2019届高三数学第五次月考试卷 理(含解析).doc

2019届高三数学第五次月考试卷 理(含解析)一、单选题1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由集合，知，由此可以求出结果.【详解】集合，故选D.【点睛】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的定义和二元一次方程组的性质的合理运用.2.复数z=34ii在复平面内对应的点位于A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】直接由复数的乘法运算化简，求出z对应点的坐标，则答案可求【详解】复数z=34ii=43i.对应的点为4,3，位于第四象限.故选D.【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3.有下列四个命题：（1）“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若m1，则x22x+m=0有实数解”的逆否命题；（4）“若AB=B，则AB”的逆否命题.其中真命题为（ ）A. （1）（2） B. （2）（3） C. （4） D. （1）（2）（3）【答案】D【解析】【分析】先根据逆命题、否命题、逆否命题定义得命题，再分别判断真假.【详解】（1）“若xy=1，则x，y互为倒数”的逆命题为“若x，y互为倒数，则xy=1”，为真命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题为“面积不相等的三角形不全等”，为真命题；（3）“若m1，则x2-2x+m=0有实数解”的逆否命题为“若x2-2x+m=0无实数解，则m1”；因为=44m1，所以为真命题；（4）因为“若AB=B，则AB”为假命题，所以其逆否命题为假命题.综上选D.【点睛】本题考查命题四种形式以及真假判断，注意命题的否定与否命题区别.4.为了得到函数y=2sin(x5)的图像，只需把函数y=2sinx的图像上所有点（ ）A. 向左平行移动5个单位长度 B. 向右平行移动5个单位长度C. 向左平行移动25个单位长度 D. 向右平行移动25个单位长度【答案】B【解析】【分析】由题意利用y=Asin（x+）的图象变换规律，得出结论【详解】将函数y=2sinx，xR的图象上的所有点，向右平行移动5个单位长度，可得函数y2sin(x5)，xR的图象，故选B【点睛】本题主要考查y=Asin（x+）的图象变换规律，属于基础题5.某校进行了一次创新作文大赛，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在40,90之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是A. 得分在40,60)之间的共有40人B. 从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在60,80)的概率为0.5C. 这100名参赛者得分的中位数为65D. 估计得分的众数为55【答案】C【解析】【分析】根据频率分布直方图，利用最高的小矩形对应的底边中点估计众数；根据频率和为1，计算a的值；计算得分在60，80）内的频率，用频率估计概率即可【详解】根据频率和为1，计算（a+0.035+0.030+0.020+0.010）10=1，解得a=0.005，得分在40,60)的频率是0.40，估计得分在40,60)的有1000.40=40人，A正确；得分在60,80)的频率为0.5，用频率估计概率，知这100名男生中随机抽取一人，得分在60,80)的概率为12，B正确根据频率分布直方图知，最高的小矩形对应的底边中点为50+602=55 ，估计众数为55，D正确；故选C.【点睛】本题考查了频率分布直方图，频率、频数与众数的计算问题6.已知等差数列an的公差为2，前n项和为Sn，且S10=100，则a7的值为A. 11 B. 12 C. 13 D. 14【答案】C【解析】【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式，即可得到结果.【详解】等差数列an的公差为2，且S10=100，S10=10a1+10922=100a1=1a7=1+7-12=13.故选：C【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及前n项和公式，考查计算能力，属于基础题.7.中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C的两条渐近线与圆(x2)2+y2=1都相切，则双曲线C的离心率是（ ）A. 2或233 B. 2或3 C. 3或62 D. 233或62【答案】A【解析】【分析】根据题意，由圆的切线求得双曲线的渐近线的方程，再分焦点在x、y轴上两种情况讨论，进而求得双曲线的离心率【详解】设双曲线C的渐近线方程为y=kx，是圆的切线得：2kk2+11，k=33 ，得双曲线的一条渐近线的方程为 y=33焦点在x、y轴上两种情况讨论：当焦点在x轴上时有：ba33，e=ca32+33=233； 当焦点在y轴上时有： ab33，e=ca32+33=2；求得双曲线的离心率 2或233故选：A【点睛】本小题主要考查直线与圆的位置关系、双曲线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想解题的关键是：由圆的切线求得直线 的方程，再由双曲线中渐近线的方程的关系建立等式，从而解出双曲线的离心率的值此题易忽视两解得出错误答案8.函数fx=lnx+x2x的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意结合函数的解析式排除错误选项即可确定函数的图像.【详解】当x0时，fx=lnx+x2x，则fx=2x2x+1x，由于2x2x+10恒成立，故fx0，函数fx在区间0,+上单调递增，据此排除选项D；当x0时，fx=lnx+x2x，则fx=2x2x+1x，由于2x2x+10恒成立，故fx6，且f(1)=2，则f(x)31x2的解集为（ ）A. x|x1 B. x|1x1C. x|x2 D. x|2x3-1x2等价于gxg1,x0当x0时，g(x)=2xf(x)+x2f(x)6x=x(2f(x)+xf(x)6)0,而g(x)=x2f(x)3x2=g(x),所以gxg1等价于g|x|g1，|x|1，x1，选A.【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如f(x)f(x)构造g(x)=f(x)ex，f(x)+f(x)0构造g(x)=exf(x)，xf(x)f(x)构造g(x)=f(x)x，xf(x)+f(x)0)，D是斜边AB的中点，将BCD沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CBAD，则x的取值范围是（ ）A. (22,2) B. 3,23 C. (0,2) D. (0,3【答案】D【解析】【分析】由已知条件推导出，AD=CD=BD=x2+12，BC=x，取BC中点E，翻折前DE=12AC=12 ，翻折后AE=114x2，AD=x2+12 ，从而求出0x3 翻折后，当B1CD与ACD在一个平面上，A=60，BC=ACtan60，此时x=133 ，由此能求出x的取值范围为（0，3【详解】由题意得，AD=CD=BD=x2+12，BC=x，取BC中点E，翻折前，在图1中，连接DE，CD，则DE=12AC=12，翻折后，在图2中，此时CBADBCDE，BCAD，BC平面ADE，BCAE，DEBC，又BCAE，E为BC中点，AB=AC=1，AE=114x2，AD=x2+12，在ADE中：x2+12+12114x2，x2+1212+114x2，x0；由可得0x3 如图3，翻折后，当B1CD与ACD在一个平面上，AD与B1C交于M，且ADB1C，AD=B1D=CD=BD，CBD=BCD=B1CD，又CBD+BCD+B1CD=90，CBD=BCD=B1CD=30，A=60，BC=ACtan60，此时x=133 ， 综上，x的取值范围为(0,3.故选：D【点睛】本题考查线段长的取值范围的求法，要熟练掌握翻折问题的性质，注意培养空间思维能力二、填空题13.已知向量a=(1,2)，b=(2,m)，且a/b，则m=_【答案】4【解析】【分析】根据向量平行坐标表示得方程，解得结果.【详解】因为a/b，所以22=1mm=4.【点睛】(1)向量平行：a/bx1y2=x2y1，a/b,b0R,a=b,BA=ACOA=11+OB+1+OC(2)向量垂直：abab=0x1x2+y1y2=0，(3)向量加减乘： ab=(x1x2,y1y2),a2=|a|2,ab=|a|b|cos14.已知函数f(x)=2x2,x0f(x2)+1,x0，则f(2019)=_【答案】1010 【解析】【分析】当x0时，f(x)=f(x-2)+1,，可得f2019=f2017+1=f2015+2=.=f1+1009=f1+1010,，由此可求f(2019).【详解】当x0时，f(x)=f(x-2)+1,，则f2019=f2017+1=f2015+2=.=f1+1009=f1+1010, 而f1=212=0,故f2019=1010,即答案为xx【点睛】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用15.已知数列an，若数列3n1an的前n项和Tn=156n15，则a5的值为_.【答案】16【解析】【分析】利用前n项和公式可得第五项的值.【详解】数列3n-1an的前n项和Tn=156n-15，35-1a5=T5-T4=1565-15-1564-15=1565-64=64a5=6434=24=16，故答案为：16【点睛】本题考查由前n项和公式求项值，考查计算能力，解题关键是理解前n项和与项的关系.16.已知正三棱柱ABCA1B1C1的高为6,AB=4，点D为棱BB1的中点，则四棱锥CA1ABD的表面积是_【答案】239+43+36【解析】【分析】由题意逐一求解四棱锥各个面的面积，然后求解其表面积即可.【详解】由题意结合棱锥的性质可得：SABD1A=123+64=18，SABC=1244sin60=43，SACA1=1246=12,SBCD=1243=6,由勾股定理可得：A1D=32+42=5，CD=32+42=5，A1C=42+62=52,故A1CD是等腰三角形，其底边A1C上的高h=CD212A1C2=12，其面积SA1CD=12A1Ch=125212=239，据此可得其表面积为：S=18+43+12+6+239=239+43+36.【点睛】本题主要考查椎体的空间结构特征，椎体的表面积计算方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题17.公差不为零的等差数列an的前n项和为Sn,若S3=9,且a1,a2,a5成等比数列.（1）求数列an的通项公式；（2）设bnan是首项为1,公比为2的等比数列,求数列bn的通项公式及其前n项和为Tn。【答案】（1）an=2n1；（2）2n1+n2.【解析】【分析】（1）利用等差数列的前n项和公式可得a2=3，根据等比数列可得a22=a1a5，列出关于a1和d的方程，解出即可得an的通项公式；（2）先求出bn的通项公式，根据分组求和法求其前n项和.【详解】（1）由S3=9，得a1+a2+a3=9a2=3又a1,a2,a5成等比数列， a22=a1a5，即a22=(a2-d)(a2+3d)d2-2d=0，解得d=2或d=0（舍去）， a1=a2-d=1，故an=2n-1（2）由题意bn-an=2n-1，所以bn=2n-1+an=2n-1+2n-1， 所以Tn=(1+2+22+2n-1)+1+3+5+(2n-1)=1-2n1-2+n2n2=2n-1+n2【点睛】本题主要考查了等差数列，等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于cn=an+bn，其中an和bn分别为特殊数列，裂项相消法类似于an=1nn+1，错位相减法类似于cn=anbn，其中an为等差数列，bn为等比数列等.18.ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足cosCcosA+2c+3b2a=0.()求cosA的值；()若ABC外接圆半径为3,b+c=26,求ABC的面积.【答案】（1）cosA=23（2）5【解析】【分析】（1）由cosCcosA+2c+3b2a=0及正弦定理得2sinAcosC+2cosAsinC+3cosAsinB=0从而2sin(A+C)+3cosAsinB=0 ,利用诱导公式结合sinB0,可求出cosA的值；（）由正弦定理得a=2RsinA=25 ，再由余弦定理及b+c=26，配方化简可得bc=6，由三角形面积公式可得结果.【详解】（）由cosCcosA+2c+3b2a=0及正弦定理得2sinAcosC+2cosAsinC+3cosAsinB=0从而2sin(A+C)+3cosAsinB=0 即2sinB+3cosAsinB=0又ABC中sinB0, cosA=-23. （）ABC外接圆半径为3,sinA=53,由正弦定理得a=2RsinA=25 再由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-2(1+cosA)bc,及b+c=26得bc=6ABC的面积S=12bcsinA=12653=5.【点睛】以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.19.如图所示，四棱锥S-ABCD中，SA底面ABCD，ABC=900，SA=2，AB=3，BC=1，AD=23，ACD=600，E为CD的中点.（1）求证：BC/平面SAE；（2）求直线SD与平面SBC所成角的正弦值.【答案】（1）见解析； （2）217.【解析】【分析】（1）在ACD中，由余弦定理可解得：CD=4所以AC2+AD2=CD2，所以ACD是直角三角形，又可证ACE为等边三角形，所以CAE=600=BCA，所以BC/AE，即可证明BC/平面SAE；（2）：由（1）可知BAE=900，以点A为原点，以AB,AE，AS所在直线分别为x轴，y轴，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量可求直线SD与平面SBC所成角的正弦值.【详解】（1）证明：因为AB=3，BC=1，ABC=900，所以AC=2，BCA=600，在ACD中，AD=23，AC=2，ACD=600，由余弦定理可得：AD2=AC2+CD2-2ACCDcosACD解得：CD=4所以AC2+AD2=CD2，所以ACD是直角三角形，又E为CD的中点，所以AE=12CD=CE又ACD=600，所以ACE为等边三角形，所以CAE=600=BCA，所以BC/AE，又AE平面SAE，BC平面SAE，所以BC/平面SAE.（2）解：由（1）可知BAE=900，以点A为原点，以AB,AE，AS所在直线分别为x轴，y轴，轴建立空间直角坐标系，则S(0,0,2)，B(3,0,0)，C(3,1,0)，D(-3,3,0).所以SB=(3,0,-2)，SC=(3,1,-2)，SD=(-3,3,-2).设n=(x,y,z)为平面SBC的法向量，则nSB=0nSC=0，即3x-2z=03x+y-2z=0设x=1，则y=0，z=32，即平面SBC的一个法向量为n=(1,0,32)，所以cos=nSD|n|SD|=-237416=-217所以直线SD与平面SBC所成角的正弦值为217.【点睛】不妨考查线面平行的证明以及利用空间向量求线面角，属中档题.20.已知椭圆C的中心在原点O，直线l:x+3y3=0与坐标轴的交点是椭圆C的两个顶点.（1）求椭圆C的方程；（2）若M,N是椭圆C上的两点，且满足OMON=0，求|MN|的最小值.【答案】（1）x23+y2=1； （2）3.【解析】【分析】（1）因为l:x+3y-3=0与x轴交点为(3,0)，与y轴交点为(0,1)，又直线与坐标轴交点为椭圆C的顶点，即可求得a,b,进而得到椭圆C的方程；（2）由题意知M、N是椭圆x23+y2=1上的两点，且OMON，故设M（r1cos，r1sin），N（-r2sin，r2cos），由题设条件能够推出|MN|的最小值为3【详解】（1）因为l:x+3y-3=0与x轴交点为(3,0)，与y轴交点为(0,1)，又直线与坐标轴交点为椭圆C的顶点，所以椭圆的顶点为(3,0)，(0,1)，故所求椭圆方程为x23+y2=1（2）由题意知M,N是椭圆x23+y2=1上的两点，且OMON，故设M(r1cos,r1sin)，N(-r2sin,r2cos)，其中r1=|OM|，r2=|ON|，于是r12(cos23+sin2)=1，r22(sin23+cos2)=1，从而1r12+1r22=13+1=43.又(r12+r22)(1r12+1r22)=2+r12r22+r22r124（当且仅当r1=r2时取等号）所以|MN|2434，即|MN|23，|MN|3.故所求|MN|的最小值为3.【点睛】本题考查直线的圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答21.已知函数fx=xlnx.（1）求曲线y=fx在点1,f1处的切线方程；（2）设ba0，证明：0fa+fb2fa+b20且ln41+ba+balnba1+ba0，利用换元法，构建新函数，研究函数的单调性与最值即可.【详解】（1）由题意f1=0，又fx=lnx+1，所以f1=1，因此y=fx在点1,f1处的切线方程为y-0=1x-1，即x-y-1=0（2）证明：因为0a1由于fa+fb-2fa+b2=alna+blnb-2a+b2lna+b2=aln2aa+b+bln2aa+b，fa+fb-2fa+b20等价于ln21+ba+baln2ba1+ba0，令x=ba1，设函数Fx=ln21+x+xln21+xx1Fx=ln2-ln1+x+xln2x-xln1+x=ln2x1+x,当x1时，2x1+x1，所以Fx0，所以Fx在1,+上是单调递增函数，又F1=0，所以Fx0 x1，所以Fba0，即fa+fb-2fa+b20fa+fb-2fa+b2b-aln2等价于ln41+ba+balnba1+ba1，设函数gx=ln41+x+xlnx1+xx1gx=ln4-ln1+x+xlnx-xln1+x=lnx1+x,当x1时，0x1+x1，所以gx0，所以gx在1,+上是单调递减函数，又g1=0，所以gx1所以gba0，即fa+fb-2fa+b2b-aln2综上可得：0fa+fb-2fa+b2b-aln2.【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数h(x)=f(x)-g(x).根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，