2019-2020学年高一数学下学期第一次质检试题(含解析).doc

2019-2020学年高一数学下学期第一次质检试题(含解析)一、选择题（58=40）1下列函数中，周期为1的奇函数是（）Ay=12sin2xBCDy=sinxcosx2已知函数的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于，若将函数y=f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）的解析式是（）ABy=2sin2xCDy=2sin4x3在等差数列an中，首项a1=0，公差d0，若ak=a1+a2+a3+a7，则k=（）A22B23C24D254在数列an中，已知a1=1，a2=5，an+2=an+1an（nN*），则axx=（）A4B1C1D55等差数列an共有2n+1项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项为（）A28B29C30D316在等比数列an中，a1=2，前n项和为Sn，若数列an+1也是等比数列，则Sn等于（）A2n+12B3nC2nD3n17函数f（x）=|sinx+2cosx|+|2sinxcosx|的最小正周期为（）A2BCD8关于函数y=sin|2x|+|cos2x|下列说法正确的是（）A是周期函数，周期为B在上是单调递增的C在上最大值为D关于直线对称二、填空题（6+6+4+6+4+4+4=34）9在等比数列an中，Sn为其前n项和，已知a5=2S4+3，a6=2S5+3，则此数列的公比q= ，a4，a6的等比中项为 ，数列的最大值是 10在ABC中，已知向量=（cos18，cos72），=（2cos63，2cos27），则= ， = ，ABC的面积为 11若一个三角形两内角、满足2+=，则y=cos6sin的范围为 12在ABC中，已知a=5，b=4，cos（AB）=，则cosC= ，AB= 13在ABC中，已知a，b，c是角A、B、C的对应边，则若ab，则f（x）=（sinAsinB）x在R上是增函数；若a2b2=（acosB+bcosA）2，则ABC是Rt；cosC+sinC的最小值为；若cos2A=cos2B，则A=B；若（1+tanA）（1+tanB）=2，则，其中错误命题的序号是 14在数列an中，若a1=1，an+1=2an+3（n1），则该数列的通项an= 15已知数列an满足：a1=m（m为正整数），an+1=若a6=1，则m所有可能的取值为 三、解答题（154+16=76）16已知向量（1）若f（）=的值；（2）在ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足（2ac）cos B=bcos C，若f（A）=，试判断ABC的形状17已知公差大于零的等差数列an的前n项和为Sn，且满足：a3a4=117，a2+a5=22（1）求数列an的通项公式an；（2）若数列bn是等差数列，且，求非零常数c；（3）若（2）中的bn的前n项和为Tn，求证：18已知数列an的前n项和为Sn，点（an+2，Sn+1）在一次函数图象y=4x5上，其中nN*令bn=an+12an，且a1=1（1）求数列bn通项公式；（2）求数列nbn的前n项和Tn19在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，E，F分别是AC，AB的中点，（1）若C=60，b=1，c=3，求ABC的面积； （2）若3AB=2AC，t恒成立，求t的最小值20设数列an的各项都是正数，a1=1，bn=an2+an（1）求数列bn的通项公式；（2）求数列an的通项公式；（3）求证：1参考答案与试题解析一、选择题（58=40）1下列函数中，周期为1的奇函数是（）Ay=12sin2xBCDy=sinxcosx【考点】H1：三角函数的周期性及其求法；H3：正弦函数的奇偶性【分析】对A先根据二倍角公式化简为y=cos2x为偶函数，排除；对于B验证不是奇函数可排除；对于C求周期不等于1排除；故可得答案【解答】解：y=12sin2x=cos2x，为偶函数，排除A对于函数，f（x）=sin（2x+）sin（2x+），不是奇函数，排除B对于，T=1，排除C对于y=sinxcosx=sin2x，为奇函数，且T=，满足条件故选D2已知函数的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于，若将函数y=f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）的解析式是（）ABy=2sin2xCDy=2sin4x【考点】HK：由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；HJ：函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】函数f（x）=2sin（x），根据它的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于，求得=2图象向左平移个单位长度得到函数y=2sin2（x+）=2sin（2x）的图象，由此求得y=g（x）的解析式【解答】解：函数=2sin（x），根据它的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于，可得=，=2将函数y=f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数y=2sin2（x+）=2sin（2x）的图象，故y=g（x）的解析式是 y=2sin2x，故选B3在等差数列an中，首项a1=0，公差d0，若ak=a1+a2+a3+a7，则k=（）A22B23C24D25【考点】8F：等差数列的性质【分析】根据等差数列的性质，我们可将ak=a1+a2+a3+a7，转化为ak=7a4，又由首项a1=0，公差d0，我们易得ak=7a4=21d，进而求出k值【解答】解：数列an为等差数列且首项a1=0，公差d0，又ak=（k1）d=a1+a2+a3+a7=7a4=21d故k=22故选A4在数列an中，已知a1=1，a2=5，an+2=an+1an（nN*），则axx=（）A4B1C1D5【考点】8H：数列递推式【分析】利用a1=1，a2=5，an+2=an+1an（nN*），先分别求出a3，a4，a5，a6，a7，得到数列an是以6为周期的周期数列，由此能求出axx【解答】解：a1=1，a2=5，an+2=an+1an（nN*），a3=51=4，a4=45=1，a5=14=5，a6=5+1=4，a7=4+5=1，a8=1+4=5，数列an是以6为周期的周期数列，xx=3346+3，axx=a3=4，故选A5等差数列an共有2n+1项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项为（）A28B29C30D31【考点】8E：数列的求和【分析】方法一：利用奇数项与偶数项的差为a（2n+1）nd，从而可求方法二：等差数列有2n+1，S奇S偶=an+1，即可求得答案【解答】解：设数列公差为d，首项为a1，奇数项共n+1项：a1，a3，a5，a（2n+1），令其和为Sn=319，偶数项共n项：a2，a4，a6，a2n，令其和为Tn=290，有SnTn=a（2n+1）（a2a1）+（a4a3）+a（2n）a（2n1）=a（2n+1）nd=319290=29，有a（2n+1）=a1+（2n+11）d=a1+2nd，则a（2n+1）nd=a1+nd=29，数列中间项为a（n+1）=a1+（n+11）d=a1+nd=29故选B方法二：由等差数列的性质，若等差数列有2n+1，则S奇S偶=（a1+a3+a5+a2n+1）（a2+a4+a6+a2n）=（an+an+2）an+1=an+1=319290=29，故an+1=29，故选B6在等比数列an中，a1=2，前n项和为Sn，若数列an+1也是等比数列，则Sn等于（）A2n+12B3nC2nD3n1【考点】89：等比数列的前n项和【分析】根据数列an为等比可设出an的通项公式，因数列an+1也是等比数列，进而根据等比性质求得公比q，进而根据等比数列的求和公式求出sn【解答】解：因数列an为等比，则an=2qn1，因数列an+1也是等比数列，则（an+1+1）2=（an+1）（an+2+1）an+12+2an+1=anan+2+an+an+2an+an+2=2an+1an（1+q22q）=0q=1即an=2，所以sn=2n，故选C7函数f（x）=|sinx+2cosx|+|2sinxcosx|的最小正周期为（）A2BCD【考点】H1：三角函数的周期性及其求法【分析】由题意，不难发现sinx和cosx相互置换后结果不变根据诱导公式化简可得周期【解答】解：由f（x）的表达式可知，sinx和cosx相互置换后结果不变f（x+）=|sin（x+）+2cos（x+）|+|2sin（x+）cos（x+）|=|cosx2sinx|+|2cosx+sinx|=f（x）；可见为f（x）的周期，下面证明是f（x）的最小正周期考察区间0，当0x时，f（x）=2cosx，f（x）单调递减，f（x）由2单调递减至；当x时，f（x）=2sinx，f（x）单调递增，f（x）由单调递增至2；由此可见，在0，内不存在小于的周期，由周期性可知在任何长度为的区间内均不存在小于的周期；所以即为f（x）的最小正周期，故选C8关于函数y=sin|2x|+|cos2x|下列说法正确的是（）A是周期函数，周期为B在上是单调递增的C在上最大值为D关于直线对称【考点】H2：正弦函数的图象【分析】分类讨论、利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论【解答】解：对于函数y=sin|2x|+|cos2x|，当2x0，），y=sin2x+cos2x=sin（2x+）；当2x，），y=sin2xcos2x=sin（2x）；当2x，），y=sin2xcos2x=sin（2x+）；当2x，2），y=sin2x+cos2x=sin（2x）；故函数y的周期为2，故排除A在上，2x，即2x，2x+，函数y=sin（2x+） 单调递减，故B正确由于函数y的最大值最大值为，不会是，故排除C；当时，函数y=1，不是最值，故函数的图象不会关于直线对称，故排除D，故选：B二、填空题（6+6+4+6+4+4+4=34）9在等比数列an中，Sn为其前n项和，已知a5=2S4+3，a6=2S5+3，则此数列的公比q=3，a4，a6的等比中项为243，数列的最大值是【考点】88：等比数列的通项公式【分析】对于第一空：根据已知条件得出2S52S4=a63（a53）=a6a5=2a5，得出3a5=a6，然后根据两项的关系得出3a5=a5q，答案可得q的值；对于第二空：由a5=2S4+3求得a1的值，易得该数列的通项公式，求出a4，a6的值，由等比中项的性质计算可得答案；对于第三空：设bn=，计算可得数列的通项公式为bn=，分析可得bn+1bn=，结合n的范围可得bn+1bn=0，即数列bn=为递减数列，可得n=1时，数列有最大值，将n=1代入计算可得答案【解答】解：a5=2S4+3，a6=2S5+3，即2S4=a53，2S5=a632S52S4=a63（a53）=a6a5=2a5即3a5=a63a5=a5q解得q=3，则由a5=2S4+3得到：34a1=2+3，解得a1=3，则a4=a1q3=34，a6=a1q5=36，则a4，a6的等比中项为=243，设bn=，又由a1=3，q=3，则an=a1qn1=3n，则有=，即数列的通项公式为bn=，bn+1bn=，当n1时，有bn+1bn=0，即数列bn=为递减数列，则其最大值为b1=；故答案为：3，243，10在ABC中，已知向量=（cos18，cos72），=（2cos63，2cos27），则=1， =2，ABC的面积为【考点】GI：三角函数的化简求值【分析】根据向量的模长=可得答案在根据向量加减的运算求出，可得|，即可求出三角形的面积【解答】解：向量=（cos18，cos72），=（2cos63，2cos27），则=c=，=a=，+=（2cos63+cos18，2cos27+cos72）可得|=b=）=由余弦定理，可得cosB=，则sinB=则ABC的面积S=acsinB=故答案为：1，2，11若一个三角形两内角、满足2+=，则y=cos6sin的范围为（5，1）【考点】GI：三角函数的化简求值【分析】先由：2+=，结合配方法将y=cos（2）6si转化为：y=2（sin）2，再令t=sin（0，1），用二次函数的性质求解【解答】解：一个三角形两内角、满足2+=，、均大于零，2，（0，）则y=cos6sin=cos（2）6sin=cos26sin=2sin26sin1=2（sin）2，令t=sin，根据（0，），可得t（0，1），则y=2，当t=0时，y=1；当t=1时，y=5，且函数y在（0，1）上单调递减，y（5，1），故答案为：（5，1）12在ABC中，已知a=5，b=4，cos（AB）=，则cosC=，AB=6【考点】HT：三角形中的几何计算【分析】由已知得AB在BC上取D，使得BD=AD，连接AD，设BD=x，则AD=x，DC=5x在ADC中，cosDAC=cos（AB）=，由余弦定理求出x=4，从而cosC=，再由余弦定理能求出AB【解答】解：在ABC中，a=5，b=4，cos（AB）=，ab，AB在BC上取D，使得BD=AD，连接AD，设BD=x，则AD=x，DC=5x在ADC中，cosDAC=cos（AB）=，由余弦定理得：（5x）2=x2+422x4，即：2510x=16x，解得：x=4在ADC中，AD=AC=4，CD=1，cosC=，AB=6故答案为：，613在ABC中，已知a，b，c是角A、B、C的对应边，则若ab，则f（x）=（sinAsinB）x在R上是增函数；若a2b2=（acosB+bcosA）2，则ABC是Rt；cosC+sinC的最小值为；若cos2A=cos2B，则A=B；若（1+tanA）（1+tanB）=2，则，其中错误命题的序号是【考点】2K：命题的真假判断与应用【分析】由正弦定理，可知命题正确；由余弦定理可得acosB+bcosA=c，可得a2=b2+c2；由三角函数的公式可得，由的范围可得（1，；由cos2A=cos2B，可得A=B或2A=22B，A=B，A+B=（舍）；展开变形可得，即tan（A+B）=1，进而可得【解答】解：由正弦定理，ab等价于sinAsinB，sinAsinB0，f（x）=（sinAsinB）x在R上是增函数，故正确；由余弦定理可得acosB+bcosA=c，故可得a2b2=c2，即a2=b2+c2，故ABC是Rt，故正确；由三角函数的公式可得，0c，c，（，1，（1，故取不到最小值为，故错误；由cos2A=cos2B，可得A=B或2A=22B，A=B，A+B=（舍），A=B，故正确；展开可得1+tanA+tanB+tanAtanB=2，1tanAtanB=tanA+tanB，即tan（A+B）=1，故错误；错误命题是故答案为14在数列an中，若a1=1，an+1=2an+3（n1），则该数列的通项an=2n+13【考点】8H：数列递推式【分析】由题意知an+1+3=2（an+3）（n1），由此可知该数列的通项an=2n+13【解答】解：在数列an中，若a1=1，an+1=2an+3（n1），an+1+3=2（an+3）（n1），即an+3是以a1+3=4为首项，为公比的等比数列，an+3=42n1=2n+1，所以该数列的通项an=2n+1315已知数列an满足：a1=m（m为正整数），an+1=若a6=1，则m所有可能的取值为4，5，32【考点】8H：数列递推式【分析】由题意知an中任何一项均为正整数，若a5为奇数，得到a5=0不满足条件若a5为偶数，则a5=2a6=2，满足条件；若a4为奇数，得不满足条件若a4为偶数，则a4=2a5=4，满足条件由此能求出m的取值【解答】解：由题意知an中任何一项均为正整数，a6=1，若a5为奇数，则3a5+1=1，得a5=0不满足条件若a5为偶数，则a5=2a6=2，满足条件a5=2若a4为奇数，则3a4+1=2，得不满足条件若a4为偶数，则a4=2a5=4，满足条件a4=4（1）若a3为奇数，则3a3+1=4，a3=1满足条件若a2为奇数，则3a2+1=1，a2=0不满足条件若a2为偶数，则a2=2a3=2满足条件若a1为奇数，则3a1+1=2，得不满足条件若a1为偶数，则a1=2a2=4，满足条件（2）若a3为偶数，则a3=2a4=8，满足条件若a2为奇数，则3a2+1=8，得不满足条件若a2为偶数，则a2=2a3=16，满足条件若a1为奇数，则3a1+1=16，得a1=5，满足条件若a1为偶数，则a1=2a2=32，满足条件故m的取值可以是4，5，32故答案为：4，5，32三、解答题（154+16=76）16已知向量（1）若f（）=的值；（2）在ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足（2ac）cos B=bcos C，若f（A）=，试判断ABC的形状【考点】GQ：两角和与差的正弦函数；GP：两角和与差的余弦函数【分析】（1）由已知利用平面向量数量积的运算可得函数解析式f（x）=sin（+）+，由f（）=，可得=4k+，kZ，代入即可计算得解cos（）的值（2）利用正弦定理化简已知等式，利用三角函数恒等变换的应用可求cosB=，进而可求B=，由f（A）=，可求A的值，即可判定三角形形状【解答】（本题满分为12分）解：（1）由已知可得：f（x）=sincos+cos2=sin+cos+=sin（+）+，2分f（）=，可得：sin（+）+=，=4k+，kZ，cos（）=cos（4k）=1，6分（2）（2ac）cosB=bcosC，（2sinAsinC）cosB=sinBcosC，8分2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，可得：cosB=，B=，f（A）=，10分sin（+）+=，可得： +=或，解得：A=或，又0，A=，ABC为等边三角形12分17已知公差大于零的等差数列an的前n项和为Sn，且满足：a3a4=117，a2+a5=22（1）求数列an的通项公式an；（2）若数列bn是等差数列，且，求非零常数c；（3）若（2）中的bn的前n项和为Tn，求证：【考点】8E：数列的求和；84：等差数列的通项公式；8F：等差数列的性质【分析】（1）利用等差数列的性质可得，联立方程可得a3，a4，代入等差数列的通项公式可求an（2）代入等差数列的前n和公式可求sn，进一步可得bn，然后结合等差数列的定义可得2b2=b1+b3，从而可求c（3）要证原不等式ABAM，BM，分别利用二次函数及均值不等式可证【解答】解：（1）an为等差数列，a3a4=117，a2+a5=22又a2+a5=a3+a4=22a3，a4是方程x222x+117=0的两个根，d0a3=9，a4=13d=4，a1=1an=1+（n1）4=4n3（2）由（1）知，bn是等差数列，2b2=b1+b3，2c2+c=0，（c=0舍去），当时，bn=2n为等差数列，满足要求（3）由（2）得，2Tn3bn1=2（n2+n）3（2n2）=2（n1）2+44，但由于n=1时取等号，从而等号取不到2Tn3bn1=2（n2+n）3（2n2）=2（n1）2+44，n=3时取等号（1）、（2）式中等号不能同时取到，所以18已知数列an的前n项和为Sn，点（an+2，Sn+1）在一次函数图象y=4x5上，其中nN*令bn=an+12an，且a1=1（1）求数列bn通项公式；（2）求数列nbn的前n项和Tn【考点】8E：数列的求和；8I：数列与函数的综合【分析】（1）将点代入直线方程，求得Sn+1=4an+3，当n2时，Sn=4an1+3，两式相减即可求得an+12an=2（an2an1）（n2），即可求得数列bn是与2为公比的等比数列，由a1=1，即可求得b1，根据等比数列通项公式即可求得数列bn通项公式；（2）由（1）可知，利用“错位相减法”即可求得数列nbn的前n项和Tn【解答】解：（1）将点（an+2，Sn+1）代入y=4x5，即Sn+1=4（an+2）5，Sn+1=4an+3，当n2时，Sn=4an1+3，两式相减an+1=4an4an1，an+12an=2（an2an1）（n2）由bn=an+12an，则=2，（n2）数列bn是与2为公比的等比数列，首项b1=a22a1，而a2+a1=4a1+3，且a1=1，a2=6，b1=a22a1=4，bn=42n1=2n+1，数列bn通项公式bn=2n+1；（2）nbn=n2n+1，数列nbn的前n项和Tn=b1+2b2+3b3+nbn，=122+223+324+n2n+1，2Tn=123