2019届高三数学9月份联考试题 理(含解析).doc

2019届高三数学9月份联考试题 理(含解析)一、选择题1. 已知集合，则中的元素的个数为( )A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C【解析】因为或，所以，应选答案C。2. 已知，为虚数单位，则( )A. 9 B. C. 24 D. 【答案】A【解析】因为 ，所以，则，应选答案A。3. 已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的最小值是( )A. B. 0 C. D. 【答案】B【解析】由题设，故在上单调递增，则当x=12时取最小值g(12)=22=0，应选答案B。4. 已知a=40.3，b=813，c=log0.3，这三个数的大小关系为( )A. bac B. abc C. cab D. cba【答案】C【解析】因为00.31c=log20.30,1a=40.3=20.62=b=813，所以ca0,0,0的最大值为3，y=fx的图象的相邻两条对称轴间的距离为2，与y轴的交点的纵坐标为1，则f13=( )A. 1 B. 1 C. 32 D. 0【答案】D【解析】由题设条件可得A=2,T2=2T=4，则=24=2，所以f(x)=2cos(2x+)+1，将点P(0,1)代入可得f(x)=2cos(0+)+1=1cos=0，即=k+2,kZ，又01不成立，故0a0,b0的虚轴上、下端点分别为A,B，右顶点为C，右焦点为F，延长BC与AF交于点P，若O,C,P,A四个点共圆，O为坐标原点，则该双曲线的离心率为( )A. 2+12 B. 3+12 C. 5+12 D. 5+22【答案】C【解析】由题设AFBCkAFkBC=1，即bcba=1b2=ac，也即e2e1=0e=5+12，应选答案C。12. 已知函数fx=3lnxx2+a12x在区间1,3上有最大值，则实数a的取值范围是( )A. 12,5 B. 12,112 C. 12,112 D. 12,5【答案】B【解析】因为f(x)=3x2x+a12，所以由题设f(x)=3x2x+a12在(1,3)只有一个零点且单调递减，则问题转化为f(1)0f(3)0a112012a0f(3)0，这是解答本题的难点，也是解答好本题的突破口，如何通过解不等式使得问题巧妙获解。二、填空题13. 已知向量a=6,2，b=1,m，且ab，则a2b=_【答案】45【解析】由题设62m=0m=3，则a=6,-2，b=1,3，a-2b=4,-8，所以a-2b =41+4=45，应填答案45。14. 已知集合U=R，集合A=5,2，B=1,4，则下图中阴影部分所表示的集合为_【答案】5,1【解析】因为A=-5,2，B=1,4，所以CUB=x|x1或x4，则图中阴影部分所表示的集合为(CUB)A=x|5x1，应填答案-5,1。15. 若函数fx=x+mexmR的图象在点1,f1处的切线斜率为2e，则函数fx的极小值是_【答案】1e【解析】因为f(x)=ex+(x+m)ex=(x+m+1)ex，所以由导数的几何意义可得切线的斜率k=(m+2)e=2em=0，故f(x)=xex，令f(x)=(x+1)ex可得x=1，则函数的极小值为f(1)=e1，应填答案-1e。16. 若函数fx=8xx22a+16至少有3个零点，则实数a的取值范围是_【答案】4,5【解析】由fx=8x-x2-2a+16=0可得2a16=|x28x|，则问题转化为函数y=2a16,y=|x28x|的图像有至少三个交点，结合图像可以看出当02a1616162a32时，即4a5时满足题设，应填答案4,5。点睛：本题的求解过程体现了数形结合的数学思想的巧妙运用，求解时先在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图像，进而借助图像的直观建立不等式02a1616162a32，进而通过解不等式求出参数的取值范围40，函数gx=3x200log0.392x-120，解得19x13，即A=19,13.当m=2时，因为0x2，所以190，所以函数fx在-4,2上递增，因为f-4=-34-0+4=-2，f2=32+1+4=7+44.所以函数fx在-4,2上的值域为-2,7+44.19. 如图，在多面体ABCDFE中，四边形ADFE是正方形，在等腰梯形ABCD中，ADBC，AB=CD=AD=1，BC=2，平面ADFE平面ADCB.(1)证明：ACBE；(2)求二面角的余弦值. 【答案】（1）见推证过程；（2）。 (1)证明：如图，取的中点，连接，因为，所以四边形为平行四边形，又，所以四边形为菱形，从而.同理可证，因此.由于四边形为正方形，且平面平面，平面平面，故平面，从而，又，故平面，即.(2)解：由(1)知可建立如图所示的空间直角坐标系.则，.故，设为平面的一个法向量，故，即，故可取.又AF=-12,32,1，AC=0,3,0，设n=x2,y2,z2为平面AFC的一个法向量，故nAF=0nAC=0，即-12x2+32y2+z2=03y2=0，故可取n=2,0,1.故cos=mnmn=310535.易知二面角A-FC-B为锐角，则二面角A-FC-B的余弦值为310535.点睛：空间向量是解决空间角度和距离的计算问题的有效工具，本题的第二问巧妙地借助题设条件建立了空间直角坐标系，运用空间向量的数量积公式的坐标形式及待定系数法先求出两个平面的法向量，然后再运用数量积的公式的两种形式建立方程求出其二面角的余弦值，使得问题获解。20. 已知函数fx=2ex2ex+ax+bsinxa,bR.(1)当b=0时，fx为R上的增函数，求a的最小值；(2)若a1，2b3，fax1+fxa0，求x的取值范围. 【答案】（1）4；（2）,1。【解析】【试题分析】（1）先求函数fx=2ex-2e-x+ax+bsinx的导数，再依据题设条件建立不等式2ex+2e-x+amin0，然后运用基本不等式求2ex+2e-x+a的最小值，进而得到4+a0，求出a的最小值；（2）先判断函数fx=2ex-2e-x+ax+bsinx的奇偶性与单调性，从而将不等式fax-1+fx-a0等价转化为fax-1-fx-a=fa-x，进而转化为ax-1-1，2ex+2e-x+a4+a3，2b3，bcosx-b,b，-3bcosx0，fx为R上的增函数，又f-x=-fx，fx为奇函数，由fax-1+fx-a0得fax-1-fx-a=fa-x，fx为R上的增函数，ax-1a-x，a+1x-1，a+10，x1.故x的取值范围为-,1.点睛：本题以含参数的函数解析式为背景，旨在考查导数知识在研究函数的单调性、极值最值等方面的综合运用。求解第一问时，先求函数fx=2ex-2e-x+ax+bsinx的导数，再依据题设条件建立不等式2ex+2e-x+amin0，然后运用基本不等式求2ex+2e-x+a的最小值，进而得到4+a0，求出a的最小值为-4；第二问的求解过程中，先判断函数fx=2ex-2e-x+ax+bsinx的奇偶性与单调性，从而将不等式fax-1+fx-a0等价转化为fax-1-fx-a=fa-x，进而转化为ax-10，函数fx=lnxmx，gx=1x.(1)若fxgx恒成立，求m的取值范围；(2)证明：不论m取何正值，总存在正数x0，使得当xx0,+时，恒有fx2e；（2）总存在x0，使得当xx0,+时，恒有fx12.【解析】【试题分析】（1）先将不等式fxgx等价转化为lnxx0，x0，所以fxgx可化为lnxx0；当xe2,+，gx2e.(2)(方法一)：fx=1-lnxmx2x0，令fx0，得0xe；令fxe，fxmax=fe=1me，当1me2e时，显然存在正数x0满足题意，当0m2e时，fx在e,+上递减，且fe=1me12，必存在x1e,+，fx1=12.故存在x0=x1，使得当xx0,+时，fx12.(方法二)：fx12lnx-mx20；当x2m,+，hx0.所以hx的单调增区间是0,2m，单调减区间是2m,+，因为h1=-m20，所以当2m1，即m2时，存在x0=1，使得当x1,+，恒有hx0.即fx12.当0m2时，由(1)知lnxx1x，即lnxx，所以hx=lnx-mx2x-mx2，由x-mx2=0得x=4m2，所以h4m24m2-m24m2=0，因为2m4m2，所以，根据函数的图象可知存在x0=4m2，使得当x4m2,+，恒有hx0，即fx12.综上所述，总存在x0，使得当xx0,+时，恒有fx12.22. 已知直线的参数方程为x=3+3ty=3+t(为参数)，在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为2+23cos2sin5=0.(1)求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程(化为标准方程)；(2)设直线与曲线C交于A,B两点，求OAOB.【答案】（1）x+32+y12=9；（2）2。【解析】试题分析：（1）先运用消参法将直线的参数消去化为普通方程，再借助直角坐标与极坐标之间的互化公式将曲线C的极坐标方程化为普通坐标方程；（2）先将直线的普通方程化为极坐标方程，然后代入曲线的极坐标方程中，借助根与系数的关系及极径的几何意义求出OA-OB：解：(1)直线的普通方程为x-3=3y-3即y=33x，曲线的直角坐标方程是，即.(2)直线的极坐标方程是，代入曲线的极坐标方程得：，所以，.不妨设，则，所以.23. 已知函数.(1)证明：；(2)若，求的取值范围.