高中数学圆的方程典型例题.pdf

第 1 页 高中数学高中数学圆的方程典型例题圆的方程典型例题 类型一：圆的方程类型一：圆的方程 例例 1 1 1 1 求过两点)4,1 (A、)2,3(B且圆心在直线0=y上的圆的标准方程并判断点)4,2(P与圆的关 系 例例 2 2 2 2 求半径为 4，与圆0424 22 =+yxyx相切，且和直线0=y相切的圆的方程 例例 3 3 3 3 求经过点)5,0(A，且与直线02 =yx和02=+yx都相切的圆的方程 例例 4 4 4 4、 设圆满足：(1)截y轴所得弦长为 2；(2)被x轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件 (1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=yxl：的距离最小的圆的方程 类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程 例例 5 5 5 5已知圆4 22 =+yxO：，求过点()42，P与圆O相切的切线 例例 6 6 6 6 两圆0 111 22 1 =+FyExDyxC：与0 222 22 2 =+FyExDyxC：相交于A、B两 点，求它们的公共弦AB所在直线的方程 例例 7 7 7 7、过圆1 22 =+yx外一点)3 , 2(M，作这个圆的两条切线MA、MB，切点分别是A、B，求 直线AB的方程。 练习： 1 1 1 1求过点(3,1)M，且与圆 22 (1)4xy+=相切的直线l的方程 2、过坐标原点且与圆0 2 5 24 22 =+yxyx相切的直线的方程为 3、已知直线0125=+ayx与圆02 22 =+yxx相切，则a的值为. 类型三：弦长、弧问题类型三：弦长、弧问题 例 8、求直线063:=yxl被圆042: 22 =+yxyxC截得的弦AB的长. 例 9、直线0323=+yx截圆4 22 =+yx得的劣弧所对的圆心角为 例 10、求两圆02 22 =+yxyx和5 22 =+yx的公共弦长 类型四：直线与圆的位置关系类型四：直线与圆的位置关系 例 11、已知直线0323=+yx和圆4 22 =+yx，判断此直线与已知圆的位置关系. 例 12、若直线mxy+=与曲线 2 4xy=有且只有一个公共点，求实数m的取值范围. 例例 13131313 圆9)3()3( 22 =+yx上到直线01143=+yx的距离为 1 的点有几个？ 第 2 页 练习 1：直线1=+yx与圆)0(02 22 =+aayyx没有公共点，则a的取值范围是 2： 若直线2+=kxy与圆1)3()2( 22 =+yx有两个不同的交点， 则k的取值范围是. 3：圆0342 22 =+yxyx上到直线01=+yx的距离为2的点共有（ ） （A）1 个（B）2 个（C）3 个（D）4 个 4 4 4 4：过点()43 ，P作直线l，当斜率为何值时，直线l与圆()()421 22 =+yxC：有公共点 类型五：圆与圆的位置关系类型五：圆与圆的位置关系类型五：圆与圆的位置关系类型五：圆与圆的位置关系 例 14、判断圆02662: 22 1 =+yxyxC与圆0424: 22 2 =+yxyxC的位置关系， 例 15：圆02 22 =+xyx和圆04 22 =+yyx的公切线共有条。 练习 1：若圆042 222 =+mmxyx与圆08442 222 =+mmyxyx相切，则实数m的取 值集合是. 2：求与圆5 22 =+yx外切于点)2 , 1(P，且半径为52的圆的方程. 类型六：圆中的对称问题类型六：圆中的对称问题类型六：圆中的对称问题类型六：圆中的对称问题 例 16、圆 22 2690 xyxy+=关于直线250 xy+=对称的圆的方程是 类型七：圆中的最值问题类型七：圆中的最值问题类型七：圆中的最值问题类型七：圆中的最值问题 例 17：圆01044 22 =+yxyx上的点到直线014 =+yx的最大距离与最小距离的差是 例例 1 1 1 18 8 8 8(1)已知圆1)4()3( 22 1 =+yxO：，),(yxP为圆O上的动点，求 22 yxd+=的最大、最 小值 (2)已知圆1)2( 22 2 =+yxO：，),(yxP为圆上任一点求 1 2 x y 的最大、最小值， 求yx2的 最大、最小值 例 19：已知)0 , 2(A，)0 , 2(B，点P在圆4)4()3( 22 =+yx上运动，则 22 PBPA+的最小 值是. 练习： 1：已知点),(yxP在圆1) 1( 22 =+yx上运动. （1）求 2 1 x y 的最大值与最小值； （2）求yx+2的最大值与最小值. 第 3 页 解： （1）设k x y = 2 1 ，则k表示点),(yxP与点（2，1）连线的斜率.当该直线与圆相切时，k取得 最大值与最小值.由1 1 2 2 = +k k ，解得 3 3 =k， 2 1 x y 的最大值为 3 3 ，最小值为 3 3 . （2）设myx=+2，则m表示直线myx=+2在y轴上的截距. 当该直线与圆相切时，m取得最 大值与最小值.由1 5 1 = m ，解得51=m，yx+2的最大值为51+，最小值为51. 2 2 2 2 设点),(yxP是圆1 22 =+yx是任一点，求 1 2 + = x y u的取值范围 分析一：分析一：利用圆上任一点的参数坐标代替x、y，转化为三角问题来解决 解法一：解法一：设圆1 22 =+yx上任一点)sin,(cosP 则有cos=x，sin=y)2,0 1cos 2sin + = u，2sincos=+uu )2(sincos+=uu 即2)sin(1 2 +=+uu（u=tan） 1 )2( )sin( 2 + + = u u 又1)sin( 1 1 2 2 + + u u 解之得： 4 3 u 分析二：分析二： 1 2 + = x y u的几何意义是过圆1 22 =+yx上一动点和定点)2,1(的连线的斜率，利用 此直线与圆1 22 =+yx有公共点，可确定出u的取值范围 解法二：解法二：由 1 2 + = x y u得：) 1(2+=xuy，此直线与圆1 22 =+yx有公共点，故点)0,0(到 直线的距离1d 1 1 2 2 + + u u 解得： 4 3 u 另外，直线) 1(2+=xuy与圆1 22 =+yx的公共点还可以这样来处理： 第 4 页 由 =+ += 1 ) 1(2 22 yx xuy 消去y后得：0)34()42() 1( 2222 =+uuxuuxu， 此方程有实根，故0)34)(1(4)42( 2222 +=uuuuu， 解之得： 4 3 u 说明：说明：这里将圆上的点用它的参数式表示出来，从而将求变量u的范围问题转化成三角函数的 有关知识来求解或者是利用其几何意义转化成斜率来求解，使问题变得简捷方便 3、已知点)2, 4(),6 , 2(),2, 2(CBA，点P在圆4 22 =+yx上运动，求 222 PCPBPA+的 最大值和最小值. 类型八：轨迹问题 例 21、基础训练：已知点M与两个定点)0 , 0(O，)0 , 3(A的距离的比为 2 1 ，求点M的轨迹方程. 例 22、已知线段AB的端点B的坐标是（4，3） ，端点A在圆4) 1( 22 =+yx上运动，求线段AB 的中点M的轨迹方程. 例例 23232323 如图所示， 已知圆4 22 =+yxO：与y轴的正方向交于A点， 点B在直线2=y上运动， 过B 做圆O的切线，切点为C，求ABC垂心H的轨迹 分析：分析：按常规求轨迹的方法，设),(yxH，找yx,的关系非常难由于H点随B，C点运动 而运动，可考虑H，B，C三点坐标之间的关系 解：解：设),(yxH，),( yxC，连结AH，CH， 则BCAH，ABCH，BC是切线BCOC， 所以AHOC/，OACH/，OCOA=， 所以四边形AOCH是菱形 所以2=OACH，得 = = . , 2 xx yy 第 5 页 又),( yxC满足4 2 2 =+yx， 所以)0(4)2( 22 =+xyx即是所求轨迹方程 说明：说明：题目巧妙运用了三角形垂心的性质及菱形的相关知识采取代入法求轨迹方程做题时 应注意分析图形的几何性质，求轨迹时应注意分析与动点相关联的点，如相关联点轨迹方程已知， 可考虑代入法 例例 24242424 已知圆的方程为 222 ryx=+， 圆内有定点),(baP， 圆周上有两个动点A、B， 使PBPA， 求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程 分析：分析：利用几何法求解，或利用转移法求解，或利用参数法求解 解法一：解法一：如图，在矩形APBQ中，连结AB，PQ交于M，显然ABOM，PQAB=， 在直角三角形AOM中，若设),(yxQ，则) 2 , 2 ( byax M + 由 222 OAAMOM=+，即 22222 )()( 4 1 ) 2 () 2 (rbyax byax =+ + + + ， 也即)(2 22222 baryx+=+，这便是Q的轨迹方程 解法二：解法二：设),(yxQ、),( 11 yxA、),( 22 yxB，则 2 2 1 2 1 ryx=+， 2 2 2 2 2 ryx=+ 又 22 ABPQ=，即 )(22)()()()( 2121 22 21 2 21 22 yyxxryyxxbyax+=+=+ 又AB与PQ的中点重合，故 21 xxax+=+， 21 yyby+=+，即 )(22)()( 2121 222 yyxxrbyax+=+ ，有)(2 22222 baryx+=+ 这就是所求的轨迹方程 解法三：解法三：设)sin,cos( rrA、)sin,cos( rrB、),(yxQ， 第 6 页 由于APBQ为矩形，故AB与PQ的中点重合，即有 coscosrrax+=+， sinsinrrby+=+， 又由PBPA有1 cos sin cos sin = ar br ar br 联立、消去、，即可得Q点的轨迹方程为)(2 22222 baryx+=+ 说明说明：本题的条件较多且较隐含，解题时，思路应清晰，且应充分利用图形的几何性质，否则， 将使解题陷入困境之中 本题给出三种解法其中的解法一是几何方法，它充分利用了图形中隐含的数量关系而解法 二与解法三，从本质上是一样的，都可以称为参数方法解法二涉及到了 1 x、 2 x、 1 y、 2 y四个参 数， 故需列出五个方程； 而解法三中， 由于借助了圆 222 ryx=+的参数方程， 只涉及到两个参数、 ，故只需列出三个方程便可上述三种解法的共同之处是，利用了图形的几何特征，借助数形结 合的思想方法求解 练习： 1、由动点P向圆1 22 =+yx引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，APB=600，则动点P 的轨迹方程是. 解：设),(yxP.APB=600，OPA=300.APOA，22=OAOP，2 22 =+yx， 化简得4 22 =+yx，动点P的轨迹方程是4 22 =+yx. 练习巩固：设)0)(0 ,(),0 ,(ccBcA为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值 )0( aa，求P点的轨迹. 解：设动点P的坐标为),(yxP.由)0(=aa PB PA ，得a ycx ycx = + + 22 22 )( )( ， 化简得0)1 ()1 (2)1 ()1 ( 2222222 =+acxacyaxa. 当1a时，化简得 0 1 )1 (2 2 2 2 22 =+ + +cx a ac yx ，整理得 2 2 22 2 2 ) 1 2 () 1 1 ( =+ + a ac yc a a x； 当1=a时，化简得0=x. 第 7 页 所以当1a时，P点的轨迹是以)0, 1 1 ( 2 2 c a a + 为圆心， 1 2 2 a ac 为半径的圆； 当1=a时，P点的轨迹是y轴. 2、已知两定点)0 , 2(A，)0 , 1 (B，如果动点P满足PBPA2=，则点P的轨迹所包围的面积等于 解：设点P的坐标是),(yx.由PBPA2=，得 2222 ) 1(2)2(yxyx+=+，化简得 4)2( 22 =+yx，点P的轨迹是以（2，0）为圆心，2 为半径的圆，所求面积为4. 4、已知定点)0 , 3(B，点A在圆1 22 =+yx上运动，M是线段AB上的一点，且MBAM 3 1 =， 问点M的轨迹是什么？ 解：设),(),( 11 yxAyxM.MBAM 3 1 =，),3( 3 1 ),( 11 yxyyxx=， = = yyy xxx 3 1 )3( 3 1 1 1 ， = = yy xx 3 4 1 3 4 1 1 .点A在圆1 22 =+yx上运动，1 2 1 2 1 =+yx， 1) 3 4 () 1 3 4 ( 22 =+yx，即 16 9 ) 4 3 ( 22 =+yx ，点M的轨迹方程是 16 9 ) 4 3 ( 22 =+yx . 例 5、已知定点)0 , 3(B，点A在圆1 22 =+yx上运动，AOB的平分线交AB于点M，则点M的 轨迹方程是. 解：设),(),( 11 yxAyxM.OM是AOB的平分线， 3 1 = OB OA MB AM ， MBAM 3 1 = .由变式 1 可得点M的轨迹方程是 16 9 ) 4 3 ( 22 =+yx. 练习巩固：已知直线1+=kxy与圆4 22 =+yx相交于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四 边形OAPB，求点P的轨迹方程. 解：设),(yxP，AB的中点为M.OAPB是平行四边形，M是OP的中点，点M的坐标为 ) 2 , 2 ( yx ， 且ABOM. 直 线1+=kxy经 过 定 点) 1 , 0(C， CMOM， 第 8 页 0) 1 2 ( 2 ) 2 () 1 2 , 2 () 2 , 2 ( 2 =+= yyxyxyx CMOM ，化简得1) 1( 22 =+yx.点P的轨迹方程是 1) 1( 22 =+yx. 类型九：圆的综合应用 例例 25252525、 已知圆06 22 =+myxyx与直线032=+yx相交于P、Q两点，O为原点，且 OQOP，求实数m的值 分析分析：设P、Q两点的坐标为),( 11 yx、),( 22 yx，则由1= OQOP kk，可得0 2121 =+yyxx， 再利用一元二次方程根与系数的关系求解或因为通过原点的直线的斜率为 x y ，由直线l与圆的方 程构造以 x y 为未知数的一元二次方程，由根与系数关系得出 OQOP kk的值，从而使问题得以解决 解法一：解法一：设点P、Q的坐标为),( 11 yx、),( 22 yx一方面，由OQOP，得 1= OQOP kk，即1 2 2 1 1 = x y x y ，也即：0 2121 =+yyxx 另一方面，),( 11 yx、),( 22 yx是方程组 =+ =+ 06 032 22 myxyx yx 的实数解，即 1 x、 2 x是方 程0274105 2 =+mxx 的两个根 2 21 =+xx， 5 274 21 = m xx 又P、Q在直线032=+yx上， )(39 4 1 )3( 2 1 )3( 2 1 21212121 xxxxxxyy+= 将代入，得 5 12 21 + = m yy 将、代入，解得3=m，代入方程，检验0成立， 3=m 解法二：解法二：由直线方程可得yx23+=，代入圆的方程06 22 =+myxyx，有 0)2( 9 )6)(2( 3 1 222 =+yx m yxyxyx， 整理，得0)274()3(4)12( 22 =+ymxymxm 由于0x，故可得 012)3(4)(274( 2 =+m x y m x y m 第 9 页 OP k， OQ k是上述方程两根故1= OQOP kk得 1 274 12 = + m m ，解得3=m 经检验可知3=m为所求 说明说明：求解本题时，应避免去求P、Q两点的坐标的具体数值除此之外，还应对求出的m值 进行必要的检验，这是因为在求解过程中并没有确保有交点P、Q存在 解法一显示了一种解这类题的通法，解法二的关键在于依据直线方程构造出一个关于 x y 的二次 齐次方程，虽有规律可循，但需一定的变形技巧，同时也可看出，这种方法给人以一种淋漓酣畅， 一气呵成之感 例例 26262626、已知对于圆1) 1( 22 =+yx上任一点),(yxP，不等式0+myx恒成立，求实数m的 取值范围 分析一分析一：为了使不等式0+myx恒成立，即使myx+恒成立，只须使myx+ min )( 就行了因此只要求出yx+的最小值，m的范围就可求得 解法一：解法一：令yxu+=， 由 =+ =+ 1) 1( 22 yx uyx 得：0) 1(22 22 =+uyuy 0且 22 8) 1(4uu+=， 0) 12(4 2 +uu 即0) 12 2 uu，2121+u， 21 min =u，即21)( min =+yx 又0+myx恒成立即myx+恒成立 myx=+21)( min 成立， 12 m 分析二分析二： 设圆上一点)sin1,(cos+P因为这时P点坐标满足方程1) 1( 22 =+yx问题转化 为利用三解问题来解 解法二：解法二：设圆1) 1( 22 =+yx上任一点)sin1,(cos+P)2,0 cos=x，sin1+=y 第 10 页 0+myx恒成立 0sin1cos+m 即)sincos1 (+m恒成立 只须m不小于)sincos1 (+的最大值 设1) 4 sin(2