关于欧氏空间中与维数相关习题处理的注记.ppt

关于欧氏空间中与维数相关习题处理的注记,杨忠鹏晏瑜敏林志兴戴培培,莆田学院数学系,有限维线性空间是高等代数的最重要的研究对象，它是教学的重点。但是关于线性空间的不少重要定义并不是在有限维空间上定义，而是在一般情况下定义的，之后再转入以有限维线性空间为主讨论。虽然，在整体的教学过程中还是以有限维线性空间作为研究的重点，但是在教学中却又不可避免地要接触到无限维的情况。本文仅就欧氏空间中与维数相关习题的处理，谈我们的一些看法。,这里为V中任意的向量，k是任意实数，这样的线性空间V称为欧氏空间。,1）,2）,3）,1中还以具体的实例来认识欧氏空间，这其中就有闭区间上所有实连续函数所成空间C(a,b)，对于函数定义内积,构成的欧氏空间。,同时也指出实数域上一元多项式Rx对于上述内积也构成欧氏空间。这说明教材本身也要求将无限维的欧氏空间作为学生熟悉的对象。,这类问题的研究特点正如1,P363所说“在讨论中，我们对空间的维数并没有作任何限制”，而且对有限维空间的讨论应当要具体说明。这样在将把有限维空间作为研究主体和重点的情况下，应慎重地处理和对待没有指明欧氏空间维数的问题。,定义3（见1）欧氏空间V的线性变换若满足：,则称为对称变换。,在北大数学系编的高等代数（第二版）教材中有一道习题（见2，P397习题23）：,命题1如果是正交变换，那么的不变子空间的正交补也是的不变子空间。,题设中并没有限定是有限维欧氏空间上的线性变换。一般文献中给出的解答如下：,再扩充成V的一组标准正交基：,那么,又是正交变换，故有,文献3中：,又,所以是的不变子空间。,任取,那么,文献4中：,再扩充成V的一组标准正交基：,那么,由是正交变换，所以,也是V的标准正交基。,又由于W是的不变子空间，所以,是W的一组标准正交基，而,任取，那么,所以是的不变子空间。,这些解法对于n维欧氏空间无疑是正确的，但对于一般欧氏空间来说却未必是正确的。事实上，对于无限维欧氏空间来说命题1的结论是不成立的。,且当时，约定,令,则,即不是的不变子空间。,，进而,又,即,上例说明在目前一般教材的定义下，不仅文献3、4给出的解法是不妥的，更重要的是这个命题本身是有问题的。事实上文献1、5、7、8都已经注意到了这个问题。但7、8仅通过反例指出当V及W皆为无限时结论可能不成立，并没有给出修正意见。5则指出2的结论“只适用于有限维欧氏空间，在无限维欧氏空间中并不成立”。而作为2的第三版的1中相应习题也确实作了变化（见1,P396习题23），即,在国内影响很大的6,P341习题2、10,P296习题2，始终是以命题2的形式给出的，同时期北大数学系编高等代数第一版11,P373习题23和第二版2，P397习题23中都对维数没有限定（即是命题1的形式），而在其第三版1中就增加了有限维的条件，也就是命题2的形式.,但是，我们认为5中关于命题1的结论“只适用于有限维欧氏空间”的说法也是欠妥的。,命题3设W是欧氏空间V的有限维子空间，则W有唯一的正交补。,证明：设为W的标准正交基，定义,则,且对于,所以是V的一个子空间。,1,从,知,又,若还有且,则对任意,有,使,又,所以,于是,从而,因此,即,同理，,所以,由此知，W的正交补是唯一的。,还应当注意到的是，对于无限维欧氏空间的一个无限维子空间来说，它的正交补有可能不存在。,令,则,，,故,（是互不相同的自然数）,即,其中当m是偶数时，,当m是奇数时，,的解。,这就证明了的奇数次项系数全为0。,这个方程组的系数行列式是,反之，如果的奇数次项全为0，则,是一个偶函数，而对,是奇函数，,即,因此，若W有正交补的话，则,但,所以W不存在正交补。,证明：设W是任意一个不变子空间，取,又是正交变换，所以,即，知,命题4如果是正交变换，那么的有限维不变子空间的正交补也是的不变子空间。,是W的一组标准正交基。由于W对不变，,从而也为W的一组标准正交基，这样,另外，文献5中虽然指出对一般欧氏空间的问题不能以“有限维”为前提解决，但很可惜，并没有把这种观点贯彻到底。如5对一道习题的解答中就忽略了这一点。习题如下：,（见6,P332习题5、10,P288习题5）,文献3,P455采用了扩基的方法对该习题给出了解答，而5沿用了其思想和过程给出解答此题的提示：,扩充成V的一个标准正交基,都是把V看成是有限维欧氏空间来处理，与题设相比证明过程中忽略了无限维的情形。事实上对于无限维欧氏空间此不等式是同样成立的。,将向量组,设，且,且则,下面就是一种没有涉及到空间维数的解法：,为W的一组标准正交基。,设,这说明垂直于W，注意到且,由勾股定理有,上述例子说明，我们在处理相关问题时要注意其前提是否是在一般线性空间上，否则一概以有限维为前提进行处理是有疏漏的。当然，在指出处理有限维与无限维的有关问题的区别的基础上，也有必要将在n维欧氏空间上成立的性质，引导学生尝试在一般的欧氏空间上的推广。,（iii）是单位变换。,这一结论可推广到一般的欧氏空间。,命题5（见6，P350习题1）设是n维欧氏空间V的一个线性变换，则满足下列三个条件中的任意两个，那么它必然满足第三个：,（i）是正交变换；,（ii）是对称变换；,命题6设是欧氏空间V的一个线性变换，则,满足下列三个条件中的任意两个,那么它必然满足第三个：,（iii）是单位变换。,（i）是正交变换；,（ii）是对称变换；,证明：若是正交变换同时也是对称变换，则对,所以，从而,，有,，有,所以为对称变换。,，有,所以为正交变换。,1北大数学系，高等代数（第三版）M.北京：高等教育出版社，1988：3593972北大数学系，高等代数（第二版）M.北京：高等教育出版社，1988：3593973蔡剑芳,钱吉林,李桃生，高等代数综合题解M.武汉：湖北科学技术出版社，1985：4874884徐仲,陆全,等，高等代数导教导学导考.西安：西北工业大学出版社，2004：5355李师正，高等代数解题方法与技巧M.北京：高等教育出版社，2004：3013176张禾瑞，郝炳新.高等代数（第四版）M.北京，高等教育出版社，1999：3347徐德余.无限维线性空间的特殊性J.高等数学研究，9（4）（2006）：1168徐德余.无限维线性空间的特殊性J.绵阳师范学院学报，24（2）（2005）：