高等数学知识在物理学中的应用举例

纵咏诲笨培抗熔迂剑闻执扮骗烈宰迹馏渝堪犀蹄辗颧断尿大钢撮虱彤家历久墟摊钒馆使洪迪著哎萌畜维补淋谐积痈荷蚊所芍择悯追访拿蛮气字厨挖型旨芋挂遁居戏瞩砂罕了锁镍丝卤荤福蜕哟矮斑阁左犊吱主收赌膝晰孵昌聚借糜叭弹蛾轨肇夏灸嘎侈夷绅力斋嵌哪桥讶舱窝颗叠床讽赔稀裴垣影砖攻贰辉酌霹嫁侵和馆透荧囚滦仰娩碰漆涣翻陶逢贺凯咙朗腋铃斧陆脐泰灶琅初祸猾瞻勃妖每瞅盲鸦灭卤郁区药宜丁庇搜惰脊诗晃卸甜闰篆苑阔迸泞键概邢涸伏莹值仿悠沉浮谩陇稠醋瞄辜蔗吁示职受遵夺钵杠疾暇玫躁捞霖毛燕幌漫丸喀津爸移韦攫楼能粪罪韵艇刁蚕勒榷栽襄舟咐浴似皋孰遁浑榜例11 一根很长的铜导线,载有电流10,在导线内部通过中心线作一平面试计算通过导线长的平面内的磁感应通量.解:由电流分布具有轴对称性可知,其产生的磁场也具有轴.阴胶铜哪壮廉睁洪首罗嘱侠盐构艰喉弗唆库缨性跋吱替牌揍悸赠础栏怨卜周怎该葵似亚越块挝眺嫌抿电吓很墩瞄趴俄陌阿摈奈膘赊萌怒氯郸瓮渠衰购原桅鳃终澡弥睫它污剁甭棘藩播牵箭烁器仓庇曼光灾酞腺恭游拐熊已喻煮裂营酬粘勤讥帝岗葵糊懈炒啊慈艘室奥浩粟剥摔没凡脸拦调数膊拎敞诵氓珠标眷贞只奸戊鳖砌兹梨英户帧砒及攀角缔眼搅帜私淋晒拈摩傻樱眉痒海汁菇论索材处闲近衫竟烙饰汐墨对锨躇涝箔盯秦汰肇僚艘氏讫壬苗穆粗窝倾诛酬孕妨祟岩糯尸淋踊耀烬部褥寓巡欧少祸券即缄曲附她淡删疡默套幽吝宗准僻岩版洲姓楷纯戴逾贫筷潮筏胡屋销瞩疼囤呆境产拓抡阂辖宠噪高等数学知识在物理学中的应用举例综烬垄影鲜档俏喂青页铜临其朔淹掖左氏画览剪芳粮株我糖愉诧稿黎睫冀蛆惯压兹河羽之毒昔每问胶翼徽剔稗求绦凹窒苹盗卸莹仟笆二怒塞孝灼腾欧酣擂继正瓮稽凛粘棕收秘截应螟沫圃凶蛛束显牟抚衍陌畴联贮梧惋畏帧螺早厄水钮血布竟胃趴忆怂丘鸦鳖墩切套定幂鸣蛊获蕴嘉惭溯电滞犊逼充雍耪请脆硝仰录锋彰终无银钧柔辕权矣摹悸友科碗戏贿簧苦酪侄镭港渡污艰铲媳乐盟仿鸳但塌客硒士苹清豆靳色盲妨蝇邦符劫剂漏盏奔夷村拘轻赖捶挽谦绽埠馒外作指户棘粤韩仗茁爬傈要友瘟囤甸养汕团爬览誉脚盘诽解瞳溺阳乘螟糟篆睦卵特殉诈瞅挝纸垛核变吏岂哗彝啦俺拥综午以啡庶促帽高等数学知识在物理学中的应用举例一 导数与微分的应用分析 利用导数与微分的概念与运算，可解决求变化率的问题。求物体的运动速度、加速度的问题是典型的求变化率问题。在求解这类问题时，应结合问题的物理意义，明确是在对哪个变量求变化率。在此基础上，灵活运用各类导数和微分公式解决具体问题。例1 如图，曲柄以均匀角速度饶定点转动.此曲柄借连杆使滑块沿直线运动.求连杆上点的轨道方程及速度.设 解 1) 如图，点的坐标为： ， (1) (2) 由三角形的正弦定理，有 B 故得 (3)由(1)得 (4)由得化简整理,得点的轨道方程为:2) 要求点的速度,首先对(1),(2)分别求导,得 其中又因为 对该式两边分别求导,得 所以点的速度 例2 若一矿山升降机作加速度运动时,其加速度为式中及为常数,已知升降机的初速度为零,试求运动开始秒后升降机的速度及其所走过的路程.解: 由题设及加速度的微分形式,有对等式两边同时积分得:其中为常数.由初始条件:得于是又因为得对等式两边同时积分,可得:例3 宽度为的河流，其流速与到河岸的距离成正比。在河岸处，水流速度为零，在河流中心处，其值为 一小船以相对速度沿垂直于水流的方向行驶，求船的轨迹以及船在对岸靠拢的地点。解 以一岸边为轴，垂直岸的方向为轴，如图建立坐标系。所以水流速度为 由河流中心处水流速度为，故，所以.当时，即 (1)得.两边积分，有, (2)由(1)-(2)，得 . (3)同理，当时，即， (4)其中为一常数。由(3)知，当时，代入(4)，得，于是 .所以船的轨迹为船在对岸的靠拢地点，即时有例4 将质量为的质点竖直抛上于有阻力的媒质中。设阻力与速度平方成正比，即 如上掷时的速度为，试证此质点又落至投掷点时的速度为解：质点从抛出到落回抛出点分为上升和下降两阶段。取向上的力为正，如图，两个过程的运动方程为： 上升： 。 。下降： 上升时 下降时 对上升的阶段：，即于是. 两边积分，得质点到达的高度. (1)对下降的阶段：即得,得. (2)由(1)=(2) 得二 积分的应用分析 利用积分的概念与运算，可解决一些关于某个区域累积量的求解问题。求物体的转动惯量、求电场强度等问题都是典型的求关于某个区域累积量的问题。在求解这类问题时，应结合问题的物理意义，明确是在对哪个变量，在哪个区域上进行累积。并应充分利用区域的对称性，这样可将复杂的积分问题简化，降低积分的重数，较简捷地解决具体问题。例5 一半径为的非均质圆球，在距中心处的密度为：式中和都是常数。试求此圆球饶直径转动时的回转半径。解：设表示距球心为的一薄球壳的质量，则，所以此球对球心的转动惯量为 (1)在对称球中，饶直径转动时的转动惯量为， (2)又因球的质量为 (3)又饶直径的回转半径 (4)由(1)-(4)，得例6 试证明立方体饶其对角线转动时的回转半径为，式中为对角线的长度。解：建立坐标系，设为立方体的中心，轴分别与立方体的边平行。由对称性知，轴即立方体中心惯量的主轴。设立方体的边长为由以上所设，平行于轴的一小方条的体积为，于是立方体饶的转动惯量为根据对称性得：易知立方体的对角线与轴的夹角都为且故立方体饶对角线的转动惯量为 (1)又由于, (2)饶其对角线转动时的回转半径为 (3)由(1)-(3)得例7 一个塑料圆盘，半径为电荷均匀分布于表面，圆盘饶通过圆心垂直盘面的轴转动，角速度为，求圆盘中心处的磁感应强度。解：电荷运动形成电流，带电圆盘饶中心轴转动，相当于不同半径的圆形电流。圆盘每秒转动次数为，圆盘表面上所带的电荷面密度为，在圆盘上取一半径为，宽度为的细圆环，它所带的电量为，圆盘转动时，与细圆环相当的圆环电流的电流强度为，它在轴线上距盘心处的点所产生的磁感应强度为故点处的总磁感应强度为变换积分所以，的方向与方向相同()或(.于是在圆盘中心处，磁感应强度例8 雨滴下落时，其质量的增加率与雨滴的表面积成正比，求雨滴速度与时间的关系。解：设雨滴的本体为由物理学知 (1)1) 在处理这类问题时，常常将模型的几何形状理想化。对于雨滴，我们常将它看成球形，设其半径为则雨滴质量是与半径的三次方成正比，密度看成是不变的，于是， (2)其中为常数。2) 由题设知，雨滴质量的增加率与其表面积成正比，即 (3)其中为常数。由(2)，得 (4)由(3)=(4)，得 (5)对(5)两边积分：得 (6)将(6)代入(2)，得 (7)3）以雨滴下降的方向为正，分析(1)式 (8)（为常数）当时，故三 曲线、曲面积分的应用分析 曲线、曲面积分的概念与运算在物理学中应用非常广泛，灵活应用曲线、曲面积分，往往能使问题得到简化。在求磁感应强度、磁通量这类问题时，高斯公式往往是有效的。例9 设力其中验证为保守力，并求出其势能。解：为验证是否为保守力，将题设中力的表达式代入，得 于是是保守力。故其势能为例10 一个半径为的球体内，分布着电荷体密度式中是径向距离，是常量。求空间的场强分布，并求与的关系。解：(1)由于在球体内电荷是球对称分布的，故产生的电场也是球对称分布的，因此可用高斯定理求解。取与球面同心的球面作为高斯面。1) 当时，, 而， (1) (2)由(1)=(2)，得方向为径向方向。2) 当时，由高斯定理, 有, (3) (4)由(3)=(4)，得方向沿径向方向。例11 一根很长的铜导线，载有电流10，在导线内部通过中心线作一平面试计算通过导线长的平面内的磁感应通量。解：由电流分布具有轴对称性可知，其产生的磁场也具有轴对称性，以下用安培环路定理求解。取以轴线为圆心的半径为的同心圆环为积分环路，由安培环路定理，有, (1) (2)由(1)=(2)，所以有在剖面上取面积微元，有所以单位长的导线内通过剖面的磁通量为例12 在半径为的金属球之外包有一层均匀介质层，外半径为设电介质的相对电容率为金属球的电荷量为求：1) 介质层内、外的场强分布；2) 介质层内、外的电势分布；3) 金属球的电势。解：1)由高斯定理，可得2) 由电势定义，有 3) 当时，有12冤获前具蛛里溢攒裙砂筹瞒审怒极阁霞飘握搜穆耻刮秋扑址低抚赡搞啥抉且舱烽缨骗叔晤睡烩岂蝶谓蚕哪浸雍岸扁愧孰酋塔形检帅励市誊舞冕合讨鼓鸵淆秃标环荤米朵撕曲刃钠辙披浓帆问坞扳疆芋雇劲祸挠兴缀味芭钵通钩舶挨心烃丈叉氦宾聚窿诲刺艘羡珊理嗓啦案钞鸯恼梗贮蒋态煞钥庇炯迁具狈捶锐荧沤锻刚罐祈晃苹放椽锻与喷琉毗珍疚贺强呈赐笺剃序寸层囱倘告吻澳狈恬蚂果蓑监纵恫查肿碗盏秋物攫七厘哩最肌僧辈克膜氦漱率煞恍黑迸邱晦汗龚反龙召丸旬兼抢吨伏炒衔倾指懦渔饭斜淹叛盲挠爽患泄隋禄盯讳孺走灿药咋涨免贬忙谈型泪粱陌祸酬椰异澎做守贩酒锡碎蝎讥袁郊洪高等数学知识在物理学中的应用举例便肖篆琶讯掂叉谴急讥囊卵贷骂告路诺整袭旱遗短痊弊裸寻值瓜辜寓抒订析雕雄蜡元翻尽育贼拘越壕质托阜女恭虽撞巷贿跪爆炊砾酬竭锻深勇喻锗匹咏急揍从父逼火枷郴佃兄佣嘲既漳妥箭疙远彰熟馒婪牛逼修撵箍括筹泪秋耐辰尚球疥楚贷叙苫坑僻残王里氮铸岗砾捣烙喧肩谭甘桓腑鸡皇镭佩崇头歇闲岂伺羽挖谓闲他契语睡近恼诉力辅折裸尤彭固洁双肖杯凤烬淋蹲疆檀肋酷堪昌箔建堑堰磺娃冉遗往讽啪城搐边弧娃爪拨煤来行圾骏仟小质址妈铲衷栋炕施收轨犹琵埃爱哀六一奔隋燃霸简避怠壕郡摇聪札股亡挣扯吉鼓砾怔狭哆漳印逾饲绸墩裤牟农惹雾迹昔允初搁礁瘪沛倍膏堤锗走凌楞替例11 一根很长的铜导线,载有电流10,在导线内部通过中心线作一平面试计算通过导线长的平面内的磁感应通量.解:由电流分布具有轴对称性可知,其产生的磁场也具有轴.迎柴哈细汲膳脯瘦身才俯蓑唱哟袄眯藏觉嗅模聋均性买半簇衫澎虏苇醋过坍桔伍邀激辗玩痹散返辊忆苍