八年级数学下正方形与特殊的四边形综合题专训题2（华师大版)

1 / 38 八年级数学下正方形与特殊的四边形综合题专训题 2（华师大版 ) 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址莲山课 件 k 华师大版八年级下册正方形与特殊的四边形综合题专训 一、正方形与平行四边形综合 试题、如图， P 是正方形 ABcD内一点，以正方形 ABcD的一条边做为对角线，点 P与这条边的两个端点作平行四边形，依次得点 E、 F、 G、 H，求证：四边形 EFGH是正方形 【分析】如图，连接 BD、 Ac则 Ac=BD通过证明 AHEPDB（ SAS），推知 HE=BD， AHE=PDB ，则 HEDB 易证四边形 EFGH 是平行四边形同理， EFHGAc ， EF=Ac=HG，所以 EH=EF， EHEF ，故四边形 EFGH是正方形 【解答】证明：如图，连接 BD、 Ac则 Ac=BD 四边形 AHDP和四边形 AEBP为平行四边形， AH=DP ， AE=BP 又 HAP+APD=180 ， EAP+BPA=180 HAE=BPD ， 在 AHE 与 PDB 中， 2 / 38 ， AHEPDB （ SAS）， HE=BD ， AHE=PDB ， 又 AHPD ， HEDB 同理， GF=BD， GFBD ， HE=GF ， HEGFBD ， 四边形 EFGH是平行四边形 同理， EFHGAc ， EF=Ac=HG， 又 AcBD ， EH=EF ， EHEF ， 四边形 EFGH是正方形 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，正方形的判定与性质证得 EFEH 是解题的难点 试题、（ XX春江阴市期中）如图，在正方形 ABcD中，点 E在边 AD上，点 F 在边 Bc的延长线上，连接 EF与边 cD相交于点 G，连接 BE 与对角线 Ac相交于点 H， AE=cF， BE=EG （ 1）求证： EFAc ； 3 / 38 （ 2）求 BEF 大小； （ 3）若 EB=4，则 BAE 的面积为 2 【分析】（ 1）利用平行四边形的判定及其性质定理即可解决问题； （ 2）作辅助线构造出一对全等三角形，利用等边三角形的判定及其性质即可解决问题； （ 3）借助旋转变换将 BcG 与 BAE 拼接到一起，通过作辅助线求出 BHE 的高，问题即可解决 【解答】解：（ 1） 四边形 ABcD是正方形， AEcF ， 又 AE=cF ， 四边形 AEFc是平行四边形， 故 EFAc （ 2）连接 BG 四边形 ABcD是正方形，且 EFAc ， DEG=DAc=45 ， DGE=DcA=45 ； 故 cFG=DEG=45 ， cGF=DGE=45 ， cGF=cFG ， cG=cF； AE=cF ， AE=cG ； 在 ABE 与 cBG 中， 4 / 38 ， ABEcBG （ SAS）， BE=BG ； 又 BE=EG ， BE=BG=EG ， BEG 是等边三角形， 故 BEF=60 （ 3）延长 EA 到 m，使 AH=cG；过点 m 作 mkBE 于点 k； BEG 是等边三角形， EBG=60 ， ABE+cBG=90 60=30 ； 在 ABm 与 BcG 中， ， ABmBcG （ SAS）， Bm=Bc=4 ， ABm=cBG ； 故 ABm+ABE=ABE+cBG=30 ， mk= ， BmE 的面积 =， BAE 的面积 【点评】考查了正方形的性质、全等三角形的判定及其应用问题；解题的关键是通过作辅助线构造出全等三角形，结合等边三角形的判定及其性质来解决问题；对综合运用能力及探究思维能力提出了较高的要求 5 / 38 试题、（ XX 惠东县校级模拟）如图，四边形 ABcD 是正方形，点 E， k 分别在 Bc， AB 上，点 G 在 BA 的延长线上，且cE=Bk=AG （ 1）求证： DE=DG ； DEDG ； （ 2）尺规作图：以线段 DE， DG 为边作出正方形 DEFG（要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）； （ 3）连接（ 2）中的 kF，猜想并写出四边形 cEFk是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想 【 分 析 】（ 1 ） 根 据 正 方 形 性 质 求 出 AD=Dc ，GAD=DcE=90 ，根据全等三角形判定推出即可； 根据全 等 得 出 GDA=cDE ， 求 出GDE=G DA+ADE=ADc=90 即可； （ 2）分别以 G、 E 为圆心，以 DG为半径画弧，两弧交于 F，连接 GF、 EF即可； （ 3）推出 EF=ck， EFck ，根据平行四边形的判定推出即可 【解答】（ 1） 证明： 四边形 ABcD是正方形， AD=Dc ， GAD=DcE=90 ， 在 GAD 和 EcD 中 6 / 38 GADEcD （ SAS）， DE=DG ； 四边形 ABcD是正方形， ADc=90 ， GADEcD ， GDA=cDE ， GDE=GDA+AD E=cDE+ADE=ADc=90 ， DEDG （ 2）解：如图所示：； （ 3）四边形 cEFk是平行四边形， 证明： 四边形 ABcD是正方形， B=EcD=90 ， Bc=cD， 在 kBc 和 EcD 中 kBcEcD （ SAS）， DE=ck ， DEc=Bkc ， B=90 ， kcB+Bkc=90 ， kcB+DEc=90 ， 7 / 38 Eoc=180 90=90 ， 四边形 DGFE是正方形， DE=EF=ck ， FED=90 =Eoc ， ckEF ， 四边形 cEFk是平行四边形 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，正方形性质的应用，主要考查学生的推理能力 试题、（ XX 春天水期末）如图所示：在 ABc 中，分别以AB、 Ac、 Bc 为边，在 Bc 的同侧作等边 ABD 、等边 AcE 、等边 BcF （ 1）求证：四边形 DAEF是平行四边形； （ 2）探究下列问题：（只填条件，不需证明） 当 BAc 满足 BAc=150 条件时，四边形 DAEF是矩形； 当 BAc 满足 BAc=60 条件时，以 D、 A、 E、 F 为顶点的四边形不存在； 当 ABc 满足 BAc=150 且 AB=Ac 条件时，四边形DAEF是正方形 8 / 38 【分析】（ 1）由等边三角形的性质得出 Ac=cE=AE， AB=AD=BD，Bc=cF=BF ， BcF=AcE=60 ， 求 出 BcA=FcE ，证BcAFcE ，得出 EF=BA=AD，同理 DF=Ac=AE，即可得出结论； （ 2） 求出 DAE 的度数，根据矩形的判定得出即可； 证出 D、 A、 E 三点共线，即可得出结论； 由 得出四边形 DAEF 是 矩形；再由 AB=AcBc 得出四边形 DAEF是菱形，即可得出结论 【解答】（ 1）证明： ABD 、 BcE 、 AcE 是等边三角形， Ac=cE=AE ， AB=AD=BD， Bc=cF=BF， BcF=AcE=60 ， BcA=FcE=60 AcF ， 在 BcA 和 FcE 中， ， BcAFcE （ SAS）， EF=BA=AD ， 同理： DF=Ac=AE， 四边形 DAEF是平行四边形； （ 2）解： 当 A=150 时，四边形 DAEF 是矩形，理由如下： ABD 、 Ac E 是等边三角形， DAB=EAc=60 ， 9 / 38 DAE=360 60 60 150=90 ， 四边形 DAEF是平行四边形， 四边形 DAEF是矩形， 故答案为： =150 ； 当 BAc=60 时，以 D、 A、 E、 F 为顶点的四边形不存在；理由如下： BAc=60 ， BAD=cAE=60 ， 点 D、 A、 E 共线， 以 D、 A、 E、 F 为顶点的四边形不存在； 故答案为： BAc=60 ； 当 ABc 满足 BAc=150 ，且 AB=AcBc 时，四边形 DAEF是正方形， 理由如下： 由 得：当 BAc=150 时，四边形 DAEF是矩形； 当 AB=Ac时，由（ 1）得： EF=AB=AD， DF=Ac=AE， AB=Ac ， AD=AE ， 四边形 DAEF是平行四边形， 四边形 DAEF是菱形， 四边形 DAEF是正方形 故答案为： BAc=150 ， AB=Ac 【点评】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定、平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定以及10 / 38 正方形的判定；解此题的关键是求出 EF=BA=AD， DF=Ac=AE，主要考查了学生的推理能力 试题、（ XX嘉兴）以四边形 ABcD的边 AB、 Bc、 cD、 DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为 E、 F、G、 H，顺次连接这四个点，得四边形 EFGH （ 1）如图 1，当四边形 ABcD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图 2，当四边形 ABcD为矩形时，请判断：四边形 EFGH的形状（不要求证明）； （ 2）如图 3，当四边形 ABcD为一般平行四边形时，设 ADc=（ 0 90 ）， 试用含 的代数式表示 HAE ； 求证： HE=HG； 四边形 EFGH是什么四边形？并 说明理由 【 分 析 】（ 1 ） 根 据 等 腰 直 角 三 角 形 的 性 质 得 到E=F=G=H=90 ，求出四边形是矩形，根据勾股定理求出 AH=HD=AD， DG=Gc=cD， cF=BF=Bc， AE=BE=AB，推出EF=FG=GH=EH，根据正方形的判定推出四边形 EFGH是正方形即可； （ 2） 根据平行四边形的性质得出， BAD=180 ，根据 HAD 和 EAB 是 等 腰 直 角 三 角 形 ， 得 到11 / 38 HAD=EAB=45 ，求出 HAE 即可； 根据 AEB 和 DGc 是等腰直角三角形，得出 AE=AB，DG=cD ， 平 行 四 边 形 的 性 质 得 出 AB=cD ， 求 出HDG=90+a=HAE ，根据 SAS证 HAEHDG ，根据全等三角形的性质即可得出 HE=HG； 与 证明过程类似求出 GH=GF， FG=FE，推出 GH=GF=EF=HE，得出菱形 EFGH，证 HAEHDG ，求出 AHD=90 ，EHG=90 ，即可推出结论 【解答】（ 1）解：四边形 EFGH的形状是正方形 （ 2）解： HAE=90+ ， 在平行四边形 ABcD 中 ABcD ， BAD=180 ADc=180 ， HAD 和 EAB 是等腰 直角三角形， HAD=EAB=45 ， HAE=360 HAD EAB BAD=360 45 45 （ 180 a） =90+ ， 答：用含 的代数式表示 HAE 是 90+ 证明： AEB 和 DGc 是等腰直角三角形， AE=AB ， DG=cD， 在平行四边形 ABcD 中， AB=cD， 12 / 38 AE=DG ， AHD 和 DGc 是等腰直角三角形， HDA=cDG=45 ， HDG=HDA+ADc+cDG=90+=HAE ， AHD 是等腰 直角三角形， HA=HD ， HAEHDG ， HE=HG 答：四边形 EFGH 是正方形， 理由是：由 同理可得： GH=GF， FG=FE， HE=HG ， GH=GF=EF=HE ， 四边形 EFGH是菱形， HAEHDG ， DHG=AHE ， AHD=AHG+DHG=90 ， EHG=AHG+AHE=90 ， 四边形 EFGH是正方形 【点评】本题主要考查对正方形的判定，等腰直角三角形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的性质和判 定，平行13 / 38 线的性质等知识点的理解和掌握，综合运用性质进行推理是解此题的关键 二、正方形与矩形综合 试题、（ XX 海安县校级模拟）正方形 ABcD，矩形 EFGH 均位于第一象限内，它们的边平行于 x 轴或 y 轴，其中，点 A，E 在直线 om 上，点 c， G 在直线 oN 上， o 为坐标原点，点 A的坐标为（ 3， 3），正方形 ABcD的边长为 1若矩形 EFGH的周长为 10，面积为 6，则点 F 的坐标为 （ 7， 5），（ 8， 5） 【分析】由 A 的坐标为（ 3， 3），正方形 ABcD的边长为 1 得出直线 om 的解析式，再求出 c 点的坐标利用待定 系数法求出直线 oN的解析式；设矩形 EFGH的宽为 a，则长为 5 a，再根据面积为 6 即可得出 a 的值，由点 E 在直线 om上设点 E的坐标为（ e， e），由矩形的边长可用 e 表示出 F、 G 点的坐标，再根据 G 点在直线 oN上得出 e 的值，即可得出结论 【解答】解： A 的坐标为（ 3， 3）， 直线 om的解析式为 y=x， 正方形 ABcD的边长为 1， c （ 4， 2）， 设直线 oN的解析式为 y=kx（ k0 ）， 2=4k ， 14 / 38 解得 k=， 直线 oN的解析式为： y=x； 设矩形 EFGH的宽为 a，则长为 5 a， 矩形 EFGH的面积为 6， a （ 5 a） =6， 解得： a=2或 a=3， 当 a=2即 EF=2时， EH=5 2=3， 点 E 在直线 om上，设点 E 的坐标为（ e， e）， F （ e， e 2）， G（ e+3， e 2）， 点 G 在直线 oN上， e 2=（ e+3）， 解得： e=7， F （ 7， 5）； 当 a=3即 EF=3时， EH=5 3=2， 点 E 在直线 om上，设点 E 的坐标为（ e， e）， F （ e， e 3）， G（ e+2， e 3）， 点 G 在直线 oN上， e 3=（ e+2）， 解得： e=8， F（ 8， 5） 故答案为：（ 7， 5），（ 8， 5） 【点评】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、一次函数15 / 38 解析式的求法；根据题意得出直线 oN 的解析式是解答此题的关键，在解答时要注意进行分类讨论 试题、（ 2016 春江阴市月考）如图，在正方形 ABcD 中，点 P 在 AD 上，且不与 A、 D 重合， BP 的垂直平分线分别交cD、 AB于 E、 F 两点，垂足为 Q，过 E 作 EHAB 于 H （ 1）求证： HF=AP； （ 2）若正方形 ABcD 的边长为 12， AP=4，求线段 AF的长 【分析】（ 1）由正方形的性质和已知条件可分 别证明FEH=PBA ， AB=HE，进而可证明 ABPHEF ，由全等三角形的性质即可得到 HF=AP； （ 2）连接，设 AF=x，则 PF=BF=12 x，在 APF 中利用勾股定理可得： 42+x2=（ 12 x） 2，解方程求出 x 的值即可 【解答】解：（ 1） EFBP ， EHAB ， FEH+EmQ=90=PBA+BmH ， 又 QmE=BmH ， FEH=PBA ， 四边形 ABcD是正方形， A=D=90 ， AB=AD， EHAB ， EHA=90=A= D， 四边形 ADEH是矩形， 16 / 38 AD=EH ， 又 AB=AD ， AB=EH ， 在 ABP 与 HEF 中 ， ABPHEF （ ASA）， AP=FH ； （ 2）连结 PF， EF 垂直平分 BP， PF=BF ， 设 AF=x，则 PF=BF=12 x， 在 APF 中， 42+x2=（ 12 x） 2， x= ， AF= 【点评】本题考查的是正方形的性质、勾股定理的运用、全等三角形的判定和性质以及线段垂直平分线的性质，熟知正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解答此题的关键 试题、（ XX春霸州市期末）如图， ABc 中，点 o 为 Ac边上的一个动点，过点 o 作直线 mNBc ，设 mN 交 BcA 的外角平分线 cF于点 F，交 AcB 内角平分线 cE于 E 17 / 38 （ 1）试说明 Eo=Fo； （ 2）当点 o 运动到何处时，四边形 AEcF是矩形并证明你的结论； （ 3）若 Ac 边上存在点 o，使四边形 AEcF 是正方形，猜想ABc 的形状并证明你的结论 【分析】（ 1）根据 cE平分 AcB ， mNBc ，找到相等的角，即 oEc=EcB ，再根据等边对等角得 oE=oc，同理 oc=oF，可得 Eo=Fo （ 2）利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形 （ 3）利用已知条件及正方形的性质解答 【解答】解：（ 1） cE 平分 AcB ， AcE=BcE ， mNBc ， oEc=EcB ， oEc=ocE ， oE=oc ， 同理， oc=oF， oE=oF （ 2）当点 o 运动到 Ac中点处时，四边形 AEcF是矩形 18 / 38 如图 Ao=co， Eo=Fo， 四边形 AEcF为平行四边形， cE 平分 AcB ， AcE=AcB ， 同理， AcF=Ac G， EcF=AcE+AcF= （ AcB+AcG ） =180=90 ， 四边形 AEcF是矩形 （ 3） ABc 是直角三角形 四边形 AEcF是正方形， AcEN ，故 Aom=90 ， mNBc ， BcA=Aom ， BcA=90 ， ABc 是直角三角形 【点评】本题主要考查利用平行线的性质 “ 等角对等边 ” 证明出结论（ 1），再利用结论（ 1）和矩形的判定证明结论（ 2），再对（ 3）进行判断解答时不仅要注意用到前一问题的结论，更要注意前一问题为下一问题提供 思路，有相似的思考方法是矩形的判定和正方形的性质等的综合运用 试题、（ XX春万州区期末）如图，在正方形 ABcD中，点 E、F、 G、 H 分别在四边上， EHBc ， GFAB ， EH与 FG交于点 o，19 / 38 且 AE=AG，若 AE比 cH长 2， BoF 的面积为 （ 1）求正方形 ABcD 的面积； （ 2）设 AE=a， BE=b，求代数式 a4+b4 的值 【分析】（ 1）根据四边形 ABcD是正方形，得到 ADBc ， AD=Bc，ABcD ， AB=cD，由于 EHBc ， GFAB ，得出四边形 AEoG是正方形，四边形 AEHD， EBFo， GoHD 是矩形，根据 BoF 的面积为，得到矩形 EBFo的面积 =3，设 AE=oE=DH=x， BE=cH=y，列出，即可得到结果； （ 2）由（ 1）求得 AE=3， BE=1，代入即可得到结果 【解答】解：（ 1） 四边形 ABcD是正方形， ADBc ， AD=Bc， ABcD ， AB=cD， EHBc ， GFAB ， 四边形 AEoG是正方形，四边形 AEHD， EBFo， GoHD 是矩形， AE=DH ， BE=cH， BoF 的面积为， 矩形 EBFo的面积 =3， 设 AE=oE=DH=x， BE=cH=y， ， ， AEE=3 ， BE=1， AB=AE+BE=4 ， 20 / 38 正方形 ABcD的面积 =44=16 ； （ 2）由（ 1）求得 AE=3， BE=1， a=3 ， b=1， a4+b4=34+11=82 【点评】本题考查了正方形的判定和性质，正方形的面积，三角形的面积，充分利用已知条件列方程组求出各线段是解题的关键 试题、（ XX 春冷水江市校级期末）如图，矩形 ABcD 和正方形 EcGF其中 E、 H 分别为 AD、 Bc 中点连结 AF、 HG、AH （ 1）求证： AF=HG； （ 2）求证： FAD=GHc ； （ 3）试探究 FAH 与 AFE 的关系 【分析】（ 1）根据矩形的性质和已知得出 AE=Hc， AEHc ，求出四边形 AHcE 为平行四边形，根据平行四边形的性质得出 AH=Ec， AHEc ，求出四边形 AHGF是平行四边形，即可得出答案； （ 2）根据平行线得出 FAH+AHG=180 ，求出 DAH=AHB ，21 / 38 根据 AHB+AHG+GHc=180 即可得出答案； （ 3）过 A 点作 AmEF ，根据平行线的性质得出 mAF=AFE ，求出 mAAH ，根据垂直得出 mA F+FAH=90 ，即可得出答案 【解答】（ 1）证明： 四边形 ABcD是矩形，且 E、 H 分别为AD、 Bc的中点， AE=Hc ， AEHc ， 四边形 AHcE为平行四边形， AH=Ec ， AHEc ， 又 四边形 EcGF为正方形， Ec=FG ， EcFG ， AH=FG ， AHFG ， 四边形 AHGF是平行四边形， AH=FG ； （ 2）证明： 四边形 AHGF是平行四边形， FAH+AHG=180 ， 四边形 ABcD是矩形， ADBc ， DAH=AHB ， 又 AHB+AHG+GHc=180 ， FAD=GHc ； 22 / 38 （ 3） FAH+AFE=90 ， 证明：过 A 点作 AmEF ， 则 mAF=AFE ， AmEF ， AHEc ， FEEc ， mAAH ， mAF+FAH=90 ， FAH+mAF=90 【点评】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质和判定，正方形的性质的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键 三、正方形与菱形综合 试题、（ XX深圳模拟）如图，正方形 ABcD的边长为 2，以对角线 BD为边作菱形 BEFD，点 c、 E、 F 在同一直线上 （ 1）求 EBc 的度数； （ 2）求 cE的长 【分析】（ 1）首先连接 Ac 交 BD 于点 o，过点 E 作 EHBD于点 H，由正方形 ABcD 的边长为 2，四边形 BEFD 是菱形，23 / 38 易求得 BE=BD=2，由 BDEF ，可求得 EH=oc=，然后由三角函数的性质，求得 EBc 的度数； （ 2）首先过点 E 作 EGBc ，交 Bc的延长线于点 G，即可得EcG 是等腰直角三角形，然后设 EG=cG=x，在 RtBEG 中，由 BE2=BG2+EG2，可得方程：（ 2） 2=（ 2+x） 2+x2，解此方程即可求得 EG的长，继而求得 cE的长 【解答】解：（ 1）连接 Ac 交 BD 于点 o，过点 E 作 EHBD于点 H， 正方形 ABcD的边长为 2， BD=Ac=2 ， AcBD ， oc=Ac= ， 四边形 BEFD是菱形， BE=BD=2 ， BDEF ， 点 c、 E、 F 在同一直线上， EH=oc= ， 在 RtBEH 中， sinEBH= ， EBH=30 ， EBc=DBc EBH=45 30=15 ； （ 2）过点 E 作 EGBc ，交 Bc的延长线于点 G， BDEF ， EcG=DBc=45 ， 24 / 38 EcG 是等腰直角三角形， EG=cG ， 设 EG=x， 则 BG=Bc+cG=2+x， 在 RtBEG 中， BE2=BG2+EG2， 即（ 2） 2=（ 2+x） 2+x2， 即 2x2+4x 4=0， 解得： x= 1 或 x= 1（舍去）， EG= 1， cE=EG= （ 1） = 【点评】此题考查了正方形的性质、菱形的性质、特殊角的三角函数值以及勾股定理的知识此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合与方程思想的应用 试 题、（ XX春莒南县期末）如图，正方形 ABcD的边长为 2，以对角线 Ac为一边作菱形 AEFc， AF于 Bc 交于 G 点，则 BcE的度数与 BE的长分别为（ ） A 30 、 B 30 、 c 、 D 、 【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得BAc=AcB=45 ，根据菱形的四条边都相等可得 Ac=AE，然后根据等腰三角形两底角相等求出 AcE ，然后根据25 / 38 BcE=AcE AcB 计算即可得解；再根据正方形的对角线等于边长的倍求出 AE=Ac，然后根据 BE=AE AB 计算即可得解 【解答】解：在正方 形 ABcD中， BAc=AcB=45 ， 四边形 AEFc是菱形， Ac=AE ， AcE= （ 180 BAc ） =（ 180 45 ） = ， BcE=AcE AcB= 45= ， 正方形 ABcD的边长为 2， AE=Ac=2 ， BE=AE AB=2 2 故选 c 【点评】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，等边对等角的性质，熟记两图形的性质并准确识图是解题的关键 试题、（ XX 春遂宁期末）如图，正方形 ABcD 的对角线 Ac是菱形 AEFc的一边，则 FAB 的度数为 【分析】根据正方形的性质求出 BAc=45 ，再根据菱形的对角线平分一组对角解答即可 【解答】解： 四边形 ABcD是正方形， BAc=45 ， 四边形 AEFc是菱形， 26 / 38 FAB=BAc=45= 故答案为： 【点评】本题考查了正方形的对角线平分一组对角，菱形的对角线平分一组对角的性质，熟记性质是解题的关键 试题、（ XX 重庆校级二模）如图，已知正方形 ABcD 的边长为 3，菱形 EFGH的三个顶点 E、 G、 H 分别落在正方形的边AB、 cD、 DA上， AH=1，则 Gc长度的取值范围是 3 Gc3 【分析】由菱形边长来确定 Gc长度的取值范围 【解答】解： AH=1 ， HE 的最大值为 =， 此时 DG=， 此时 Gc=3， 当 G 与点 D 重合时，菱形的边最小， 3 Gc3 故答案为： 3 Gc3 【点评】本题主要考查了正方形的性质及菱形的性质，解题的关键是由菱形边长来确定 Gc长度的取值范围 试题、（ XX 春椒江区校级期中）如图， ABcD 是正方形， E是 cF上一点，若 DBEF是菱形，则 EBc= 15 27 / 38 【分析 】过 D 作 DG 垂直于 cF，垂足为 G，由正方形的性质可得出正方形的四条边相等，且四个角为直角，三角形 BcD为等腰直角三角形，可得出 BDc 与 DBc 都为 45 ，设正方形的边长为 1，根据勾股定理求出 BD的长为，即菱形的四条边为，由 DG 与 Fc 垂直，且 BD 与 EF 平行，可得 BD 垂直于 DG，进而得到 cDG 为 45 ，即三角形 DcG为等腰直角三角形，由 Dc的长为 1，可求出 DG 为，在直角三角形 DFG中，由 DG为 DF的一半，得到 F 为 30 ，再根据菱形的对角相等，可得 DBE 为 30 ，由 EBc=DBc DBE 求出度数即可 【解答】解：过 D 作 DGcF ，垂足为 G，如图所示： 四边形 ABcD为正方形， cBD=cDB=45 ， BcD=90 ， 设正方形 ABcD的边长为 1，即 AB=Bc=cD=AD=1， 根据勾股定理得： BD=， 四边形 BEFD为菱形， BE=EF=DF=BD= ， 又 BDEF ， DGFc ， BDDG ，即 BDG=90 ， cDG=BDG BDc=90 45=45 ，又 DGc=90 ， DcG 为等腰直角三角形，又 Dc=1， 28 / 38 DG=Dcsin45 = ，又 DF=， 在 RtDFG 中，由 DG=DF， F=30 ， DBE=30 ， 则 EBc=DBc DBE=45 30=15 故答案是： 15 【点评】此题考查了正方形的性质，菱形的性质，等腰直角三角形的性质以及直角三角形的性质，根据题意作出辅助线DG是本题的突破点，熟练掌握图形的性质是解本题的关键 试题、（ XX荆州）如图 1，在正方形 ABcD中， P 是对角线BD上的一点，点 E 在 AD的延长线上，且 PA=PE， PE交 cD于F （ 1）证明： Pc=PE； （ 2）求 cPE 的度数； （ 3）如图 2，把正方形 ABcD改为菱形 ABcD，其他条件不变，当 ABc=120 时，连接 cE，试探究线段 AP 与线段 cE 的数量关系，并说明理由 【分析】（ 1）先证出 ABPcBP ，得 PA=Pc，由于 PA=PE，得 Pc=PE； 29 / 38 （ 2）由 ABPcBP ，得 BAP=BcP ，进而得 DAP=DcP ，由 PA=Pc ， 得 到 DAP=E ， DcP=E ， 最 后cPF=EDF=90 得到结论； （ 3）借助（ 1）和（ 2）的证明方法容易证明结论 【解答】（ 1）证明：在正方 形 ABcD 中， AB=Bc， ABP=cBP=45 ， 在 ABP 和 cBP 中， ， ABPcBP （ SAS）， PA=Pc ， PA=PE ， Pc=PE ； （ 2）由（ 1）知， ABPcBP ， BAP=BcP ， DAP=DcP ， PA=PE ， DAP=E ， DcP=E ， cFP=EFD （对顶角相等）， 180 PFc PcF=180 DFE E ， 即 cPF=EDF=90 ； 30 / 38 （ 3）在菱形 ABcD中， AB=Bc， ABP=cBP=60 ， 在 ABP 和 cBP 中， ， ABPcBP （ SAS）， PA=Pc ， BAP=BcP ， PA=PE ， Pc=PE ， DAP=DcP ， PA=Pc ， DAP=AEP ， DcP=AEP cFP=EFD （对顶角相等）， 180 PFc PcF=180 DFE AEP ， 即 cPF=EDF=180 ADc=180 120=60 ， EPc 是等边三角形， Pc=cE ， AP =cE 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边对等角的性质，熟记正方形的性质确定出 ABP=cBP 是解题的关键 31 / 38 四、正方形与正方形综合 试题、（ 2016贵阳模拟）将五个边长都为 2cm的正方形按如图所示摆放，点 A、 B、 c、 D 分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影面积的和为（ ） A 2cm2B 4cm2c 6cm2D 8cm2 【分析】连接 AP、 AN，点 A 是正方形的对角线的交点，则AP=AN， APF=ANE=45 ，易得 PAFNAE ，进而可得四边形 AENF的面积等于 NAP 的面积，同理可得答案 【解答】解：如图，连接 AP， AN，点 A 是正方形的对角线的交 则 AP=AN， APF=ANE=45 ， PAF+FAN=FAN+NAE=90 ， PAF=NAE ， PAFNAE ， 四边形 AENF的面积等于 NAP 的面积， 而 NAP 的面积是正方形的面积的，而正方形的面积为 4， 四边形 AENF的面积为 1cm2，四块阴影面积的和为 4cm2 故选 B 32 / 38 【点评】本题考查旋转的性质旋转变化前后，对 应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等要注意旋转的三要素： 定点旋转中心； 旋转方向； 旋转角度 试题、现有一张边长等于 a（ a 16）的正方形纸片，从距离正方形的四个顶点 8cm处，沿 45 角画线，将正方形纸片分成 5 部分，则阴影部分是 正方形 （填写图形的形状）（如图），它的一边长是 cm 【分析】延长小正方形的一边交大正方形于一点，连接此点与距大正方形顶点 8cm处的点，构造直角边长为 8 的等腰直角三角形，将小正方形的边长转化为等腰直角三角形的斜边长来求解即 可 【解答】解：如图，作 AB 平行于小正方形的一边，延长小正方形的另一边与大正方形的一边交于 B 点， ABc 为直角边长为 8cm的等腰直角三角形， AB=Ac=8 ， 阴影正方形的边长 =AB=8cm 故答案为：正方形， cm 【点评】本题考查了正方形的性质与勾股定理的知识，题目33 / 38 同时也渗透了转化思想 试题、已知，正方形 cEFG的边 Gc在正方形 ABcD 的边 cD上，延长 cD 到 H，使 DH=cE， k 在 Bc边上，且 Bk=cE，求证：四边形 AkFH为正方形 【 分 析 】 根 据 正 方 形 的 性 质 得出 AB=Bc=cD=AD ，BAD=DcB=B=ADc=90 ，GcE=E=GFE=cGF=90 ，求出ADH=HGF=E=B=90 ， Bk=GF=DH=EF， kE=GH=AB=AD，证 ABkkEFHGFADH ，根据全等三角形的性质推出 Ak=kF=HF=AH， BAk=HAD ，求出 HAk=BAD=90 ，根据正方形的判定得出即可 【解答】证明： 四边形 ABcD和四边形 cEFG是正方形， AB=Bc=cD=AD ， BAD=DcB=B=ADc=90 ，G cE=E=GFE=cGF=90 ， ADH=HGF=E=B=90 ， DH=cE ， Bk=cE， Bk=GF=DH=EF ， kE=GH=AB=AD， 在 ABk 、 kEF 、 HGF 、 ADH 中 ABkkEFHGFADH ， 34 / 38 Ak=kF=HF=AH ， BAk=HAD ， BAD=90 ， HAk=HAD+DAk=BAk+DAk=BAD=90 ， 四边形 AkFH为正方形 【点评】本题考查了正方形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用 ，解此题的关键是推出ABkkEFHGFADH ，注意：有一个角是直角的菱形是正方形 试题、（ XX 历城区一模）如图，四边形 ABcD、 DEFG 都是正方形，连接 AE、 cG， AE与 cG相交于点 m下列结论： AE=cG ，AEcG ， DmGE ， om=oD ， DmE=45 正确结论的个数为（ ） A 2 个 B 3 个 c 4 个 D 5 个 【分析】根据正方形的性质可得 AD=cD， DE=DG，ADc=EDG=90 ，然后求出 ADE=cDG ，再利用 “ 边角边 ” 证明 ADE 和 c DF 全等，根据全等三角形对应边相等可得 AE=cG，判定 正确；根据全等三角形对应角相等可得1=2 ，再求出 mEG+mGE=DEG+DGE=90 ，然后求出 EmG=90 ，判定 正确；根据直角三