2019届高三数学上学期期末考试试题 理(含解析) (II).doc

2019届高三数学上学期期末考试试题 理(含解析) (II)一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合则集合（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】解方程组，得故选D2.若双曲线的一个焦点为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为双曲线的一个焦点为，所以 ，故选B.3.已知且则向量在方向上的投影为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】设与的夹角为，向量在方向上的投影为故选4.已知等差数列满足：，且，成等比数列，则数列的前项和为（ ）A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】【分析】利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；然后求解等差数列的前n项和公式可得Sn【详解】设等差数列an的公差为d，a12，且a1，a2，a5成等比数列a1a5，即（2+d）22（2+4d），解得d0或4an2，或an2+4（n1）4n2当d0时，数列an的前n项和为：2n；当d4时，则数列an的前n项和为：2n2n2故选：C【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5.函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：先求出函数的定义域，结合函数图象进行排除，再利用特殊值的符号得到答案详解：令，得或，故排除选项A、D，由，故排除选项C，故选B点睛：本题考查函数的图象和性质等知识，意在考查学生的识图能力6. 下列命题正确的是（ ）A. 若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B. 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D. 若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【答案】C【解析】若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D错；故选项C正确.点评本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质，需要熟练掌握课本基础知识的定义、定理及公式.7.阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数且)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点间的距离为2,动点满足当不共线时，面积的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】如图，以经过的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系；则： 设 ，两边平方并整理得： ，面积的最大值是 选A8.设函数则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意，分析可得f（x）为奇函数且在R上为增函数，则有f（12x）+f（x）0f（12x）f（x）f（12x）f（x）12xx，解可得x的取值范围，即可得答案【详解】根据题意，函数f（x）2x2x，则f（x）2x2x（2x2x）f（x），f（x）为奇函数，又由f（x）2x2x，其导数为f（x）（2x+2x）ln20，则函数f（x）在R上为增函数，则f（12x）+f（x）0f（12x）f（x）f（12x）f（x）12xx，解可得：x1，即不等式的解集为（，1）；故选：A【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析f（x）的单调性以及奇偶性，属于基础题9.在中，点满足，当点在线段（不包含端点）上移动时，若，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意画出图形，利用、表示出，再利用表示出，求出与，然后利用对勾函数的单调性求的取值范围【详解】如图所示，ABC中，（），又点E在线段AD（不含端点）上移动，设k，0k1，又，在（0，1）上单调递减，的取值范围为（，+），故选：C【点睛】本题考查了平面向量的线性运算与基本不等式的应用问题，是中档题10.已知函数的图象的一个对称中心为，且，则的最小值为（ ）A. B. 1 C. D. 2【答案】A【解析】当时，当时，或，两式相减，得或，即或，又因为，所以的最小值为故选.解法2：直接令，得，解得故选.11.在底面是边长为2的正方形的四棱锥中，点在底面的射影为正方形的中心，异面直线与所成角的正切值为2，若四棱锥的内切球半径为，外接球的半径为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】易知PABCD为正四棱锥，内切球球心为两斜高与底面中线所成正三角形的中心，外接球半径需通过方程解得，求解过程不难【详解】如图，E，F为AB，CD的中点，由题意，PABCD为正四棱锥，底边长为2，BCAD，PBC即为PB与AD所成角，可得斜高为2，PEF为正三角形，正四棱锥PABCD的内切球半径即为PEF的内切圆半径，可得r，设O为外接球球心，在RtOHA中，解得R，故选：B【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 12.设数列满足，且，若表示不超过的最大整数，则（ ）A. xx B. xx C. xx D. 2021【答案】C【解析】【分析】an+22an+1+an2，可得an+2an+1（an+1an）2，a2a14利用等差数列的通项公式、累加求和方法、取整函数即可得出【详解】an+22an+1+an2，an+2an+1（an+1an）2，a2a14an+1an是等差数列，首项为4，公差为2an+1an4+2（n1）2n+2n2时，an（anan1）+（an1an2）+（a2a1）+a12n+2（n1）+22+2n（n+1）12+xxxx故选：C【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、累加求和方法、取整函数，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知满足不等式，则的最大值为_【答案】2【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x+2y得y=x+z，平移直线y=x+z由图象可知当直线y=x+z经过点A时，直线y=x+z的截距最大，此时z最大，由，即，即A（0，1），此时z=0+2=2，故答案为：2点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.14.四棱锥的三视图如图所示（单位：），则该四棱锥的体积是_【答案】12【解析】【分析】首先还原几何体，根据图中数据计算几何体体积【详解】由三视图得到几何体如图：体积为12；故答案为：12【点睛】由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.15.设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段上的点，且，则直线斜率的最大值为_【答案】【解析】由题意可得F（，0），设P（，y0），显然当y00，kOM0；当y00，kOM0要求kOM的最大值，设y00，则 可得当且仅当y02=2p2，取得等号故答案为：.点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质解题的关键是利用了抛物线的定义。一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用。尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化.16.已知函数，若有两个零点，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】f（x）有两个零点方程x2lnxa有两个正实根令g（x）x2lnx，g（x）2xlnx+x2x（2lnx+1），研究函数的单调性与极值即可.【详解】x0，函数，若f（x）有两个零点方程x2lnxa有两个正实根令g（x）x2lnx，g（x）2xlnx+x2x（2lnx+1），令g（x）0，可得x，g（x）在（0，）递减，在（，+）递增，函数g（x）的大致图象如下：g（），由图象可得：a（）实数a的取值范围是（）故答案为：【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.的内角，所对的边分别为，且.（1）求角的值；（2）若的面积为，且，求外接圆的面积.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理、和差公式即可得出sinB2sinBcosA，结合sinB0，可得cosA，由范围A（0，），可求A（2）利用三角形的面积公式可求bc12，由余弦定理可得a的值，设三角形的外接圆半径为R，由正弦定理可得R，进而根据圆的面积公式求解即可【详解】（1）.由正弦定理得 ，又，（2）由（1）知，由余弦定理，又，又，又，.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、和差公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18.已知数列满足.（1）证明：数列是等比数列；（2）令，数列的前项和为，求.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）运用数列的递推式和等比数列的定义即可得证；（2）求得bnn（an+1）n2n，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和【详解】（1）由得： ，从而由得，是以2为首项，2为公比的等比数列（2）由（1）得，.【点睛】本题考查等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题19.如图，在直角三棱柱中，、分别为、的中点，.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）若直线和平面所成角的正弦值等于，求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）如图所示，取AB的中点M，连接MF，利用三角形中位线定理及其培训说不定判定定理可得四边形MFC1E是平行四边形，于是C1FEM，再利用线面平行的判定定理即可判断出结论;（2）由直三棱柱ABCA1B1C1，可得BB1底面ABC，BB1AB，再利用线面垂直的判定定理面面垂直的判定定理即可证明结论;（3）由（2）可知：ABBC可建立如图所示的空间直角坐标系求出平面ABE和平面CBE的法向量，代入公式，即可得到结果.【详解】（1）证明：如图所示，取AB的中点M，连接MF，则MFAC，又EC1AC，EC1MF，四边形MFC1E是平行四边形，C1FEM，又C1F平面ABE；EM平面ABE；C1F平面ABE（2）证明：由直三棱柱ABCA1B1C1，BB1底面ABC，BB1AB，又C1FAB，BB1与C1F相交，AB平面ABE，又AB平面ABE，平面ABE平面B1BCC1；（3）解：由（2）可知：ABBC因此可建立如图所示的空间直角坐标系F（0，1，0），设C1（0，2，t）（t0），（0，1，t）由题意可取平面ACC1A1的法向量为（1，1，0）直线C1F和平面ACC1A1所成角的正弦值等于，|cos|，解得t2E（1，1，2），A（2，0，0），C（0，2，0），（2，0，0），（1，1，2），（0，2，0）设平面ABE的法向量为（x，y，z），则0，可得：x0，x+y+2z0，取y2，可得：（0，2，1）同理可得平面CBE的法向量为（2，0，1）cos二面角ABEC的余弦值为【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20.已知椭圆经过点，长轴长是短轴长的2倍.（1）求椭圆的方程；（2）设直线经过点且与椭圆相交于，两点（异于点），记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据经过点M（0，1），长轴长是短轴长的2倍，可得b1，a2，得出椭圆方程；（2）设直线AB斜率为k，联立方程组，根据根与系数的关系计算k1+k2化简【详解】（1）椭圆经过点，.又，.椭圆的标准方程为：.（2）若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时直线与椭圆相切，不符合题意.设直线的方程为，即.联立，得 .设，则 .为定值，且定值为1.【点睛】求定值问题常见的方法从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值21.已知函数，记在点处的切线为.（1）当时，求证：函数的图像（除切点外）均为切线的下方；（2）当时，求的最小值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）求得f（x）的导数，考虑极值点以及函数的凹凸性，即可得证；（2）讨论a0，a0，a1，a1，0a1时，函数h（x）f（x）2lnx的导数和单调性，最值，即可得到所求g（x）的最小值【详解】（1）设切线方程为记 .，,在上单调递减.，在上单调递增，在上单调递减.，即，当且仅当时取“”.故命题成立（2）.设，1)当时，则在上单调递减，且.，在上单调递增.2)当时，设，有两根，不妨令，即，在上单调递减，即，在上单调递增，当，即，在上单调递增. ，； 当，即时， ，在上单调递减，在上单调递增，存在使得，.综上可得.【点