浙江专版2018年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2椭圆学案新人教A版选修2 .doc

2.2221椭圆及其标准方程预习课本P3842，思考并完成以下问题1平面内满足什么条件的点的轨迹为椭圆？椭圆的焦点、焦距分别是什么？2椭圆的标准方程是什么？1椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距点睛定义中的条件2a|F1F2|0不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的否则：当2a|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2；当2ab0)1(ab0)焦点坐标(c,0)，(c,0)(0，c)，(0，c)a，b，c的关系c2a2b21判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内到两定点距离之和等于定长的点的轨迹为椭圆()(2)已知椭圆的焦点是F1，F2，P是椭圆上的一动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|PF2|，则动点Q的轨迹为圆()(3)方程1(a0，b0)表示的曲线是椭圆()答案：(1)(2)(3)2若椭圆1的一个焦点坐标为(1,0)，则实数m的值为()A1B2C4 D6答案：C3椭圆1的焦点坐标是_答案：(0，12)求椭圆的标准方程典例求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)解(1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为1(ab0)将点(5,0)代入上式解得a5，又c4，所以b2a2c225169故所求椭圆的标准方程为1(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为1(ab0)因为椭圆经过点(0,2)和(1,0)，所以故所求椭圆的标准方程为x21确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；(2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解活学活用求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)经过两点(2，)，；(2)过点(，)，且与椭圆1有相同的焦点解：法一：(分类讨论法)若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为1(ab0)由已知条件得解得所以所求椭圆的标准方程为1若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为1(ab0)由已知条件得解得则a2b0矛盾，舍去综上，所求椭圆的标准方程为1法二：(待定系数法)设椭圆的一般方程为Ax2By21(A0，B0，AB)将两点(2，)，代入，得解得所以所求椭圆的标准方程为1(2)因为所求椭圆与椭圆1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c225916设它的标准方程为1(ab0)因为c216，且c2a2b2，故a2b216又点(，)在椭圆上，所以1，即1由得b24，a220，所以所求椭圆的标准方程为1椭圆的定义及其应用典例如图所示，已知椭圆的方程为1，若点P在第二象限，且PF1F2120，求PF1F2的面积解由已知得a2，b，所以c1，|F1F2|2c2在PF1F2中，由余弦定理，得|PF2|2|PF1|2|F1F2|22|PF1|F1F2|cos 120，即|PF2|2|PF1|242|PF1|由椭圆定义，得|PF1|PF2|4，即|PF2|4|PF1|将代入解得|PF1|所以SPF1F2|PF1|F1F2|sin 1202，即PF1F2的面积是(1)椭圆定义的应用中，要实现两个焦点半径之间的相互转化，将两个焦半径之和看作个整体(2)涉及焦点三角形面积时，可把|PF1|，|PF2|看作一个整体，运用|PF1|2|PF2|2(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|及余弦定理求出|PF1|PF2|，而无需单独求解活学活用设F1，F2是椭圆1的两个焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|PF2|2则PF1F2是()A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形 D等腰直角三角形解析：选B由椭圆的定义得|PF1|PF2|8又|PF1|PF2|2，|PF1|5，|PF2|3，又|F1F2|2c4，故PF1F2为直角三角形与椭圆有关的轨迹问题典例(1)已知P是椭圆1上一动点，O为坐标原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为_(2)已知圆M：(x1)2y21，圆N：(x1)2y29，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C求C的方程解析(1)设P(xP，yP)，Q(x，y)，由中点坐标公式得所以又点P在椭圆1上，所以1，即x21答案：x21(2)解：由已知得圆M的圆心为M(1,0)，半径r11；圆N的圆心为N(1,0)，半径r23设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R动圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24由椭圆定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为1(x2)解决与椭圆有关的轨迹问题的两种方法(1)定义法：用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可(2)相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法活学活用求过点P(3,0)且与圆x26xy2910相内切的动圆圆心的轨迹方程解：圆方程配方整理得(x3)2y2102，圆心为C1(3，0)，半径为R10设所求动圆圆心为C(x，y)，半径为r，依题意有消去r得R|PC|CC1|PC|CC1|R，即|PC|CC1|10又P(3,0)，C1(3,0)，且|PC1|60，常数)；命题乙：P点轨迹是椭圆则命题甲是命题乙的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分且必要条件 D既不充分又不必要条件解析：选B利用椭圆定义若P点轨迹是椭圆，则|PA|PB|2a(a0，常数)，甲是乙的必要条件反过来，若|PA|PB|2a(a0，常数)是不能推出P点轨迹是椭圆的这是因为：仅当2a|AB|时，P点轨迹才是椭圆；而当2a|AB|时，P点轨迹是线段AB；当2ab”是“方程1表示椭圆”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分条件又不必要条件解析：选A若ab，则a2b2，方程1表示椭圆，是充分条件，若方程1表示椭圆，得不到ab，不是必要条件5已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|2，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆C的标准方程为()A1B1或1C1D1或1解析：选B由已知2c|F1F2|2，c2a|PF1|PF2|2|F1F2|4，a2b2a2c29故椭圆C的标准方程是1或16椭圆1的焦距是2，则m的值是_解析：当椭圆的焦点在x轴上时，a2m，b24，c2m4，又2c2，c1m41，m5当椭圆的焦点在y轴上时，a24，b2m，c24m1，m3答案：3或57已知椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点，则椭圆C的标准方程为_解析：法一：依题意，可设椭圆C的方程为1(ab0)，且可知左焦点为F(2,0)从而有解得又a2b2c2，所以b212，故椭圆C的标准方程为1法二：依题意，可设椭圆C的方程为1(ab0)，则解得b212或b23(舍去)，从而a216所以椭圆C的标准方程为1答案：18椭圆的两焦点为F1(4,0)，F2(4,0)，点P在椭圆上，若PF1F2的面积最大为12，则椭圆方程为_解析：如图，当P在y轴上时PF1F2的面积最大，8b12，b3又c4，a2b2c225椭圆的标准方程为1答案：19设F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点设椭圆C上一点到两焦点F1，F2的距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标解：由点在椭圆上，得1，又2a4，所以椭圆C的方程为1，焦点坐标分别为(1,0)，(1,0)10已知椭圆C与椭圆x237y237的焦点F1，F2相同，且椭圆C过点(1)求椭圆C的标准方程；(2)若PC，且F1PF2，求F1PF2的面积解：(1)因为椭圆y21的焦点坐标为(6,0)，(6,0)所以设椭圆C的标准方程为1(a236)将点的坐标代入整理得4a4463a26 3000，解得a2100或a2(舍去)，所以椭圆C的标准方程为1(2)因为P为椭圆C上任一点，所以|PF1|PF2|2a20由(1)知c6，在PF1F2中，|F1F2|2c12，所以由余弦定理得：|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos ，即122|PF1|2|PF2|2|PF1|PF2|因为|PF1|2|PF2|2(|PF1|PF2|)22|PF1|所以122(|PF1|PF2|)23|PF1|PF2|所以1222023|PF1|PF2|所以|PF1|PF2|SPF1F2|PF1|PF2|sin 所以F1PF2的面积为层级二应试能力达标1下列说法中正确的是()A已知F1(4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆B已知F1(4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆C平面内到点F1(4,0)，F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆D平面内到点F1(4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆解析：选CA中，|F1F2|8，则平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段，所以A错误；B中，到F1，F2两点的距离之和等于6，小于|F1F2|，这样的轨迹不存在，所以B错误；C中，点M(5,3)到F1，F2两点的距离之和为4|F1F2|8，则其轨迹是椭圆，所以C正确；D中，轨迹应是线段F1F2的垂直平分线，所以D错误故选C2椭圆1的焦点为F1，F2，P为椭圆上的一点，已知0，则F1PF2的面积为()A9B12C10 D8解析：选A0，PF1PF2|PF1|2|PF2|2|F1F2|2且|PF1|PF2|2a又a5，b3，c4，2，得2|PF1|PF2|36，|PF1|PF2|18，F1PF2的面积为S|PF1|PF2|93若，方程x2sin y2cos 1表示焦点在y轴上的椭圆，则的取值范围是()A BC D解析：选A易知sin 0，cos 0，方程x2sin y2cos 1可化为1因为椭圆的焦点在y轴上，所以0，即sin cos 0又，所以b0)或1(ab0)，由已知条件得解得所以b2a2c212于是所求椭圆的标准方程为1或1法二：设所求的椭圆方程为1(ab0)或1(ab0)，两个焦点分别为F1，F2由题意知2a|PF1|PF2|358，所以a4在方程1中，令xc，得|y|；在方程1中，令yc，得|x|依题意有3，得b212于是所求椭圆的标准方程为1或18 如图在圆C：(x1)2y225内有一点A(1,0)Q为圆C上一点，AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，求点M的轨迹方程解：如图，连接MA由题意知点M在线段CQ上，从而有|CQ|MQ|MC|又点M在AQ的垂直平分线上，则|MA|MQ|，故|MA|MC|CQ|5又A(1,0)，C(1,0)，故点M的轨迹是以(1,0)，(1,0)为焦点的椭圆，且2a5，故a，c1，b2a2c21故点M的轨迹方程为1222椭圆的简单几何性质第一课时椭圆的简单几何性质预习课本P4347，思考并完成以下问题1椭圆有哪些几何性质？什么叫做椭圆的中心、顶点、长轴与短轴？2什么是椭圆的离心率？随着离心率的变化椭圆的形状有何变化？椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程1(ab0)1(ab0)范围axa且bybbxb且aya顶点A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b,0)，B2(b,0)轴长长轴长2a，短轴长2b焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距|F1F2|2c对称性对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)离心率e(0eb0)的长轴长等于a()(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为ac()(3)椭圆的离心率e越小，椭圆越圆()答案：(1)(2)(3)2椭圆25x29y2225的长轴长、短轴长、离心率依次是()A5,3，B10,6，C5,3， D10,6，答案：B3若椭圆y21的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的两倍，则椭圆的离心率为()A BC D答案：A4若焦点在y轴上的椭圆1的离心率为，则m的值为_答案：由标准方程研究几何性质典例求椭圆4x29y236的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率解椭圆方程变形为1，a3，b2，c 椭圆的长轴长和焦距分别为2a6,2c2，焦点坐标为F1(，0)，F2(，0)，顶点坐标为A1(3,0)，A2(3,0)，B1(0，2)，B2(0,2)，离心率e求椭圆的性质时，应把椭圆化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，这样便于直观地写出a，b的数值，进而求出c，求出椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质活学活用已知椭圆C1：1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质解：(1)由椭圆C1：1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(6,0)，离心率e；(2)椭圆C2：1，性质：范围：8x8，10y10；对称性：关于x轴、y轴、原点对称；顶点：长轴端点(0,10)，(0，10)，短轴端点(8,0)，(8,0)；焦点：(0,6)，(0，6)；离心率：e利用几何性质求标准方程典例求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)长轴长是10，离心率是；(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6解(1)设椭圆的方程为1(ab0)或1(ab0)由已知得2a10，a5又e，c4b2a2c225169椭圆方程为1或1(2)依题意可设椭圆方程为1(ab0)如图所示，A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|c，|A1A2|2b，则cb3，a2b2c218，故所求椭圆的方程为1(1)利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法(2)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，即先明确焦点的位置或分类讨论一般步骤是：求出a2，b2的值；确定焦点所在的坐标轴；写出标准方程活学活用求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)长轴长是短轴长的5倍，且过点A(5,0)(2)离心率e，焦距为12解：(1)若椭圆焦点在x轴上，设其标准方程为1(ab0)，由题意得解得故所求椭圆的标准方程为y21；若焦点在y轴上，设其标准方程为1(ab0)，由题意，得解得故所求椭圆的标准方程为1综上所述，所求椭圆的标准方程为y21或1(2)由e，2c12，得a10，c6，则b2a2c264当焦点在x轴上时，所求椭圆的标准方程为1；当焦点在y轴上时，所求椭圆的标准方程为1综上所述，所求椭圆的标准方程为1或1求椭圆的离心率典例设椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2F1F2，PF1F230，则C的离心率为()ABC D解析法一：由题意可设|PF2|m，结合条件可知|PF1|2m，|F1F2|m，故离心率e法二：由PF2F1F2可知P点的横坐标为c，将xc代入椭圆方程可解得y，所以|PF2|又由PF1F230可得|F1F2|PF2|，故2c，变形可得(a2c2)2ac，等式两边同除以a2，得(1e2)2e，解得e或e(舍去)答案D一题多变1变条件若将本例中“PF2F1F2，PF1F230”改为“PF2F175，PF1F245”，求C的离心率解：在PF1F2中，PF1F245，PF2F175，F1PF260，设|PF1|m，|PF2|n，|F1F2|2c，椭圆的长轴长为2a，则在PF1F2中，有，e2变条件，变设问若将本例中“PF2F1F2，PF1F230”改为“C上存在点P，使F1PF2为钝角”，求C的离心率的取值范围解：由题意，知cb，c2b2又b2a2c2，c2a2c2，即2c2a2e2，e故C的离心率的取值范围为求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e求解若已知a，b或b，c可借助于a2b2c2求出c或a，再代入公式e求解(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2b2c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围 层级一学业水平达标1椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(10,0)，则焦点坐标为()A(13,0)B(0，10)C(0，13) D(0，)解析：选D由题意知椭圆焦点在y轴上，且a13，b10，则c，故焦点坐标为(0，)2若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为()A BC D解析：选A依题意，BF1F2是正三角形，在RtOBF2中，|OF2|c，|BF2|a，OF2B60，cos 60，即椭圆的离心率e，故选A3已知椭圆1与椭圆1有相同的长轴，椭圆1的短轴长与椭圆1的短轴长相等，则()Aa225，b216Ba29，b225Ca225，b29或a29，b225Da225，b29解析：选D因为椭圆1的长轴长为10，焦点在x轴上，椭圆1的短轴长为6，所以a225，b294已知椭圆1(ab0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BFx轴，直线AB交y轴于点P若2，则椭圆的离心率是()A BC D解析：选D2，|2|又POBF，即，e5椭圆mx2ny2mn0(mn0)的焦点坐标是()A(0，) B(，0)C(0，) D(，0)解析：选C化为标准方程是1，mn0，0n0)，椭圆过点P(5,4)，1解得a245椭圆方程为1答案：18设F1，F2分别为椭圆y21的左，右焦点，点A，B在椭圆上，若5，则点A的坐标是_解析：设A(m，n)由5，得B又A，B均在椭圆上，所以有解得或所以点A的坐标为(0,1)或(0，1)答案：(0,1)或(0，1)9在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，过点F1的直线l交椭圆C于A，B两点，且ABF2的周长为16，求椭圆C的标准方程解：设椭圆C的标准方程为1(ab0)由e知，故，从而，由ABF2的周长为|AB|BF2|AF2|AF1|AF2|BF1|BF2|4a16，得a4，b28故椭圆C的标准方程为110椭圆1(ab0)的右顶点是A(a,0)，其上存在一点P，使APO90，求椭圆离心率的取值范围解：设P(x，y)，由APO90知，点P在以OA为直径的圆上，圆的方程是2y22y2axx2又P点在椭圆上，故1把代入化简，得(a2b2)x2a3xa2b20，即(xa)(a2b2)xab20，xa，x0，x，又0xa，0a，即2b2a2由b2a2c2，得a2又0e1，e1层级二应试能力达标1椭圆1与1(0kb0)，则c又2b2，即b1，所以a2b2c26，则所求椭圆的标准方程为x214(全国丙卷)已知O为坐标原点，F是椭圆C：1(ab0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点P为C上一点，且PFx轴过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为()A BC D解析：选A如图所示，由题意得A(a,0)，B(a,0)，F(c,0)设E(0，m)，由PFOE，得，则|MF|又由OEMF，得，则|MF|由得ac(ac)，即a3c，e故选A5已知椭圆1(ab0)，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且ABBF，则椭圆的离心率为_解析：在RtABF中，|AB|，|BF|a，|AF|ac，由|AB|2|BF|2|AF|2，得a2b2a2(ac)2将b2a2c2代入，得a2acc20，即e2e10，解得e因为e0，所以e答案：6已知椭圆的长轴长为20，短轴长为16，则椭圆上的点到椭圆中心的距离的取值范围是_解析：由题意，知a10，b8，不妨设椭圆方程为1，其上的点M(x0，y0)，则|x0|a10，|y0|b8，点M到椭圆中心的距离d因为1，所以y6464x，则d ，因为0x100，所以64x64100，即8d10答案：8,107已知椭圆x2(m3)y2m(m0)的离心率e，求实数m的值及椭圆的长轴长和短轴长，并写出焦点坐标和顶点坐标解：椭圆方程可化为1，由m0，可知m，所以a2m，b2，c ，由e，得 ，解得m1于是椭圆的标准方程为x21，则a1，b，c所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为，；四个顶点坐标分别为(1,0)，(1,0)，8设F1，F2分别是椭圆E：1(ab0) 的左、右焦点，过点 F1的直线交椭圆 E于 A，B两点，|AF1|3|F1B| (1)若|AB|4，ABF2 的周长为16，求|AF2|；(2)若cosAF2B，求椭圆E 的离心率解：(1)由|AF1|3|F1B|，|AB|4，得|AF1|3，|F1B|1因为ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a16，|AF1|AF2|2a8故|AF2|835(2)设|F1B|k，则k0且|AF1|3k，|AB|4k由椭圆定义可得，|AF2|2a3k，|BF2|2ak在ABF2中，由余弦定理可得，|AB|2|AF2|2|BF2|22|AF2|BF2|cosAF2B，即(4k)2(2a3k)2(2ak)2(2a3k)(2ak)化简可得(ak)(a3k)0，而ak0，故a3k于是有|AF2|3k|AF1|，|BF2|5k因此|BF2|2|F2A|2|AB|2，可得F1AF2A，故AF1F2为等腰直角三角形从而ca，所以椭圆E的离心率e第二课时直线与椭圆的位置关系预习课本P4748，思考并完成以下问题1点与椭圆的位置关系有哪几种？如何判断？2直线与椭圆有哪几种位置关系？如何确定？3直线被椭圆截得的弦长公式是什么？1点与椭圆的位置关系点P(x0，y0)与椭圆1(ab0)的位置关系：点P在椭圆上1；点P在椭圆内部12直线与椭圆的位置关系直线ykxm与椭圆1(ab0)的位置关系，判断方法：联立消y得一元二次方程当0时，方程有两解，直线与椭圆相交；当0时，方程有一解，直线与椭圆相切；当0时，方程无解，直线与椭圆相离3直线与椭圆相交的弦长公式(1)定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦(2)求弦长的方法交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：|AB| 1已知点(2,3)在椭圆1上，则下列说法正确的是()A点(2,3)在椭圆外B点(3,2)在椭圆上C点(2，3)在椭圆内 D点(2，3)在椭圆上答案：D2直线yx1被椭圆1所截得的弦的中点坐标是()A BC D答案：C3设F1，F2分别是椭圆1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|3，则P点到椭圆左焦点的距离为_答案：4直线与椭圆的位置关系典例对不同的实数值m，讨论直线yxm与椭圆y21的位置关系解由消去y，得(xm)21，整理得5x28mx4m240(8m)245(4m24)16(5m2)当m0，直线与椭圆相交；当m或m时，0，直线与椭圆相切；当m时，0直线与椭圆相交；0直线与椭圆相切；0直线与椭圆相离活学活用若直线ykx1与焦点在x轴上的椭圆1总有公共点，求m的取值范围解：直线ykx1过定点A(0,1)由题意知，点A在椭圆1内或椭圆上，1，m1又椭圆焦点在x轴上mb0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，则由，得(xx)(yy)0，变形得，即kAB活学活用(全国卷)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，点(2，)在C上(1)求C的方程；(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值解：(1)由题意有，1，解得a28，b24所以C的方程为1(2)证明：法一：设直线l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)将ykxb代入1，得(2k21)x24kbx2b280故xM，yMkxMb于是直线OM的斜率kOM，即kOMk所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)，则得0，kAB又kO M，kABkOM所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值与椭圆有关的综合问题典例已知椭圆y21(a1)，过直线l：x2上一点P作椭圆的切线，切点为A，当P点在x轴上时，切线PA的斜率为.(1)求椭圆的方程；(2)设O为坐标原点，求POA面积的最小值解(1)当P点在x轴上时，P(2,0)，直线PA的方程为y(x2)，联立x22x10，则440a22，所以椭圆方程为y21.(2)设切线方程为ykxm，P(2，y0)，A(x1，y1)，则(12k2)x24kmx2m22016k2m24(12k2)(2m22)0m22k21，且x1，y1，y02km，则|PO|，直线PO的方程为yx，则点A到直线PO的距离d，则SPOA|PO|d|y0x12y1|(2km)|km|k|，(Sk)212k2k22SkS210，8S240S，当且仅当k时等号成立POA面积的最小值为.解决与椭圆有关的最值问题的三种方法(1)定义法：利用定义转化为几何问题处理(2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解(3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题来处理，注意椭圆的范围活学活用设椭圆1(ab0)的左、右焦点为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B已知|AB|F1F2|(1)求椭圆的离心率(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率解：(1)设椭圆的右焦点F2的坐标为(c,0)由|AB|F1F2|，可得a2b23c2，又b2a2c2，则所以椭圆的离心率e(2)由(1)知a2 2c2，b2c2故椭圆方程为1设P(x0，y0)由F1(c,0)，B(0，c)，有(x0c，y0)，(c，c)由已知，有0，即(x0c)cy0c0又c0，故有x0y0c0又因为点P在椭圆上，故1由和可得3x4cx00而点P不是椭圆的顶点，故x0，代入得y0，即点P的坐标为设圆的圆心为T(x1，y1)，则x1c，y1c，进而圆的半径rc，设直线l的斜率为k，依题意，直线l的方程为ykx由l与圆相切，可得r，即c，整理得k28k10，解得k4所以直线l的斜率为4或4层级一学业水平达标1直线ykxk1与椭圆1的位置关系为()A相切B相交C相离 D不确定解析：选B直线ykxk1可变形为y1k(x1)，故直线恒过定点(1,1)，而该点在椭圆1内部，所以直线ykxk1与椭圆1相交，故选B2椭圆mx2ny21与直线y1x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则的值是()A BC D解析：选A由消去y得，(mn)x22nxn10设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN中点为(x0，y0)，则x1x2，x0，代入y1x得y0由题意，选A3已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是()A(0,1) B0，C0， D，1解析：选C，点M在以F1F2为直径的圆上，又点M在椭圆内部，cb，c2b2a2c2，即2c2a2，即0，0eb0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为()A1 B1C1 D1解析：选D因为直线AB过点F(3,0)和点(1，1