2019届高三数学4月模拟考试试题 理(含解析).doc

2019届高三数学4月模拟考试试题 理(含解析)一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。1. 已知, 若,则（ ）A. B. C. 或 D. 或或【答案】D【解析】或，若时，；若时，；若时，故或或，故选D.2. 已知复数满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由，则，故选C.3. 下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为、，如图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是（ ）A. 6 B. 10 C. 91 D. 92【答案】B【解析】试题分析：由算法流程图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数，所以由茎叶图知：数学成绩大于等于90的人数为10，因此输出结果为10. 故选B.考点：1.茎叶图的认识；2.程序流程图的认识4. 等差数列an中，ana2n是一个与n无关的常数，则该常数的可能值的集合为（ ）A. 1 B. 1,12 C. 12 D. 0,1,12【答案】B【解析】试题分析：由题意得，因为数列an是等差数列，所以设数列an的通项公式为an=a1+(n1)d，则a2n=a1+(2n1)d，所以ana2n=a1+(n1)da1+(2n1)d，因为ana2n是一个与n无关的常数，所以a1d=0或d=0，所以ana2n可能是1或12，故选B.考点：等差数列的通项公式.5. 如图所示是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边BD长为2，侧视图是一直角三角形，俯视图为一直角梯形，且AB=BC=1，则异面直线PB与CD所成角的正切值是（ ）A. 1 B. 2 C. 22 D. 12【答案】C【解析】如图，取AD的中点E，连接BE,PE,CE，依题意得，BE/CD，所以PBE为异面直线PB与CD所成角，因为PE=1,BE=2,PEBE，所以tanPBE=PEBE=22，故选C.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.6. 若二项式3xnnN* 中所有项的系数之和为a，所有项的系数的绝对值之和为b，则ba+ab的最小值为（ ）A. 2 B. 52 C. 136 D. 92【答案】B【解析】试题分析：令，可求得；令，可求得；所以ba+ab，令，所以ba+ab，故应选.考点：1.二项式定理；2、函数的最值；7. 非空集合A=(x,y)|ax2y+80xy102x+ay20,当(x,y)A时,对任意实数，目标函数的最大值和最小值至少有一个不存在,则实数a的取值范围是（ ）A. (，2) B. C. 2，+) D. (2，+)【答案】A【解析】当a=0时，不等式组表示的平面区域是半封闭的区域（如图1所示），则对任意实数m，目标函数z=x+my的最大值和最小值至少有一个不存在，即a=0符合题意，故排除选C、D，当a=1时，不等式组表示的平面区域是半封闭的区域（如图2所示），则对任意实数m，目标函数z=x+my的最大值和最小值至少有一个不存在，即a=1符合题意，故排除选B；故选A. 图1 图28. 设函数f(x)=asin(x+)+bsin(x+)+csin(x+)，则p:“f(2)=0”是q:“f(x)为偶函数” 的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】C【解析】若f(2)=0，即asin2+bsin2+csin2+=0，所以acos+bcos+ccos=0，所以fx-f-x=asinx+bsinx+csinx+-asin-x+-bsin-x+-csin-x+=acos+bcos+ccossinx=0，即f(x)为偶函数；当f(52)=0时，f(x)也为偶函数；所以p:“f(2)=0”是q:“f(x)为偶函数” 的充分而不必要条件；故选A.9. 已知函数f(x)=|lgx|，ab0，f(a)=f(b)，则a2+b2ab的最小值等于（ ）A. 22 B. 5 C. 2+3 D. 23【答案】A【解析】试题分析：因为f(a)=f(b)，所以ab=1，又因为ab0，所以ab0,a2+b2ab=(ab)2+2abab=(ab)+2abab22,故选A.考点：1.对数的性质；2.基本不等式的性质.10. 正项等比数列an满足：2a4+a3=2a2+a1+8，则2a6+a5的最小值是（ ）A. 64 B. 32 C. 16 D. 8【答案】B【解析】设正项等比数列an的公比q0，2a4+a3=2a2+a1+8，2a2+a1q21=8q1，则2a6+a5=q42a2+a1=8q4q21=8q2+1+8q21=8q21+8q21+16=fq，q1时，fq82q211q21+16=32，当且仅当q=2时取等号，0q0恒成立，所以h(x)在1,2上递增，即g(x)在在1,2上递增，则有g(x)g(1)=e20，则g(x)在1,2上递增，且g(x)min=g(1),g(x)max=g(2)，不等式mg(x)m22恒成立，即有mg(1)=e+1m22g(2)=e22mm22，解得me或eme+1，所以实数m有最大值e+1，故选D.考点：利用导数研究曲线在某点的切线方程.【方法点晴】本题主要考查了导数的运用：求切线方程和判断函数的单调性，着重考查了函数的单调性的判定及应用、不等式的恒成问题的转化为函数的最值问题，属于中档试题，通知考查了推理、运算能力和转化的数学思想方法的运用，本题的解答中根据题意先求得a,b的值，得出函数g(x)的解析式，再判断函数g(x)的单调性与最值，把不等式的恒成转化为函数的最值问题，即可求解m的取值范围.12. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0) x2a2+y2b2=1（ab0），F1,F2为其左、右焦点，P为椭圆C上任一点，F1PF2的重心为G，内心，且有IG=F1F2（其中为实数），椭圆C的离心率e=( )A. 12 B. 13 C. 23 D. 32【答案】A【解析】试题分析：设P（x0,y0），G为F1PF2的重心，G点坐标为 G（x03,y03），IG=F1F2，IGx轴，I的纵坐标为y03，在焦点F1PF2中，|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c,SF1PF2=12|F1F2|y0|，又I为F1PF2的内心，I的纵坐标y03即为内切圆半径，内心I把F1PF2分为三个底分别为F1PF2的三边，高为内切圆半径的小三角形，SF1PF2=12（|PF1|+|PF2|+|F1F2|）|y0|3，12|F1F2|y0|=12（|PF1|+|PF2|+|F1F2|）|y0|3即122c|y0|=12（2a+2c）|y0|3，2c=a，椭圆C的离心率e=ca=12，故选A考点：本题考查了离心率的求法点评：求解椭圆中的离心率时往往用到椭圆的概念，此类问题还用到重心坐标公式，三角形内心的意义及其应用本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题-第（23）题为选考题，考生根据要求作答。二填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分。13. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形,点为的中点，则面将四棱锥所分成的上下两部分的体积的比值为_【答案】35【解析】试题分析：设棱锥的底面ABCD的面积为S，高为h，VP-ABCD=13Sh，先求三棱锥FBDC的体积，VFBDC =13SDBCh2=13S2h2=112Sh，同理VPADB=13S2h=16Sh，由于三棱锥BADFE和BPAD等高，而SADFESPAD=34，则VBADFE=3416Sh=18SH，所以下半部分的体积为524Sh，上半部分的体积为13Sh524Sh=324Sh，所以上下两部分体积之比为35；考点：几何体的体积；14. 已知A，B，P是双曲线x2a2y2b2=1a0，b0上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点O，若直线PA，PB的斜率乘积kPAkPB=3，则双曲线的离心率为_.【答案】2【解析】A,B一定关于原点对称，设Ax1,y1,Bx1,y1,Px,y，则x12a2y12b2=1,x22a2y22b2=1,x2a2y2b2=1, kPAkPB=y2y12x2x12=b2a2=3,e=1+b2a2=2，故答案为2.15. 如图，将平面直角坐标系中的纵轴绕原点O顺时针旋转30后，构成一个斜坐标平面xOy.在此斜坐标平面xOy中，点Px,y的坐标定义如下：过点P作两坐标轴的平分线，分别交两轴于M,N两点，则M在Ox轴上表示的数为x，N在Oy轴上表示的数为y.那么以原点O为圆心的单位圆在此斜坐标系下的方程为_.【答案】x2+y2+xy1=0【解析】试题分析：过点P作PAx,PBy，设P(x,y)在直角坐标下的坐标为P(x1,y1)，因为BON=30,ON=y，所以OB=32y,BN=12y，即y1=32y,x1=x+12y，因为P(x1,y1)在单位圆上，所以x12+y12=1，即(32y)+(x+12y)=1，整理得x2+y2+xy1=0.考点：圆的一般方程.【方法点晴】本题主要考查了与直角坐标有关的新定义的运算问题，对于新定义试题，要紧紧围绕新定义，根据新定义作出合理的运算与变换，同时着重考查了转化与化归的思想方法的应用，属于中档试题，本题的解答中，设出P(x,y)在直角坐标下的坐标为P(x1,y1)，建立两个点之间的变换关系，代入单位圆的方程，即可曲解轨迹方程，其中正确得到两点之间的变换关系是解答的关键.16. 已知函数fx=x+2x2+ax5 的图象关于点2,0中心对称，设关于x的不等式fx+mfx 的解集为A，若5,2A，则实数m的取值范围是_ 【答案】m3或m=3【解析】因为函数fx=x+2x2+ax-5 的图象关于点-2,0中心对称，所以f(4)+f(0)=0，即2(114a)10=0，解得a=4，即fx=x+2x2+4x-5=x3+6x2+3x-10，fx+mfx等价于fx+m-fx0，即m3x2+3(m+4)x+m2+6m+30时，则3x2+3(m+4)x+m2+6m+30，则3(5)215(m+4)+m2+6m+30 且3(2)26(m+4)+m2+6m+30，解得3m63m3，所以m=3；当m=0时，显然不符合题意；当m0，即3(5)215(m+4)+m2+6m+30 且3(2)26(m+4)+m2+6m+30，解得m3；综上所述，则m-3或m=3.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17. 在ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c，且btanA=(2cb)tanB（1）求角A的大小； （2）设ADBC，D为垂足，若b=2，c=3，求ADAC的值【答案】(1)3 ；(2)277 .【解析】试题分析：（1）由正弦定理，将边角关系统一化为角：sinBsinAcosA=(2sinCsinB)sinBcosB，再利用两角差正弦公式及诱导公式进行化简：sinAcosB=2sinCcosAcosAsinB sin(A+B)=2sinCcosA cosA=12解得A=3（2）先利用ADBC化简ADAC得：ADAC=AD（AD+DC）=|AD|2,因此关键求AD，这可利用余弦定理解出a=7，再根据面积公式求出高AD：12BCAD=12ABACsinA AD=3217试题解析：（1）btanA=(2cb)tanB，由正弦定理，得sinBsinAcosA=(2sinCsinB)sinBcosB,又在ABC中，sinB0，sinAcosB=2sinCcosAcosAsinB，即sin(A+B)=2sinCcosA， 又 sin(A+B)=sinC0，cosA=12，又 0A3.841， 因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系 （3）依题意9人中年级名次在150名和9511000名分别有3人和6人， X可取0、1、2、3 P(X=0)=C63C93=2084， P(X=1)=C62C31C93=4584， P(X=2)=C61C32C93=1884， P(X=3)=C33C93=184 X的分布列为X0123P208445841884184X的数学期望EX=02084+14584+21884+3181=1. 20. 过直线上一动点A(A不在y轴上)作焦点为F(2,0)的抛物线y2=2px的两条切线,M,N为切点,直线AM,AN分别与y轴交于点B,C.()求证:BFAM，并求ABC的外接圆面积的最小值；()求证:直线MN恒过一定点。 【答案】()证明见解析，外接圆面积最小值为：4920.()证明见解析.【解析】试题分析：(1)写出抛物线方程，联立直线和抛物线的方程，得到关于x的一元二次方程，利用判别式为0判定两直线垂直，进而求得外接圆的最小值；(2)先得到直线方程，再代点确定点的关系，进而得到直线MN的方程，再验证恒过定点 .试题解析：( I ) p=4,y2=8x 设B(0,b)，则直线AM为y=k1x+b，与y2=8x联立，得：k12x2+(2k1b-8)x+b2=0因为相切，所以1=(2k1b-8)2-4k12b2=0，得：k1=2b，又kBF=b-00-2=-b2，所以k1kBF=-1 即BFAM，同理：CFAN，所以AF为ABC的外接圆，又因为：AFmin=75，所以ABC的外接圆面积最小值为：4920.（）设点A(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2)，易知：直线AM方程为：4x-y1y+4x1=0，代入点A坐标得：4x0-y1y0+4x1=0，同理：4x0-y2y0+4x2=0，所以直线MN方程为：4x-y0y+4x0=0，又点A(x0,y0)满足：x0+2y0+5=0所以直线MN恒过定点(5,-8)21. 已知函数f(x)=lnx，g(x)=f(x)+ax2+bx，其中函数y=g(x)的图象在点(1,g(1)处的切线平行于x轴（1）确定a与b的关系；若a0，并试讨论函数g(x)的单调性； （2）设斜率为k的直线与函数y=f(x)的图象交于两点A(x1,y1),B(x2,y2) (x1x2)，求证：1x2k0)，当a=0时，g(x)=-(x-1)x(x0)，当x1时，g(x)0，函数g(x)在(1,+)单调减；当0x0，函数g(x)在(0,1)单调增； 当0a1，g(x)=2a(x-12a)(x-1)x(x0)，函数g(x)在(1,12a)上单调减；函数g(x)在(12a,+)和(0,1)单调增； 当a=12时，即2a=1，g(x)=(x-1)2x0(x0)，函数g(x)在(0,+)单调增； 当a12时即12a0)，函数g(x)在(12a,1)单调减区间；函数g(x)在(1,+)和(0,12a)单调增； （2）由题设x2x10，1x2k1x11x2lnx2-lnx1x2-x11x1 x2-x1x2lnx2-lnx1x2-x1x1 1-1x2x1lnx2x11)，则h(x)=1x-1=1-xx(x1)，x1时，h(x)1时，h(x)x10，x2x11， h(x2x1)=lnx2x1-x2x1+10，即lnx2x11)，则H(x)=1x-1x2=x-1x2(x1)， x1时，H(x)0， H(x)在(1,+)是增函数， x1时，H(x)H(1)=0， H(x2x1)=lnx2x1+1x2x1-10，即1-1x2x1lnx2x1 由得1x2k1x1请考生从第（22）、（23）两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。22. 已知圆C: