2019届高三数学二模试题(含解析).doc

2019届高三数学二模试题(含解析)一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1已知全集U=Z，集合A=x|0x5，xU，B=x|x1，XU，则A（UB）= 2若复数z的共轭复数满足，则复数z的虚部是 3双曲线的准线方程是 4某校共有学生1800人，现从中随机抽取一个50人的样本，以估计该校学生的身体状况，测得样本身高小于195cm的频率分布直方图如图，由此估计该校身高不小于175的人数是 5命题“x2，都有x22”的否定是 6如图中流程图的运行结果是 7口袋中有大小相同的5个小球，小球上分别标有数字1，1，2，2，4，一次从中取出两个小球，则取出的两个小球上所标数字之积为4的概率是 8已知等差数列an的前n项和为Sn，a4=10，S4=28，数列的前n项和为Tn，则Txx= 9将函数y=sinxcosx的图象向右平移m（m0）个单位，所得曲线的对称轴与函数的图象的对称轴重合，则实数m的最小值为 10如图，在ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，直线BE与边AC交于点F，若AD=BC=6，则= 11已知直线l1：x2y=0的倾斜角为，倾斜角为2的直线l2与圆M：x2+y2+2x2y+F=0交于A、C两点，其中A（1，0）、B、D在圆M上，且位于直线l2的两侧，则四边形ABCD的面积的最大值是 12已知四面体ABCD的底面BCD是边长为2的等边三角形，AB=AC=3，则当棱AD长为 时，四面体ABCD的体积最大13已知函数f（x），g（x）是定义在R上的一个奇函数和偶函数，且f（x1）+g（x1）=2x，则函数f（x）= 14已知ba0，若存在实数x，y满足0xa，0yb，（xa）2+（yb）2=x2+b2=a2+y2，则的最大值为 二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15已知ABC的外接圆半径为1，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，若sinB=acosC，（1）求的值；（2）若M为边BC的中点，求角B的大小16如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面A1ABB1是菱形，侧面C1CBB1是矩形（1）D是棱B1C1上一点，AC1平面A1BD，求证：D为B1C1的中点；（2）若A1BAC1，求证：平面A1ABB1平面C1CBB117已知椭圆C：的离心率为，焦距为2，直线y=kx（x0）与椭圆C交于A，B两点，M为其右准线与x轴的交点，直线AM，BM分别与椭圆C交于A1，B1两点，记直线A1B1的斜率为k1（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在常数，使得k1=k恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由18数列an满足，n=1，2，3，（1）求a3，a4，并求数列an的通项公式；（2）设bn=，记F（m，n）=，求证：mn，F（m，n）4对任意的；（3）设Sk=a1+a3+a5+a2k1，Tk=a2+a4+a6+a2k，Wk=，求使Wk1的所有k的值，并说明理由19某冰淇淋店要派车到100千米外的冷饮加工厂原料，再加工成冰淇淋后售出，已知汽车每小时的运行成本F（单位：元）与其自重m（包括车子、驾驶员及所载货物等的质量，单位：千克）和车速v（单位：千米/小时）之间满足关系式：在运输途中，每千克冷饮每小时的冷藏费为10元，每千克冷饮经过冰淇淋店再加工后，可获利100元若汽车重量（包括驾驶员等，不含货物）为1.3吨，最大载重为1吨汽车来回的速度为v（单位：千米/小时），且最大车速为80千米，一次进货x千克，而且冰淇淋供不应求（1）求冰淇淋店进一次货，经加工售卖后所得净利润w与车速v和进货量x之间的关系式；（2）每次至少进货多少千克，才能使得销售后不会亏本（净利润w0）？（3）当一次进货量x与车速v分别为多少时，能使得冰淇淋店有最大净利润？并求出最大值（提示：）20已知函数（e为自然对数的底数，mR）（1）求函数f（x）的单调区间和极值；（2）当时，求证：x0，f（x）x2lnx恒成立；（3）讨论关于x的方程|lnx|=f（x）的根的个数，并证明你的结论xx高考熟中模拟卷B.选修4-2：矩阵与变换21已知矩阵M对应的变换将点（5，7）变换为（2，1），其逆矩阵M1有特征值1，对应的一个特征向量为，求矩阵MC.选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系，已知曲线C1的参数方程为，（，为参数），曲线C2的极坐标方程为，求曲线C1与曲线C2的交点的直角坐标【必做题】第22题、第23题，每题10分共计20分.请答题卡的指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.23在英国的某一娱乐节目中，有一种过关游戏，规则如下：转动图中转盘（一个圆盘四等分，在每块区域内分别标有数字1，2，3，4），由转盘停止时指针所指数字决定是否过关在闯n关时，转n次，当次转得数字之和大于n2时，算闯关成功，并继续闯关，否则停止闯关，闯过第一关能获得10欧元，之后每多闯一关，奖金翻倍假设每个参与者都会持续闯关到不能过关为止，并且转盘每次转出结果相互独立（1）求某人参加一次游戏，恰好获得10欧元的概率；（2）某人参加一次游戏，获得奖金X欧元，求X的概率分布和数学期望24（1）证明：；（2）证明：；（3）证明：参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1已知全集U=Z，集合A=x|0x5，xU，B=x|x1，XU，则A（UB）=2，3，4【考点】1H：交、并、补集的混合运算【分析】根据集合的基本运算进行求解即可【解答】解：A=x|0x5，xU=1，2，3，4，B=x|x1，XU，则UB=x|x1，XU=2，3，4，5，则A（UB）=2，3，4，故答案为：2，3，42若复数z的共轭复数满足，则复数z的虚部是3【考点】A5：复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、共轭复数与虚部的定义即可得出【解答】解：，ii=i（3+4i），=43iz=4+3i复数z的虚部是3故答案为：33双曲线的准线方程是y=【考点】KC：双曲线的简单性质【分析】直接利用双曲线方程求解双曲线的准线方程即可【解答】解：双曲线，可得a=1，b=，c=2，双曲线的准线方程为：y=故答案为：y=4某校共有学生1800人，现从中随机抽取一个50人的样本，以估计该校学生的身体状况，测得样本身高小于195cm的频率分布直方图如图，由此估计该校身高不小于175的人数是288【考点】B8：频率分布直方图【分析】由频率分布直方图得样本身高不小于175cm的频率，由此能估计该校身高不小于175cm的人数【解答】解：由频率分布直方图得样本身高不小于175cm的频率为：（0.012+0.004）10=0.16，估计该校身高不小于175cm的人数是：18000.16=288故答案为：2885命题“x2，都有x22”的否定是x02，x022【考点】2J：命题的否定【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可【解答】解：命题“x2，x22”是全称命题，其否定是：x02，x022故答案为：x02，x0226如图中流程图的运行结果是6【考点】EF：程序框图【分析】根据程序框图进行模拟计算即可【解答】解：第一次，S=1，i=2，S10不成立，第二次，S=1+2=3，i=3，S10不成立，第三次，S=3+3=6，i=4，S10不成立第四次，S=6+4=10，i=5，S10不成立第五次，S=10+5=15，i=6，S10成立，输出i=6，故答案为：67口袋中有大小相同的5个小球，小球上分别标有数字1，1，2，2，4，一次从中取出两个小球，则取出的两个小球上所标数字之积为4的概率是【考点】CB：古典概型及其概率计算公式【分析】先求出基本事件总数n=，再由列举法求出取出的两个小球上所标数字之积包含的基本事件个数，由此能求出取出的两个小球上所标数字之积为4的概率【解答】解：口袋中有大小相同的5个小球，小球上分别标有数字1，1，2，2，4，一次从中取出两个小球，基本事件总数n=，取出的两个小球上所标数字之积包含的基本事件有：（1，4），（1，4），（2，2），共3个，取出的两个小球上所标数字之积为4的概率p=故答案为：8已知等差数列an的前n项和为Sn，a4=10，S4=28，数列的前n项和为Tn，则Txx=【考点】8E：数列的求和【分析】利用已知条件求出等差数列的前n项和，化简所求的通项公式，然后求和即可【解答】解：等差数列an的前n项和为Sn，a4=10，S4=28，可得a1+a4=14，解得a1=4，10=4+3d，解得d=2，Sn=4n+=n2+3n，=，Tn=+=，则Txx=故答案为：9将函数y=sinxcosx的图象向右平移m（m0）个单位，所得曲线的对称轴与函数的图象的对称轴重合，则实数m的最小值为【考点】HJ：函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】首先化简被平移函数的解析式，得到对称轴的表达式以及函数的图象的对称轴，利用对称轴重合得到m的值【解答】解：将函数y=sinxcosx=sin2x的图象向右平移m（m0）个单位，所得曲线的对称轴与函数的图象的对称轴重合，即2（xm）=k，得到x=，kZ；，得到x=，k1Z；由题意x=，k，k1Z所以实数m的最小值为；故答案为：10如图，在ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，直线BE与边AC交于点F，若AD=BC=6，则=18【考点】9V：向量在几何中的应用【分析】建立坐标系，设ADC=，求出各点坐标，代入向量的数量积运算公式计算即可【解答】解：以BC为x轴，以BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，设ADC=，则A（6cos，6sin），E（3cos，3sin），C（3，0），B（3，0），设F（a，b），则，解得a=4cos+1，b=4sin，=（36cos，6sin），=（4cos2，4sin），=（36cos）（4cos2）24sin2=24cos2+624sin2=624=18故答案为：1811已知直线l1：x2y=0的倾斜角为，倾斜角为2的直线l2与圆M：x2+y2+2x2y+F=0交于A、C两点，其中A（1，0）、B、D在圆M上，且位于直线l2的两侧，则四边形ABCD的面积的最大值是【考点】J9：直线与圆的位置关系【分析】由已知求出tan，得到直线l2的斜率，进一步求得方程，由A在圆上求得F，得到圆的方程，求出圆心坐标和半径，利用垂径定理求得|AC|的长度，然后结合圆与直线的位置关系图象，将ABCD的面积看成两个三角形ABC和ACD的面积之和，分析可得当BD为AC的垂直平分线时，四边形ABCD的面积最大【解答】解：直线l1：x2y=0的倾斜角为，则tan=，直线l2的斜率k=tan2=则直线l2的方程为y0=（x+1），即4x3y+4=0又A（1，0）在圆上，（1）22+F=0，得F=1，圆的方程为x2+y2+2x2y+1=0，化为标准方程：（x+1）2+（y1）2=1，圆心（1，1），半径r=1直线l2与圆M相交于A，C两点，由点到直线的距离公式得弦心距d=，由勾股定理得半弦长=，弦长|AC|=2=又B，D两点在圆上，并且位于直线l2的两侧，四边形ABCD的面积可以看成是两个三角形ABC和ACD的面积之和，如图所示，当BD为弦AC的垂直平分线时（即为直径时），两三角形的面积之和最大，即四边形ABCD的面积最大，最大面积为：S=|AC|BE|+|AC|DE|=|AC|BD|=2=，故答案为：12已知四面体ABCD的底面BCD是边长为2的等边三角形，AB=AC=3，则当棱AD长为时，四面体ABCD的体积最大【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】当体积最大时，平面ABC与底面BCD垂足，利用勾股定理计算AD【解答】解：取BC的中点E，连结AE，DE，AB=AC，BD=CD，BCAE，BCDE，AED为二面角ABCD的平面角，A到平面BCD的距离d=AEsinAED，显然当AED=90时，四面体体积最大此时，AE=2，DE=，AD=故答案为：13已知函数f（x），g（x）是定义在R上的一个奇函数和偶函数，且f（x1）+g（x1）=2x，则函数f（x）=2x2x【考点】3L：函数奇偶性的性质【分析】根据题意，由于f（x1）+g（x1）=2x，则f（x）+g（x）=2x+1，同理可得f（x）+g（x）=2x+1，利用函数的奇偶性可得f（x）+g（x）=2x+1，联立可得f（x）=（2x+12x+1），对其变形可得答案【解答】解：根据题意，f（x1）+g（x1）=2x，则f（x）+g（x）=2x+1，进而有f（x）+g（x）=2x+1，又由函数f（x），g（x）是定义在R上的一个奇函数和偶函数，则有f（x）+g（x）=f（x）+g（x），即有f（x）+g（x）=2x+1，联立可得：f（x）=（2x+12x+1）=2x2x，即f（x）=2x2x，故答案为：2x2x14已知ba0，若存在实数x，y满足0xa，0yb，（xa）2+（yb）2=x2+b2=a2+y2，则的最大值为【考点】R3：不等式的基本性质【分析】设A（0，b），B（x，0），C（a，by），由xa）2+（yb）2=x2+b2=a2+y2得ABC为等边，设ABC边长为m，OAB=，（0）过C作CHx轴与H，则ACH=，a=mcos（），b=mcos即可求解【解答】解：如图设A（0，b），B（x，0），C（a，by）（xa）2+（yb）2=x2+b2=a2+y2ABC为等边，设ABC边长为m，OAB=，（0）过C作CHx轴与H，则ACH=，b=mcos当=0时，故答案为：二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15已知ABC的外接圆半径为1，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，若sinB=acosC，（1）求的值；（2）若M为边BC的中点，求角B的大小【考点】HT：三角形中的几何计算【分析】（1）由ABC的外接圆半径为1，及正弦定理得a=2RsinA=2sinA，sinAcosCcosAsinCsin（AC）=0，即可得a=c，即可（2）由得b=，即可得cosB=【解答】解：（1）由ABC的外接圆半径为1，及正弦定理得a=2RsinA=2sinA，sinB=acosC变形为：sin（A+C）=2sinAcosCsinAcosCcosAsinC=0sin（AC）=0，AC（，），AC=0，a=c，的值为1（2）M为边BC的中点，又，a=cb=cosB=，B（0，），角B的大小为16如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面A1ABB1是菱形，侧面C1CBB1是矩形（1）D是棱B1C1上一点，AC1平面A1BD，求证：D为B1C1的中点；（2）若A1BAC1，求证：平面A1ABB1平面C1CBB1【考点】LY：平面与平面垂直的判定【分析】（1）连结AB1交A1B于E，连结DE，由AC1平面A1BD可得AC1DE，由E为AB1的中点即可得出D是B1C1的中点；（2）证明A1B平面AB1C1，得出A1BB1C1，再结合B1C1BB1得出B1C1平面A1ABB1，于是平面A1ABB1平面C1CBB1【解答】证明：（1）连结AB1交A1B于E，连结DEAC1平面A1BD，AC1平面AB1C1，平面AB1C1平面A1BD=DE，AC1DE，侧面A1ABB1是菱形，E是AB1的中点，D是B1C1的中点（2）侧面A1ABB1是菱形，AB1A1B，又A1BAC1，AB1AC1=A，AB1平面AB1C1，AC1平面AB1C1，A1B平面AB1C1，又B1C1平面AB1C1，A1BB1C1，侧面C1CBB1是矩形，B1C1BB1，又BB1A1B=B，BB1平面A1ABB1，A1B平面A1ABB1，B1C1平面A1ABB1B1C1平面C1CBB1，平面A1ABB1平面C1CBB117已知椭圆C：的离心率为，焦距为2，直线y=kx（x0）与椭圆C交于A，B两点，M为其右准线与x轴的交点，直线AM，BM分别与椭圆C交于A1，B1两点，记直线A1B1的斜率为k1（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在常数，使得k1=k恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【考点】KL：直线与椭圆的位置关系【分析】（1）由题意c=1，根据椭圆的离心率，即可求得a的值，b2=a2c2=1，即可求得椭圆方程；（2）根据椭圆的准线方程，即可求得AM的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理即可求得A1及B1，k1=3k，存在=3，使得k1=k恒成立【解答】解：（1）由椭圆的焦距2c=2，则c=1，双曲线的离心率e=，则a=，则b2=a2c2=1，椭圆的标准方程：；（2）设A（x0，y0），则2y02=2y02，则B（x0，y0），k=，右准线方程x=2，则M（2，0），直线AM的方程为y=（x2），整理得：（x02）2x2+2y02（x2）22（x02）2=0，该方程两个根为x0，x0=x0，则=， =（2）=，则A1（，），同理可得B1（，），则k1=3k，即存在=3，使得k1=k恒成立18数列an满足，n=1，2，3，（1）求a3，a4，并求数列an的通项公式；（2）设bn=，记F（m，n）=，求证：mn，F（m，n）4对任意的；（3）设Sk=a1+a3+a5+a2k1，Tk=a2+a4+a6+a2k，Wk=，求使Wk1的所有k的值，并说明理由【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式【分析】（1）a3=a1+4=4，a4=2a2=4当n=2k，kN*时，a2k+2=2a2k，可得数列a2k是首项与公比都为2的等比数列当n=2k1，kN*时，a2k+1=a2k1+4，数列a2k1是首项为0，公差为4的等差数列利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出（2）bn=，设数列bn的前n项和为An，利用错位相减法可得An=44根据bn0，可得F（m，n）An，F（m，n）4（3）Sk=a1+a3+a5+a2k1=2k（k1），Tk=a2+a4+a6+a2k=2k+12Wk=，对k分类讨论即可得出【解答】（1）解：a3=a1+4=4，a4=2a2=4当n=2k，kN*时，a2k+2=2a2k，数列a2k是首项与公比都为2的等比数列即n=2k，kN*时，an=当n=2k1，kN*时，a2k+1=a2k1+4，数列a2k1是首项为0，公差为4的等差数列a2k1=4（k1）即n=2k1，kN*时，an=2n2综上可得：a3=4，a4=4an=，kN*（2）证明：bn=，设数列bn的前n项和为An，则An=0+1+，An=+，=1+=，An=44bn0，F（m，n）An，故对任意的mn，F（m，n）4（3）解：Sk=a1+a3+a5+a2k1=2k（k1），Tk=a2+a4+a6+a2k=2k+12Wk=，W1=0，W2=1，W3=1，W4=1，W5=1，W6=1k6时，Wk+1Wk=0，当k6时，Wk+1Wk当k6时，Wk+1W61综上可得：使Wk1的所有k的值为3，4，519某冰淇淋店要派车到100千米外的冷饮加工厂原料，再加工成冰淇淋后售出，已知汽车每小时的运行成本F（单位：元）与其自重m（包括车子、驾驶员及所载货物等的质量，单位：千克）和车速v（单位：千米/小时）之间满足关系式：在运输途中，每千克冷饮每小时的冷藏费为10元，每千克冷饮经过冰淇淋店再加工后，可获利100元若汽车重量（包括驾驶员等，不含货物）为1.3吨，最大载重为1吨汽车来回的速度为v（单位：千米/小时），且最大车速为80千米，一次进货x千克，而且冰淇淋供不应求（1）求冰淇淋店进一次货，经加工售卖后所得净利润w与车速v和进货量x之间的关系式；（2）每次至少进货多少千克，才能使得销售后不会亏本（净利润w0）？（3）当一次进货量x与车速v分别为多少时，能使得冰淇淋店有最大净利润？并求出最大值（提示：）【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用【分析】（1）用总收入减去来回两次的运行成本和冷藏成本即可；（2）利用基本不等式得出W的最大值，令其最大值大于或等于零解出x，再验证车速是否符合条件即可；（3）利用导数判断W的最大值函数的单调性，即可得出W的最大值，再验证车速即可【解答】解：（1）汽车来回一次的运行成本为1300v2+v2=v，冷藏成本为10x=，W=100xv（2）v+2=5，W100x5，当且仅当v=即v=40时取等号令100x50，得2，解得x，当x=时，v=40=20（0，80，每次至少进货千克，才可能使销售后不会亏本（3）由（2）可知W100x5=5（2x），x，1000，设f（x）=2x，则f（x）=2（+）=2（+），x，1000， =，2，函数y=x+在，2上单调递增，当=2时， +取得最大值，f（x）20，f（x）在，1000上单调递增，当x=1000时，f（x）取得最大值f已知函数（e为自然对数的底数，mR）（1）求函数f（x）的单调区间和极值；（2）当时，求证：x0，f（x）x2lnx恒成立；（3）讨论关于x的方程|lnx|=f（x）的根的个数，并证明你的结论【考点】6D：利用导数研究函数的极值；52：函数零点的判定定理；6B：利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值；（2）设g（x）=x2lnx，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可；（3）设F（x）=f（x）|lnx|，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间，根据单调性判断函数的零点即方程根的个数【解答】解：（1）f（x）=，由f（x）=0得x=1，x1时，f（x）0，x1时，f（x）0，f（x）在（，1递增，在递减，在，+）递增，当且仅当x=时，g（x）min=；f（x）g（x），两等号不同时取，故x0，f（x）x2lnx恒成立；（3）设F（x）=f（x）|lnx|，F（x）=f（x）lnx，x1，f（x），lnx都在递增，F（x）在（0，1递增，F（1）=+m，m时，0x1，F（x）F（1）0，F（x）在（0，1）无零点，当m时，F（1）0，0x1，F（x）+m+lnx，显然（0，1），F（）+m+ln=0，F（x）的图象不间断，F（x）在（0，1）恰有1个零点，综上，m=时，方程|lnx|=f（x）恰有1个实根，m时，方程|lnx|=f（x）无实根，m时，方程|lnx|=f（x）有2个不同的实根xx高考熟中模拟卷B.选修4-2：矩阵与变换21已知矩阵M对应的变换将点（5，7）变换为（2，1），其逆矩阵M1有特征值1，对应的一个特征向量为，求矩阵M【考点】OU：特征向量的意义【分析】根据矩阵的变换求得M=，利用矩阵的特征向量及特征值的关系，利用矩阵的乘法，即可求得M的逆矩阵，即可求得矩阵M【解答】解：由题意可知：M=，M1=，M1=，设M1=，则=， =，则，解得：，则M1=，det（M1）=20+18=2，则M=矩阵M=C.选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系，已知曲线C1的参数方程为，（，为参数），曲线C2的极坐标方程为，求曲线C1与曲线C2的交点的直角坐标【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程【分析】求出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程，两方程联立，能求出曲线C1与曲线C2的交点的直角坐标【解答】解：曲线C1的参数方程为，（，为参数），曲