Householder正交矩阵的新观点.doc

Householder正交矩陣的新觀點陳正宗 郭世榮 李慶鋒國立臺灣海洋大學河海工程學系，基隆，台灣摘要文獻中有許多的方法可建立正交矩陣，Householder利用鏡射導得正交對稱矩陣。本文提出奇數階與偶數階Householder矩陣，均可分別由eAt與eiBt導得，其中A為反對稱實矩陣，B為對稱實矩陣，t為某特定時間。本文並分別舉一階到五階的例子，說明Householder矩陣均可由本文新觀點導得。一. 前 言正交矩陣在工程應用及數學、力學理論推導中佔有非常重要的角色。在數學與力學上，正交矩陣是在不同觀察座標系統下線性代數中矩陣轉換的基礎，也是求解特徵值問題最有力的工具。在工程應用上，藉由尤拉角描述剛體運動的轉換矩陣也具正交性。因此如何有效率地建立正交矩陣族是我們所關心的1-10。函數矩陣在生物、經濟及物理上常應用的到，陳11發展矩陣的餘式定理，有效的利用Cayley-Hamilton定理來計算矩陣函數。在這篇文章中，我們將利用反對稱矩陣A，透過矩陣函數eAt的方法2,18-21來建立奇數階的Householder正交矩陣，及透過對稱矩陣B，利用矩陣函數eiBt的方法來建立偶數階的Householder矩陣，並證明出Householder矩陣均可以此矩陣函數表示之。亦即Householder矩陣可以說是建立正交矩陣族方法中的一個特例而已。二. Householder矩陣回顧如果為一非零向量，存在一個nn的矩陣，使得，此時H稱為Householder 矩陣。從此定義中，我們可以發現許多有趣的性質，例如：(a) HT=H(對稱) (b) HHT=HTH=H2=I ，其中I為單位矩陣 (c) 其中為任一向量，經由H映射後之向量。(d) 由(c)我們可從22的矩陣看出其映射關係：=,吾人可得到,其中R2.x2 x2 ax1x1 a Hv() aHv()鏡射平面法向量，Hv()為鏡射面法向量(x1cosa+x2sina=0)圖一： 鏡射面與鏡射三. 矩陣相似定理與矩陣餘式定理3.1 矩陣相似定理存在一個n階方陣A，特徵值分別為l1,l2,ln，其相對應的特徵向量分別為為f1,f2,fn，則A與D矩陣滿足相似關係，亦即AC=CD，若C-1存在，則可寫成A=CDC-1 (1)其中 (2) (3)3.2 矩陣餘式定理在實數餘式定理中，給定一函數f(x)，若除以x-a，其餘式為f(a)，吾人可寫為f(x)=(x-a)Q(x)+f(a) (4)其中Q(x)為商式，同理當除式為n次式時，可表示為f(x)=(anxn+an-1xn-1+a1x+a0)Q(x)+rn-1xn-1+r1x+r0 (5)其中rn-1xn-1+r1x+r0為餘式。若將實數改為方陣A，則亦有相同的特性，即f(A)=rn-1An-1+r1A+r0I (6)其中anAn+an-1An-1+a1A+a0I =0，係由Cayley- Hamilton定理導得。亦即anAn+an-1An-1+a1A+a0I =0為A之特徵方程式。而當A方陣具有重根特徵值時，則由於方程式數目小於未定係數的數目。因此需將(5)式做微分處理，而n次重根，就需做n次微分，以此類推。矩陣的餘式定理非常適合用在特徵值重根的情況，因無需要導得特徵向量即可求得矩陣函數。我們用以下的兩個例子來說明：例1：E=，利用矩陣的餘式定理，可導得eEt=(-6te2t-3e2t+4e3t)I+(5te2t+4e2t-4e3t)E+(-te2t-e2t+e3t)E2 (7)其中I=，E=，E2=因此我們可得到 (8) 例2：E=，利用矩陣的餘式定理，可導得eEt= (9)其中I=，E=，E2=因此，我們可得到 (10) 四. 由33方陣導eAt與Householder矩陣關係令=，可導得33的Householder矩陣=其中=1。若令反對稱矩陣A=，則A的特徵值為0,i,-i，若利用矩陣的餘式定理，則可得到 (11) 其中w=1(11)式即為Euler-Rodrigues 公式。因此當t=p時，則可得到eAp=-H (12) 亦即存在一反對稱矩陣A，使得-eAp=H。因此當=，經由Householder 矩陣及-eAp的運算，可得到相同的結果。五. 奇數階反對稱矩陣A與eAt之關係在奇數階反對稱A中，我們可知AAT=-A2，其中AAT為一正定且對稱之矩陣，因此A的特徵值具有純虛數且共軛之特性。因此我們在奇數階反對稱矩陣A中，為滿足正交矩陣的特性，需選擇一特徵值為0，滿足A=010。且剩餘之特徵值為純虛數，兩兩之間互為共軛。因此我們令A矩陣的特徵值分別為0,b1i,-b1i,b2i,-b2i,bni,-bni，其相對應之特徵向量分別為，其中與兩兩互相正交，其證明的方式如下：我們令A之特徵值bni,相對應的特徵向量分別為，則A()=ibn() (13) 由共軛關係知A()= (14) 亦即 A()=-ibn() (15) 將(13)式前乘()T矩陣，可得()TA()=ibn()T() (16) 經整理可得(TA-TA)+i(TA+TA)=bn-(T+T)+i(T-T) (17)由於TA為一純量，令TA=h，其中h為實數，則h=hT (18)(TA)T=TAT=-TA故 h=-hT (19)則由(18) 式及(19)式可得TA=0 (20)同理TA=0 (21) 因此(17)式子中實部為0。令TA=x，TA=z，其中x,z皆為實數，則xT=x,zT=z(TA)T=TAT=-TA=-z=xT=x故 x=-z (22)即TA=-TA代入(17)式子中，虛部亦為0，因此T=T (23)又因T=T (24)所以T=T=0 (25)令T=1，則T=T=1 (26)因為A2對稱，因此A2=FDA2F-1=F DA2FT (27)故可得到AF=FDA，A=FDAF-1=FDAFT (28)其中DA=(29) F= (30) FT=F-1=T (31)因此eAt=FDEF-1=FDEFT (32)其中DE= (33) 若b1=b2=bn=k，t=p/k (其中k為任意實數)，則可得eAt=eAp=FDxF-1=FD1+D2FT=-I+2vvT=-H (34) 其中Dx=D1+D2 (35)Dx= (36) D1= (37) D2= (38) 因此eAp=-H，得證之。由以上的證明，在奇數階反對稱方陣我們可得到一個結論：由Householder矩陣()，其中為一向量，則存在一奇數階反實對稱方陣A( AT=-A)，當t=p時，會使得eAt=-H，其中A的特徵值為0, i。因此我們可以說Householder矩陣所建立的正交矩陣均可以以-eAt來表示，其中A為奇數階反對稱矩陣。六. 實對稱矩陣B與eiBt之關係若有一單位向量使得B=，則B為一對稱矩陣且其特徵值為1,0,0,。特徵值為1時的特徵向量即為，由相似定理可知iB=YDBY-1=YDBYT (39)其中實數特徵向量所組成的矩陣Y= (40) Y-1=YT= (41) 當t=p 時，eiBt=eiBp=YDyYT=YD3-D4YT=I-2=H (42) 其中DB= (43) Dy=D3-D4 (44)Dy= (45) D3= (46) D4= (47) 因此eiBt= =H，得證之。由以上的證明，可得到一個結論：Householder矩陣()，必存在一實對稱方陣B(BT=B)，當t=p時，使得eiBt=H。其中B=，且特徵向量為1,0。七. 由反對稱矩陣建立正交矩陣我們發現奇數階反對稱矩陣可透過eAt的關係，在t=p 時，轉換為Householder矩陣，因此我們以55反對稱矩陣的例子來說明。7.1 55反對稱矩陣與Householder矩陣的關係令，則Householder矩陣可寫成 (48)其中|=T=1。滿足eAt=-H的A在55反對稱矩陣並不唯一，我們發現，其中有一個共通的模式，都是以反對稱矩陣中某個0為中心，以十字方式填入a,b,c,d,e，再利用A=0，求出其餘項的值，其方式如下：55反對稱矩陣 (49) (50) 諸如此類，奇數階在5階以上的答案選擇性較多。7.2 33反對稱矩陣與Householder矩陣的關係 33反對稱矩陣就沒這麼多可選擇性的答案，原因是=時， 以7.1的方法來決定AA=，如何滿足A=0?則僅有一種填法取-a，即A=我們由參數個數可以判定，在n階時，向量的自由度為n-1個，A矩陣中未知個數自由度為個，當向量自由度個數與A矩陣個數相等時，即時，可得n=3，因此在33反對稱矩陣可以很漂亮的表示出通式，而55反對稱矩陣無法表示出其漂亮的通式之原因，乃係於此。八. 1階到5階的數值例子8.1 反對稱實矩陣奇數階數值例子(1) 11方陣當，=-1。因此當A1=0，t=p 時，=1=-H1(2) 33方陣當，因此當A3=，t=p 時，=-H3(3) 55方陣 當，A5有許多選擇使得當t=p 時，=-H5，舉三例如下： 因此A5的選擇並不唯一，均可使=-H5。同理，可推到更高的奇數階Householder矩陣。8.2 對稱實矩陣數值例子(1) 11方陣當，=-1因此當B1=1，且t=p 時，=-1=H1(2) 22方陣當，因此當B2=，且t=p 時，=H2(3) 33方陣當，因此當B3=，且t=p 時，= H3(4) 44方陣當，因此當B4=，且t=p時，=H4(5) 55方陣 當，因此當，且t=p 時， =H5 由以上反對稱方陣與實對稱矩陣的例子，吾可利用反對稱方陣與實對稱矩陣，透過t=p，達成Householder矩陣的結果。九. 結論本文發現，計算eAt時，當t=0時，會對應回單位矩陣(I)，而當t=p時，則會對應到Householder矩陣。本文提出奇數階與偶數階Householder矩陣，均可分別由eAp與eiBp導得，其中A為奇數階反對稱實矩陣，B為對稱實矩陣。本篇文章所導出的結果，可用以下列集合示意圖說明之所有正交矩陣族 Householder矩陣 eiBt矩陣eAt矩陣t=pt=p奇數階Householder矩陣偶數階Householder矩陣圖二 Householder矩陣，正交矩陣與矩陣函數關係圖 由以上結果，我們期望當t不為0, p 之其他的值時，是否會出現一些更有幾何或物理意義的正交矩陣出現，將是以後研究的方向。參考文獻1. 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