（全国通用版）2019版高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 课时分层作业 十五 2.11.2 利用导数研究函数的极值、最值 文.doc

课时分层作业 十五利用导数研究函数的极值、最值一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2018遵义模拟)函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内极小值点的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选A.从f(x)的图象可知f(x)在(a,b)内从左到右的单调性依次为增减增减,根据极值点的定义可知在(a,b)内只有一个极小值点.2.已知函数y=的图象如图所示,其中f(x)是定义域为R的函数f(x)的导函数,则以下说法错误的是 ()A.f(1)=f(-1)=0B.当x=1时,函数f(x)取得极小值C.当x=-1时,函数f(x)取得极大值D.方程xf(x)=0与f(x)=0均有三个不同的实数根【解析】选D.对于选项A.由图象可知x=1或-1时,f(1)=f(-1)=0成立;对于选项B.当0x1时,0,此时f(x)1时,0,此时f(x)0,故当x=1时,函数f(x)取得极小值,成立.对于选项C,当x-1时,0,当-1x0,此时 f(x)0得x;令F(x)0得0x,所以当x=时,F(x)有最小值为F=+ln 3=(1+ln 3).【变式备选】(2018运城模拟)已知函数f(x)=ln x+tan 的导函数为f(x),若方程f(x)=f(x)的根x0小于1,则的取值范围为()A.B.C.D.【解析】选A.因为f(x)=ln x+tan ,所以f(x)=,令f(x)=f(x),得ln x+tan =,即tan =-ln x.设g(x)=-ln x,显然g(x)在(0,+)上单调递减,而当x0时,g(x)+,所以要使满足f(x)=f(x)的根x0g(1)=1,又因为0,且当x1,4a时,|f(x)|12a恒成立,则a的取值范围为()A.B.C.D.【解析】选A.f(x)=3x2-6ax-9a2的图象是一条开口向上的抛物线,关于x=a对称.若1,则因为|f(a)|=15a212a.故当x1,4a时|f(x)|12a不恒成立.所以使|f(x)|12a(x1,4a)恒成立的a的取值范围是.5.(2018昆明模拟)已知函数f(x)=-ln x,f(x)在x=x0处取得最大值,以下各式中:f(x0)x0;f(x0),正确的序号是()A.B.C.D.【解析】选D.求导函数可得:f(x)=-,令g(x)=x+1+ln x,则函数有唯一零点x0,所以-x0-1=ln x0,所以f(x0)=(-x0-1)=x0,即正确; f(x0)-=,因为-x0-1=ln x0,所以f(x0)-=,当x=时,f=-0=f(x0),所以x0在x=左侧,所以x00,所以0,所以f(x0)0),当f(x)=0时,x=-,当x=1时,函数取得最大值ln 2-1,即解得a=1,b=-1.答案:1-17.(2018济南模拟)f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值,则常数c的值为_.【解析】f(x)=x3-2cx2+c2x,f(x)=3x2-4cx+c2,f(2)=0c=2或c=6.若c=2,f(x)=3x2-8x+4,令f(x)0x2,f(x)0x2,故函数在及(2,+)上单调递增,在上单调递减,所以x=2是极小值点,故c=2舍去,c=6.答案:6【误区警示】解答本题时易误由f(2)=0得c=2或c=6,不能将c=2舍去而致误.8.(2018长春模拟)已知函数f(x)=若f(x1)=f(x2)=f(x3)(x1x2x3),则的取值范围为_.【解题指南】利用导数法,分析函数的单调性及极值,可得f(x1)=f(x2)=f(x3),即有-x1-,可得=1+,计算即可得到所求范围.【解析】函数f(x)=所以函数f(x)=故当x0时,函数为增函数,且f(x),当0x1时,函数为增函数,且0f(x),当x1时,函数为减函数,且0f(x),若f(x1)=f(x2)=f(x3)(x1x2x3),则f(x1)=f(x2)=f(x3),即- x1-,故=1+(-1,0).答案:(-1,0)三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f(x)=(x-k)ex.(1)求f(x)的单调区间.(2)求f(x)在区间0,1上的最小值.【解析】(1)f(x)=(x-k+1)ex.令f(x)=0,得x=k-1.f(x)与f(x)的情况如下:x(-,k-1)k-1(k-1,+)f(x)-0+f(x)-ek-1所以,f(x)的单调递减区间是(-,k-1);单调递增区间是(k-1,+).(2)当k-10,即k1时,函数f(x)在0,1上单调递增,所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)=-k;当0k-11,即1k0,得-x,由f(x)=+sin x0得,-x-,所以函数f(x)在上递减,在上递增.因为f=,f=,f(x)min=f=.所以函数f(x)在上的值域为.1.(5分)(2018临沂模拟)已知ABC的面积为1,内切圆半径也为1,若ABC的三边长分别为a,b,c,则+的最小值为()A.2B.2+C.4D.2+2 【解题指南】先根据三角形的面积和内切圆半径都为1,得到a+b+c=2,则根据导数的和函数的最值的关系即可求出最值.【解析】选D.因为ABC的面积为1,内切圆半径也为1,ABC的三边长分别为a,b,c,所以(a+b+c)1=1,即a+b+c=2,即a+b=2-c,所以0c2,所以+=+=+-1,设f(x)=+-1,0x2,所以f(x)=-=,令f(x)=0,解得x=-2+2,当x(0,-2+2)时,f(x)0,函数f(x)单调递增,所以f(x)min=f(-2+2)=2+2,故+的最小值为2+2.2.(5分)已知函数f(x)=ln +,g(x)=ex-2,对于mR,n(0,+)使得g(m)=f(n)成立,则n-m的最小值为()A.-ln 2B.ln 2C.2-3D.e2-3【解析】选B.由题意令em-2=ln +=t,(t0),则m=ln t+2,n=2,从而n-m=2-ln t-2=h(t),由h(t)=2-=0得t=,而当t0时,h(t)=2-是单调递增函数,所以当t时h(t)0;当0t时h(t)0;因此t=时h(t)取最小值:2-ln -2=ln 2.3.(5分)(2018天津模拟)已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,若m,n-1,1,则f(m)+f(n)的最小值是_.【解析】因为f(x)=-3x2+2ax,由已知有f(2)=0,所以a=3,所以f(x)=-x3+3x2-4,则f(m)+f(n)=-m3+3m2-4-3n2+6n,由于f(x)=-3x2+6x=-3x(x-2),当-1x0时,f(x)0,当00,所以当x=0时,f(x)有最小值-4,而对于f(x)=-3x2+6x=-3(x-1)2+3,在x-1,1上为增函数,所以当x=-1时,f(x)有最小值-9,故对于f(m)+f(n)=-m3+3m2-4-3n2+6n,当m=0,n=-1时,有最小值为(-4)+(-9)=-13.答案:-13【变式备选】若函数f(x)=mcos x+sin 2x在x=处取得极值,则m=_.【解析】函数f(x)=mcos x+sin 2x在x=处取得极值,则f=0.又f(x)=-msin x+cos 2x,所以f=-m=0,m=0.答案:04.(12分)设函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值. (1)求a,b的值.(2)若对于任意的x0,3,都有f(x)0;当x(1,2)时,f(x)0.所以,当x=1时,f(x)取得极大值f(1)=5+8c,又f(0)=8c,f(3)=9+8c.则当x0,3时,f(x)的最大值为f(3)=9+8c.因为对于任意的x0,3,有f(x)c2恒成立,所以9+8cc2,解得c9,因此c的取值范围为(-,-1)(9,+).5.(13分)(2018许昌模拟)已知函数f(x)=axln x+b,g(x)=x2+kx+3,曲线y=f(x)在(1,f(1)处的切线方程为y=x-1. (1)若f(x)在(b,m)上有最小值,求m的取值范围.(2)当x时,若关于x的不等式2f(x)+g(x)0有解,求k的取值范围.【解题指南】(1)求出函数的导数,得到关于a,b的方程组,求出a,b的值,解关于导函数的不等式,求出函数的最小值,求出m的范围即可.(2)问题等价于不