2019届高考数学二轮复习 第一篇 专题三 第1讲 三角函数的图象与性质、三角恒等变换教案 理.doc

第1讲三角函数的图象与性质、三角恒等变换1.(2018全国卷,理4)若sin =13,则cos 2等于(B)(A)89(B)79(C)-79(D)-89解析:因为sin =13,所以cos 2=1-2sin2=1-2132=79.故选B.2.(2016全国卷,理7)若将函数y=2sin 2x的图象向左平移12个单位长度,则平移后图象的对称轴为(B)(A)x=k2-6(kZ)(B)x=k2+6(kZ)(C)x=k2-12(kZ)(D)x=k2+12(kZ)解析:y=2sin 2x向左平移12得y=2sin 2x+6.令2x+6=2+k,kZ,得x=6+k2,kZ.故选B.3.(2016全国卷,理5)若tan =34,则cos2+2sin 2等于(A)(A)6425(B)4825(C)1(D)1625解析:cos2+2sin 2=cos2+4sincoscos2+sin2=1+4tan1+tan2=1+31+916=6425.选A.4.(2017全国卷,理6)设函数f(x)=cosx+3,则下列结论错误的是(D)(A)f(x)的一个周期为-2(B)y=f(x)的图象关于直线x=83对称(C)f(x+)的一个零点为x=6(D)f(x)在2,单调递减解析:f(x)=cosx+3中,x2,x+356,43,则f(x)=cosx+3不是单调函数.故选D.5.(2017全国卷,理9)已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin2x+23,则下面结论正确的是(D)(A)把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移6个单位长度,得到曲线C2(B)把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移12个单位长度,得到曲线C2(C)把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移6个单位长度,得到曲线C2(D)把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移12个单位长度,得到曲线C2解析:因为sin2x+23=cos2-2x+23=cos2x+6.因此可以先将y=cos x即C1上所有点的横坐标缩短为原来的12倍,纵坐标不变,变为y=cos 2x,再将y=cos 2x向左平移12个单位得到y=cos2x+12=cos2x+6.故选D.6.(2018全国卷,理10)若f(x)=cos x-sin x在-a,a是减函数,则a的最大值是(A)(A)4(B)2(C)34(D)解析:f(x)=cos x-sin x=-222sin x-22cos x=-2sinx-4,当x-4,34,即x-4-2,2时,y=sinx-4单调递增,y=-2sinx-4单调递减.因为函数f(x)在-a,a是减函数,所以-a,a-4,34,所以0a4,所以a的最大值为4.故选A.7.(2017全国卷,理14)函数f(x)=sin2x+3cos x-34x0,2的最大值是.解析:由题意得f(x)=sin2x+3cos x-34=-cos2x+3cos x+14=-cos x-322+1.因为x0,2,所以cos x0,1.所以当cos x=32时,f(x)max=1.答案:18.(2018全国卷,理15)已知sin +cos =1,cos +sin =0,则sin(+)=.解析:因为sin +cos =1,cos +sin =0,所以2+2得1+2(sin cos +cos sin )+1=1,所以sin cos +cos sin =-12,所以sin(+)=-12.答案:-129.(2018全国卷,理15)函数f(x)=cos3x+6在0,的零点个数为.解析:由题意可知,当3x+6=k+2(kZ)时,f(x)=cos3x+6=0.因为x0,所以3x+66,196,所以当3x+6取值为2,32,52时,f(x)=0,即函数f(x)=cos3x+6在0,的零点个数为3.答案:310.(2018全国卷,理16)已知函数f(x)=2sin x+sin 2x,则f(x)的最小值是.解析:f(x)=2cos x+2cos 2x=2cos x+2(2cos2x-1)=2(2cos2x+cos x-1)=2(2cos x-1)(cos x+1).因为cos x+10,所以当cos x12时,即x3+2k,53+2k,kZ,f(x)12时,53+2k,73+2k,kZ,f(x)0,f(x)单调递增.所以当x=53+2k,kZ,sin x=-32,cos x=12,f(x)有最小值.又f(x)=2sin x+sin 2x=2sin x(1+cos x),所以f(x)min=2-321+12=-332.答案:-3321.考查角度考查三角函数的图象与性质、三角函数求值(利用三角函数定义、同角三角函数关系、诱导公式、和差三角函数公式、倍角公式等).2.题型及难易度选择题、填空题,试题难度中等.(对应学生用书第1921页) 三角函数的图象考向1三角函数的图象变换【例1】 (1)(2018榆林一模)已知曲线C1:y=sin x,C2:y=cos12x-56,则下列说法正确的是()(A)把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍,再把得到的曲线向右平移3,得到曲线C2(B)把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍,再把得到的曲线向右平移23,得到曲线C2(C)把C1向右平移3,再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的12,得到曲线C2(D)把C1向右平移6,再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的12,得到曲线C2(2)(2018湖南省两市九月调研)若将函数f(x)=2sinx+6 的图象向右平移4个单位,再把所得图象上的点的横坐标扩大到原来的2倍,得到函数g(x)的图象,则函数g(x)图象的一条对称轴为()(A)x=12(B)x=724(C)x=712(D)x=76解析:(1)根据曲线C1:y=sin x,C2:y=cos12x-56=sin12x-3,把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍,可得y=sin12x的图象;再把得到的曲线向右平移23,得到曲线C2:y=sin12x-3的图象.故选B.(2)将函数f(x)=2sinx+6的图象向右平移4个单位得y=2sinx-4+6=2sinx-12的图象,将y=2sinx-12图象上的点的横坐标扩大到原来的2倍得g(x)=2sin12x-12,令12x-12=2+k,(kZ),得x=76+2k,kZ,k=0时,x=76.选D.三角函数图象变换中容易出错的地方是沿x轴方向的平移和伸缩变换:把函数f(x)=sin x的图象向右(左)平移个单位长度,得到函数g(x)=sin (x-)(g(x)=sin (x+)的图象,把函数f(x)=sin 1x的图象上各点的横坐标变为原来的12倍021称为缩小为原来的12,得到函数g(x)=sin(12x)的图象.考向2函数y=Asin(x+)的图象与解析式【例2】 (1)(2018湖北省5月冲刺卷)已知函数f(x)=Asin(x+)(A0,0,|0,xR)的部分图象如图所示,则该函数图象的一个对称中心是()(A)3,0(B)-23,0(C)-43,0(D)43,0解析:(1)由题图得A=2,T=78-8=,所以=2T=2,因为x=38-82=8时y=2,所以28+=2+2k(kZ),所以=4+2k(kZ),因为|0,0,|0,0,|0)个单位后,得到y=g(x)为偶函数,则m的最小值为()(A)12(B)2(C)3(D)6(2)(2018河北石家庄二中八月模拟)已知f(x)=sin2x+sin xcos x+2sinx+4cos x+4.当x12,2时,求f(x)的值域;若函数f(x)的图象向右平移8个单位后,所得图象恰与函数g(x)的图象关于直线x=6对称,求函数g(x)的单调递增区间.(1)解析:y=sin xsinx+3=12sin2x+32sin xcos x=1-cos2x4+3sin2x4=12sin2x-6+14,将y=12sin2x-6+14的图象沿x轴向右平移m(m0)个单位后,得到g(x)=12sin2x-2m-6+14的图象,因为g(x)=12sin2x-2m-6+14为偶函数,所以2m+6=2+k,kZ,即m=6+k2,kZ,即正数m的最小值为6.故选D.(2)解:f(x)=sin2x+sin x cos x+2sinx+4cosx+4=1-cos2x2+12sin 2x+sin2x+2=12+12(sin 2x-cos 2x)+cos 2x=12(sin 2x+cos 2x)+12=22sin2x+4+12,由x12,2,得5122x+454,所以-22sin2x+41,0f(x)2+12,即f(x)在12,2上的值域是0,2+12.函数f(x)的图象向右平移8个单位后得到h(x)的图象,则h(x)=fx-8=22sin 2x+12,设点P(x,y)是g(x)图象上任意一点,则点P关于直线x=6对称的点Q3-x,y在h(x)的图象上,所以g(x)=h3-x=22sin23-2x+12=22sin2x+3+12.所以当-2+2k2x+32+2k(kZ),即-512+kx12+k(kZ)时,g(x)单调递增,所以g(x)的单调递增区间是-512+k,12+k(kZ).三角函数的主要性质为奇偶性、周期性、单调性和最值.(1)y=sin(x+)为奇函数的充要条件是=k(kZ)、为偶函数的充要条件是=k+2(kZ),函数y=cos(x+)为奇函数的充要条件是=k+2(kZ)、为偶函数的充要条件是=k(kZ);(2)函数y=sin(x+),y=cos(x+)的最小正周期为2|,函数y=tan(x+)的最小正周期T=|;(3)确定y=sin(x+),y=cos(x+)的单调性时首先化为正值,然后把x+看作整体,利用y=sin x,y=cos x的单调区间,得出关于x+的不等式,解不等式即得所求函数的单调区间;(4)确定函数y=sin(x+)的值域时,一定要准确求出x+的取值范围,结合函数y=sin x的单调性得出所求的值域.热点训练2:(1)(2018广东广州市海珠区一模)设函数f(x)=cos2x-3,则下列结论错误的是()(A)f(x)的一个周期为-(B)y=f(x)的图象关于直线x=23对称(C)fx+2的一个零点为x=-3(D)f(x)在区间3,2上单调递减(2)(2018安徽宿州第三次质检)将函数y=2sin3-xcos6+x-1的图象向左平移(0)个单位,所得的图象恰好关于原点对称,则的最小值为()(A)24(B)12(C)4(D)3(3)(2018山东青岛二模)已知向量a=cos x,-12,b=(3sin x,cos 2x),xR,设函数f(x)=ab.求f(x)的最小正周期;求函数f(x)的单调递减区间;求f(x)在0,2上的最大值和最小值.(1)解析:f(x)=cos2x-3的周期为T=k,kZ,所以A对,不符合题意;当x=23时,2x-3=,cos =-1,所以B对,不符合题意;fx+2=cos2x+-3=cos2x+23,当x=-3时,fx+2=1;所以x=-3不是fx+2的零点.所以C错,符合题意;x3,2时,2x-33,23,y=cos x在3,23上递减,所以D对,不符合题意.故选C.(2)解析:由于sin3-x=sin2-6+x=cos6+x,故三角函数的解析式即y=2cos26+x-1=cos3+2x,令cos3+2x=0可得3+2x=k+2(kZ),则x=k2+12(kZ),取k=0可得x=12,即函数图象与x轴正半轴的第一个交点坐标为P12,0,函数图象如图所示,数形结合可知的最小值为12.故选B.(3)解:f(x)=cos x,-12(3sin x,cos 2x)=3cos xsin x-12cos 2x=32sin 2x-12cos 2x=cos6sin 2x-sin6cos 2x=sin2x-6.f(x)的最小正周期为T=22=,即函数f(x)的最小正周期为.2+2k2x-632+2k,kZ,得3+kx56+k,kZ,所以f(x)的单调递减区间是3+k,56+k,kZ.因为0x2,所以-62x-656.由正弦函数的性质,当2x-6=2,即x=3时,f(x)取得最大值1.当2x-6=-6,即x=0时,f(0)=-12,当2x-6=56,即x=2时,f2=12,所以f(x)的最小值为-12.因此,f(x)在0,2上的最大值是1,最小值是-12.利用三角恒等变换求值【例4】 (1)(2018三明模拟)已知角的终边经过点P(1,2),则sin(-)sin+cos等于()(A)-13(B)13(C)-23(D)23(2)(2018吉林省百校联盟联考)已知cos2+=3sin+76,则tan 12+等于()(A)4-23(B)23-4(C)4-43(D)43-4解析:(1)因为角的终边经过点P(1,2),则tan =21=2,所以sin(-)sin+cos=sinsin+cos=tantan+1=23,故选D.(2)由题意可得-sin =-3sin+6,即sin+12-12=3sin+12+12,展开得sin+12cos 12-cos+12sin 12=3sin+12cos 12+3cos+12sin 12,整理可得tan +12=-2tan 12=-2tan 4-6=-2tan4-tan61+tan4tan6=23-4.选B.(1)利用三角恒等变换求值中使用的知识点:任意角三角函数的定义、同角三角函数关系、诱导公式、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式,以及上述公式的变形.(2)利用三角恒等变换求值的基本思路:变换函数名称、变换角、整体代入等.热点训练3:(1)(2018张掖一模)已知tan2-=4cos(2-),|2,则tan 2等于()(A)-157(B)157(C)-158(D)158(2)(2018安徽安庆一中高考热身)已知tan(+)=25,tan-4=14,则cos+sincos-sin的值为;(3)(2018河南最后一模)已知x0,2,tan x=34,则2sin(-x)+sin2x1+cosx=.解析:(1)因为tan2-=4cos(2-),所以cossin=4cos ,又因为|2,cos 0,所以sin =14,cos =1-sin2=154,tan =sincos=1515,所以tan 2=2tan1-tan2=215151-(1515)2=157.故选B.(2)因为cos+sincos-sin=1+tan1-tan=tan4+tan1-tan4tan=tan+4,且tan+4=tan(+)-4=tan(+)-tan(-4)1+tan(+)tan(-4),将tan(+)=25,tan-4=14代入可得cos+sincos-sin=25-141+2514=322.(3)因为x0,2,tan x=34,所以sin x=35.又2sin(-x)+sin2x1+cosx=2sinx(1+cosx)1+cosx=2sin x,所以2sin(-x)+sin2x1+cosx=65.答案:(1)B(2)322(3)65 【例1】 (1)(2018福建厦门二检)函数f(x)=cos(2x+)(0)在区间-6,6上单调递减,在区间-6,0上有零点,则的取值范围是()(A)6,2(B)23,56(C)2,23(D)3,2(2)(2018广东省六校联考)已知函数f(x)=cos x sin 2x,下列结论中不正确的是()(A)y=f(x)的图象关于点(,0)中心对称(B)y=f(x)的图象关于直线x=2对称(C)f(x)的最大值为32(D)f(x)既是奇函数,又是周期函数解析:(1)当x-6,6时,2x+-3+,3+,又因为(0,),则-3+,3+0,即-30,+3,323,由cos(2x+)=0得2x+=k+2,kZ,x=k2+4-2,所以-64-20,解得256,综上,223.故选C.(2)对于A中,因为f(+x)=cos (+x)sin 2(+x)=-cos xsin 2x,f(-x)=cos (-x)sin 2(-x)=cos xsin 2x,所以f(+x)+f(-x)=0,可得y=f(x)的图象关于(,0)中心对称,故A正确,不符合题意;对于B,因为f2+x=cos2+xsin 22+x=-sin x(-sin 2x)=sin xsin 2x,f2-x=cos2-xsin 22-x=sin xsin 2x,所以f2+x=f2-x,可得y=f(x)的图象关于x=2对称,故B正确,不符合题意;对于C,化简得f(x)=cos x sin 2x=2cos2x sin x=2sin x(1-sin2x),令t=sin x,f(x)=g(t)=2t(1-t2),-1t1,因为g(t)=2t(1-t2)的导数g(t)=2-6t2=2(1+3t)(1-3t),所以当t-1,-33或t33,1时,g(t)0,函数g(t)为增函数,因此函数g(t)的最大值为t=-1或t=33时的函数值,结合g(-1)=0g33=439,可得g(t)的最大值为439,由此可得f(x)的最大值为439,而不是32,所以不正确,符合题意;对于D,因为f(-x)=cos (-x)sin (-2x)=-cos xsin 2x=-f(x),所以f(x)是奇函数,因为f(2+x)=cos (2+x)sin (4+2x)=cos xsin 2x=f(x),所以2为函数的一个周期,得f(x)为周期函数,可得f(x)既是奇函数,又是周期函数,所以正确,不符合题意,故选C.【例2】 (1)(2018广东珠海市高三摸底)已知曲线C1:y=sin x,C2:y=cos12x-56,则下列说法正确的是()(A)把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移3个单位长度,得到曲线C2(B)把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移23个单位长度,得到曲线C2(C)把曲线C1向右平移3个单位长度,再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,得到曲线C2(D)把曲线C1向右平移6个单位长度,再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,得到曲线C2(2)(2018福建百校临考冲刺)若函数f(x)=sin2x-3与g(x)=cosx+4都在区间(a,b)(0ab0,|2的图象过点B(0,-1),f(x)在区间18,3上为单调函数,且f(x)的图象向左平移个单位后与原来的图象重合,则等于()(A)-12(B)12(C