.因为q0,所以q=2,x1=1,因此数列xn的通项公式为xn=2n-1.(2)过P1,P2,Pn+1向x轴作垂线,垂足分别为Q1,Q2,Qn+1.由(1)得xn+1-xn=2n-2n-1=2n-1,记梯形PnPn+1Qn+1Qn的面积为bn,由题意bn=(n+n+1)22n-1=(2n+1)2n-2,所以Tn=b1+b2+bn=32-1+520+721+(2n-1)2n-3+(2n+1)2n-2.又2Tn=320+521+722+(2n-1)2n-2+(2n+1)2n-1,-得-Tn=32-1+(2+22+2n-1)-(2n+1)2n-1=32+2(1-2n-1)1-2-(2n+1)2n-1.所以Tn=(2n-1)2n+12.3.(2015全国17)Sn为数列an的前n项和.已知an0,an2+2an=4Sn+3.(1)求an的通项公式;(2)设bn=1anan+1,求数列bn的前n项和.解(1)由an2+2an=4Sn+3,可知an+12+2an+1=4Sn+1+3.可得an+12-an2+2(an+1-an)=4an+1,即2(an+1+an)=an+12-an2=(an+1+an)(an+1-an).由于an0,可得an+1-an=2.又a12+2a1=4a1+3,解得a1=-1(舍去),a1=3.所以an是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为an=2n+1.(2)由an=2n+1可知bn=1anan+1=1(2n+1)(2n+3)=1212n+1-12n+3.设数列bn的前n项和为Tn,则Tn=b1+b2+bn=1213-15+15-17+12n+1-12n+3=n3(2n+3).新题演练提能刷高分1.(2018河北石家庄一模)已知等比数列an的前n项和为Sn,且满足2Sn=2n+1+m(mR).(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn满足bn=1(2n+1)log2(anan+1),求数列bn的前n项和Tn.解(1)由2Sn=2n+1+m(mR)得2Sn-1=2n+m(mR),当n2时,2an=2Sn-2Sn-1=2n,即an=2n-1(n2),又a1=S1=2+m2,当m=-2时符合上式,所以通项公式为an=2n-1.(2)由(1)可得log2(anan+1)=log2(2n-12n)=2n-1,bn=1(2n+1)(2n-1)=1212n-1-12n+1,Tn=b1+b2+bn=121-13+13-15+12n-1-12n+1=n2n+1.2.(2018广东珠海3月质检)已知数列an的前n项和为Sn,满足a1=2,Sn+1-2Sn=2.(1)求数列an的通项an;(2)令bn=nSn+2,求数列bn的前n项和Tn.解(1)Sn+1-2Sn=2,Sn+2-2Sn+1=2,-得an+2=2an+1,a1=2,S2-2S1=a1+a2-2a1=a2-2=2,a2=4,nN*时,a2a1=2,an+2an+1=2,即nN*时,an+1an=2,数列an是以2为首项,2为公比的等比数列,an=2n.(2)Sn=2(2n-1)2-1=2n+1-2,则bn=n2n+1,Tn=b1+b2+b3+bn=122+223+324+n2n+1,2Tn=12+222+323+n2n,-得Tn=12+122+123+12n-n2n+112(1-12n)1-12-n2n+1=1-n+22n+1.3.(2018江西南昌一模)已知等比数列an的前n项和为Sn,满足S4=2a4-1,S3=2a3-1.(1)求an的通项公式;(2)记bn=log2(anan+1),数列bn的前n项和为Tn,求证:1T1+1T2+1Tn2.解(1)设an的公比为q,由S4-S3=a4得2a4-2a3=a4,所以a4a3=2,所以q=2.又因为S3=2a3-1,所以a1+2a1+4a1=8a1-1,所以a1=1.所以an=2n-1.(2)由(1)知bn=log2(an+1an)=log2(2n2n-1)=2n-1,所以Tn=1+(2n-1)2n=n2,所以1T1+1T2+1Tn=112+122+1n21+112+123+1(n-1)n=1+1-12+12-13+1n-1-1n=2-1n0,nN*).(1)证明:数列an为等比数列,并求an;(2)若=4,bn=an,n是奇数,log2an,n是偶数(nN*),求数列bn的前n项和Tn.(1)证明由题意可知S1=2a1-,即a1=;当n2时,an=Sn-Sn-1=(2an-)-(2an-1-)=2an-2an-1,即an=2an-1.所以数列an是首项为,公比为2的等比数列,所以an=2n-1.(2)解由(1)可知当=4时,an=2n+1,从而bn=2n+1,n是奇数,n+1,n是偶数.当n为偶数时,Tn=4(1-4n2)1-4+n2(3+n+1)2=4(2n-1)3+(n+4)n4;当n为奇数时,Tn=Tn+1-bn+1=4(1-4n+12)1-4+n+12(3+n+1+1)2-(n+2)=4(2n+1-1)3+(n+1)(n+5)4-n-2=4(2n+1-1)3+(n-1)(n+3)4.综上,Tn=4(2n-1)3+(n+4)n4,n是偶数,4(2n+1-1)3+(n-1)(n+3)4,n是奇数.5.(2018山西考前适应性测试)已知等比数列an中,an0,a1=4,1an-1an+1=2an+2,nN*.(1)求an的通项公式;(2)设bn=(-1)n(log2an)2,求数列bn的前2n项和T2n.解(1)设等比数列an的公比为q,则q0.因为1an-1an+1=2an+2,所以1a1qn-