（浙江专版）2019年高考数学一轮复习 专题2.3 函数的奇偶性与周期性（讲）.doc

第03节 函数的奇偶性与周期性【考纲解读】考 点考纲内容5年统计分析预测函数的奇偶性与周期性理解函数的奇偶性，会判断函数的奇偶性，了解函数的周期性.2018浙江.51.判断函数的奇偶性与周期性；2.函数的奇偶性、周期性，通常与抽象函数、函数的图象以及函数的单调性结合考查，浙江卷常通过三角函数加以考查3.备考重点： (1) 抽象函数的奇偶性与周期性；(2)利用奇偶性与周期性求参数取值范围.【知识清单】1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称对点练习2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.【重点难点突破】考点1 函数奇偶性的判断【1-1】【浙江省杭州市学军中学2018年5月模拟】函数，则 （ ）A. 是非奇非偶函数 B. 奇偶性与有关C. 奇偶性与有关 D. 以上均不对【答案】A点睛：（1）本题主要考查函数奇偶性的判定，意在考查学生对该基础知识的掌握能力.(2)判断函数的奇偶性常用定义法，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求；最后比较和的关系，如果有=，则函数是偶函数，如果有=-，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数.【1-2】【山东省青岛市2018年春季高考二模】下列函数是偶函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：利用偶函数的定义判断函数的奇偶性.详解：对于选项A,，所以函数是偶函数.【领悟技法】判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断与是否具有相等关系或者相反关系.在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式 (奇函数)或 (偶函数)是否成立.【触类旁通】【变式一】【2018届河南省南阳市第一中学高三第二十次考】若函数为偶函数，则_【答案】或【解析】分析：根据函数为偶函数，观察其特征，可得为奇函数，结合奇函数的特征，若奇函数在0点有定义，可得一定有，得到相应的关系式，求得结果.详解：令，根据函数为偶函数，可知为奇函数，利用，可得，所以或.【变式二】【2017北京，理5】已知函数，则（A）是奇函数，且在R上是增函数 （B）是偶函数，且在R上是增函数（C）是奇函数，且在R上是减函数 （D）是偶函数，且在R上是减函数【答案】A【解析】，所以函数是奇函数，并且是增函数， 是减函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数，故选A.考点2 函数奇偶性的性质及应用【2-1】【2018年浙江卷】函数y=sin2x的图象可能是A. B. C. D. 【答案】D【2-2】【2018年理数全国卷II】已知是定义域为的奇函数，满足若，则 A. B. 0 C. 2 D. 50【答案】C【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.详解：因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，从而，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解【2-3】【2017课标1，理5】函数在单调递减，且为奇函数若，则满足的的取值范围是ABCD【答案】D【解析】【领悟技法】1已知函数的奇偶性求函数的解析式抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于的方程，从而可得的解析式2已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数常常采用待定系数法：利用产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值3奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反【触类旁通】【变式一】【2018年理数全国卷II】函数的图像大致为A. A B. B C. C D. D【答案】B点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；由函数的单调性，判断图象的变化趋势；由函数的奇偶性，判断图象的对称性；由函数的周期性，判断图象的循环往复 【变式二】【2018届浙江省杭州市第二中学6月热身】设函数，其中表示中的最小者.下列说法错误的（ ）A. 函数为偶函数 B. 若时，有C. 若时， D. 若时，【答案】D【解析】分析：的图像可由三个函数的图像得到（三图垒起，取最下者），然后依据图像逐个检验即可详解：在同一坐标系中画出的图像（如图所示），故的图像为图中粗线所示的图像关于轴对称，故为偶函数，故A正确当时，；当时，；当时，；当时，此时有，故B成立从图像上看，当时，有成立，令，则，故，故C成立取，则，故D不成立综上，选D点睛：一般地，若（其中表示中的较小者），则的图像是由这两个函数的图像的较低部分构成的【变式三】【2018届黑龙江省双鸭山市第一中学9月月考】定义在上的偶函数 ，当时，且在上恒成立，则关于的方程的根的个数叙述正确的是（ ）A. 有两个 B. 有一个 C. 没有 D. 上述情况都有可能【答案】A【解析】【方法点睛】本题主要考查函数的奇偶性、对称性以及函数图象的应用，属于难题.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质解答本题的关键是根据把在上恒成立转化为函数在上的图象位于的图象上方，然后求出，再利用数形结合将方程f(2x+1)=t的根转化为函数的图象和直线的交点.考点3 函数周期性及综合应用【3-1】【陕西省咸阳市2018年5月高考信息专递】已知奇函数满足，则（ ）A. 函数是以为周期的周期函数 B. 函数是以为周期的周期函数C. 函数是奇函数 D. 函数是偶函数【答案】B【解析】分析: 根据题意，由奇函数的定义可得f（x）=f（x），又由f（x+1）=f（1x），分析可得f（x+2）=f（x），进而可得f（x+4）=f（x+2）=f（x），由函数周期性的定义分析可得答案详解: 根据题意，定义在R上的函数f（x）是奇函数，则满足f（x）+f（x）=0，即f（x）=f（x），又由，则f（x+2）=f1+（x+1）=f1（x+1）=f（x）=f（x），即f（x+2）=f（x），f（x+4）=f（x+2）=f（x），故函数的周期为4，故选：B【3-2】【2018届广东省东莞市考前冲刺】已知奇函数满足，且当时，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：由题意，推出，从而得到，再由时，和函数的奇偶性，即可计算结果.详解：因为函数为奇函数满足，所以，即函数表示以为周期的周期函数，因为当时，所以，故选D.【3-3】【2018年江苏卷】函数满足，且在区间上， 则的值为_【答案】【解析】分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解析式求结果.详解：由得函数的周期为4，所以因此【领悟技法】1求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如yAsin(x)，用公式T计算递推法：若f(xa)f(x)，则f(x2a)f(xa)af(xa)f(x)，所以周期T2a.换元法：若f(xa)f(xa)，令xat，xta，则f(t)f(t2a)，所以周期T2a2判断函数的周期只需证明f(xT)f(x)(T0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题3根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(kZ且k0)也是函数的周期4.关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，体现了转化思想【触类旁通】【变式一】【2017湖南统一考试】已知定义域为的奇函数满足，且当时， ，则（ ）A. -2 B. C. 3 D. 【答案】D【解析】因为奇函数满足，所以，即周期为3，所以 ，故选D【变式二】已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)f(x1)，则f(2 017)f(2 019)的值为()A.1 B.1 C.0 D.2【答案】C【解析】由题意，得，又是定义在R上的偶函数，是定义在R上的奇函数，即.【变式三】【衡水金卷】2018届四省名校第三次大联考】已知为定义在上周期为2的奇函数，当时，若，则（ ）A. 6 B. 4 C. D. 【答案】A【易错试题常警惕】易错典例1：若函数f(x)在定义域上为奇函数，则实数k_.易错分析：解题中忽视函数f(x)的定义域，直接通过计算f(0)0得k1.正确解析：，由可得，温馨提醒：已知函数的奇偶性，利用特殊值确定参数，要注意函数的定义域易错典例2：定义在R上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期若将方程f(x)0在闭区间T，T上的根的个数记为n，则n可能为()A0 B1 C3 D5易错分析：没有经过严密的逻辑分析，直接根据，就想当然地认为方程的根的个数就只有3个温馨提醒：对于抽象函数要善于找具体的“函数模型”，联想其性质去推证欲证的函数性质，但不能用具体函数代替去解决问题；解决“抽象函数”问题一般采用赋值法，本题可联系的图象和性质类比解题【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:数形结合百般好，隔裂分家万事休.数与形反映了事物两个方面的属性.我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系.数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过以形助数或以数解形即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.向量的几何表示，三角形、平行四边形法则，使向量具备形的特征，而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征，因此，向量融数与形于一身，具备了几何形式与代数形式的“双重身份”.因此，在应用向量解决问题或解