六年级数学下册基础知识总复习（西师版）

1 / 32 六年级数学下册基础知识总复习（西师版） 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 西师版六年级数学下册基础知识总复习 一、数与代数 数的认识（一） （一）整数 1、整数的范围整数包括自然数和负整数，或者说整数由正整数、零和负整数组成。 （ 1）自然数 自然数的意义：像 0 和 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8 这些用来表示物体个数的数都是自然数。自然数都是整数，最小的自然数是 0，没有最大的自然数，自然数的个数是无限的，每相邻的两个自然数相差 1。 非零自然数：非零自然数 就是指除开 0 以外的全部自然数，像 1， 2， 3， 4， 5， 6 用来表示物体个数的数，都是非零自然数。 自然数的基本单位：任何一个非零自然数都是由若干个 1组成的， 1 是自然数的基本单位。 1 也是最小的一位数。 “0” 的含义： 0 是最小的自然数，它通常表示一个物体也没有，在计数中起占位作用，表示这个数位上没有计数单位。 “0” 也表示起点、分界点等。 自然数的两种意义：自然数有 “ 基数 ”“ 序数 ” 两种意2 / 32 义。如果一个自然数用来表示物体的个数就叫基数；如果一个自然数用来表示排列的次序就叫序数。例如： “ 共 5 人 ”的 “5” 为基 数，而 “ 第 5 人 ” 的 “5” 为序数。 （ 2）正数： 正数的定义：像 +4、 40、 + 这样的数叫做正数 正数的读法和写法正数前面也可以加 “+” ，例如： +4读作：正四。 “+” 一般省略不写 （ 3）负数： 负数的定义：像 -4、 -14、 -392、 -155这样的数 叫做负数。 “ -” 叫负号。 负数的读法和写法负数前面的 “ -” 不能省略，例如： -4 读作：负四。 （ 4）正、负数意义的区别：负数表示的意义与正数相反，即正、负数表示两种相反意义的量。例如：升降电梯时，若上升用正数表示，下降则用负数表示。正数都大于 0，负 数都小于 0， 0 既不是正数，也不是负数。 （ 5）整数与自然数的联系与区别：自然数都是整数，整数不都是自然数，整数还包括负整数。 2、整数的读法和写法 （ 1）整数数位顺序表 数级 亿级万级个级 数位 千亿位百亿位十亿位亿位千万位百万位十万位万位3 / 32 千位百位十位个位 计数单位 千亿百亿十亿亿千万百万十万万千百十一 （个） 数的分级按照我国的计数习惯，整数从个位起，每四个数位是一级。个位、十位、百位、千位是个级；万位、十万位、百万位、千万位是万级；亿位、十亿位、百亿位、千亿位是亿级 从个位起，第五位 是万位，第九位是亿位。 个级表示多少个 “ 一 ” ，万级表示多少个 “ 万 ” ，亿级表示多少个 “ 亿 ” 计数单位：整数、小数都是按照十进制写出的数，其中一（个）、十、百、千、万 是整数的计数单位。计数单位是按照一定的顺序排列的。 数位用数字表示数时，把计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。如个位、十位、百位等。 位数指一个数是由几个数字组成，也就是指含有数位的个数，如 3548占有四个数字，就是四位数。 十进制记数法十进制是指每满十个数进一个单位。 10 个一进为十， 10 个十进为百， 10 个百进为千 每相邻两个计数单位间的进率的都是 “ 十 ” ，这样的记数法叫做十进制记数法。 （ 2）整数的读法和写法 整数的读法读整数时，从高位到低位，一级一级地读，读亿4 / 32 级、万级时，按照个级的读法去读，只要在后面加上 “ 亿 ”字或 “ 万 ” 字就可以了，每一级末尾的 “0” 都不读出来，其他数位有一个 “0” 或连续几个 “0” 都只读一个零。 整数的写法：写整数时，从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写 0 占位。 3、把多位数改写成以 “ 万 ” 或 “ 亿 ” 作单位的数和省略某一位后面的尾数的方法 改写 整数省略尾数 方法把多位数改写成以 “ 万 ” 或 “ 亿 ” 作单位的数，先把原数的小数点向左移动 4 位或 8 位（若小数部分末尾有 0 要划掉），再在数的后面加写 “ 万 ” 或 “ 亿 ” 字。先用 “ 四舍 ”或 “ 五入 ” 法省略指定数位后面的尾数，再在后面加写相应的计数单位 “ 万 ” 字或 “ 亿 ” 字。 结果得到准确值。得到近似数 与原数的关系与原数相等，用 “=” 连接与原数近似相等，用 “” 连接。 相同点都是改变原数的计数单位，根据要求用 “ 亿 ” 或“ 万 ” 作单位。 4、数的改写 把较大的数改写成用 “ 万 ” 或 “ 亿 ” 作单位的数的方法 把较大的数 改写成用 “ 万 ” 作单位的数，先找到万位，在万位的右下角点上小数点，同时在数的后面加写 “ 万 ” 字。 5 / 32 把较大的数改写成用 “ 亿 ” 作单位的数，先找到亿位，在亿位的右下角点上小数点，同时在数的后面加写 “ 亿 ” 字。 注意： 改写后小数末尾的 “0” 应去掉。 遇到有单位名称，还要写上单位名称。 改写后，如果小数位数比较多，可以根据需要保留前几位小数。 改写用 “=” ，保留用 “” 5、数的省略 省略万位后面的尾数求近似数的方法是：先找到万位，再看千位上的数四舍五入，同时在后面加写 “ 万 ” 字。 省略亿位后面的尾数求近似 数的方法是：先找到亿位，再看千万位上的数四舍五入，同时在后面加写 “ 亿 ” 字。 “ 四舍五入 ” 法：求一个数的近似数，要看所省略的尾数的左起第一位上的数是不是满 “5” ，如果不满 “5” ，就把尾数都舍去；如果满 “5” ，把尾数舍去后，要在它的前一位上加 “1” ，这种求近似数的方法叫做 “ 四舍五入 ” 法。 6、整数大小的比较比较两个整数的大小，位数多的数比较大；位数相同的，要从高位依次看相同数位上的数字，最高位上数字大的那个数就大，如果最高位上的数字相同，就比较下一位 （二）小数 1、小数的意义 像、 这样， 用来表示十分之几、百分之几、千分之6 / 32 几 的数，叫做小数。 一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几 也就是说小数表示的是分母为 10、 100、1000 的分数。 一位小数表示的是分母是 10 的分数，两位小数表示的是分母是 100 的分数，三位小数表示的是分母是 1000 的分数，有几位小数分母就有几个 0 2、小数各部分的名称 （ 1）小数点左面是它的整数部分，小数点右面是它的小数部分。 如： （ 2）小数点右面第一位是十分位，小数点右面第二位是百分位，小数点右面第 三位是千分位 3、小数的读法和写法 （ 1）整数和小数数位顺序表 整数部分小数点小数部分 数级 亿级万级个级 数位 千亿位百亿位十亿位亿位千万位百万位十万位万位千位百位十位个位 .十分位百分位千分位万分位 计数单位 千亿百亿十亿亿千万百万十万万千百十一 （个）十分之一百分之一千分之一万分之一 7 / 32 （ 2）小数的计数单位 在小数部分中，十分位上的数字，它的计数单位是十分之一（）；百分位上的数字，它的计数单位是百分之一（）；千分位上的数字，它的计数单位是千分之一（） ；它是十进制分数的另一种表 现形式。小数部分的最高计数单位 “” 和整数部分的最低计数单位 “1” 之间的进率也是 10. 小数的计数单位有、 每相邻两个计数单位间的进率是“10” 最大的小数计数单位是，没有最小的小数计数单位，10个是 1. （ 3）小数的读法和写法 读法读小数时，整数部分按整数的读法读，整数部分是 0 的读作 “ 零 ” ，小数点读作 “ 点 ” ，小数部分顺次读出每个数位上的数字，即使是连续的 0，也要依次读出来。如：读作零点三七表示百分之三十七 写法写小数时，整数部分按整数的写法写，整数部分是零的要写作 “0” ，小数点点在整数个位的右下角 ，然后顺次从高位到低位写出小数部分每个数位上的数字。如：十二点零一二写作 4、求小数的近似数 求一个小数的近似数，通常用 “ 四舍五入 ” 法。 保留整数，表示精确到个位 ,先找到个位，再看十分位上的数四舍五入； 8 / 32 保留一位小数，表示精确到十分位 ,先找到十分位，再看百分位上的数四舍五入；保留两位小数，表示精确到百分位 ,先找到百分位，再看千分位上的数四舍五入； 保留三位小数，表示精确到千分位 ,先找到千分位，再看万分位上的数四舍五入； 5、小数大小的比较比较两个小数的大小，先看它们的整数部分，整数部分大 的那个数就大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大 6、小数点位置的移动引起小数的大小变化 小数点向右移动一位、两位、三位 小数就扩大到原来的10倍、 100倍、 1000倍 小数点向左移动一位、两位、三位 小数就缩小到原来的 10倍、 100倍、 1000倍 小数点位置移动时，如果位数不够，必须用 “0” 补足，差几位就补几个 “0” ，向左移补 “0” 时，一定要点上小数点，小数点前要写上 “0” ，小数点前的这个 0 表示整数部分，不能作为数位来数。 7、小数的分类 （ 1）小数按它的整数部分是否是 0，可以分为纯小数和带小数。 纯小数整数部分是 0 的小数叫做纯小数；如： 9 / 32 带小数整数部分不是 0 的小数叫做带小数。如： （ 2）小数按它的小数部分的位数是否有限，可以分为有限小数和无限小数。 有限小数小数部分的位数是有限的小数叫做有限小数。如 无限小数小数部分的位数是无限的小数叫做无限小数。如 无限小数又可以分为无限不循环小数和循环小数两类。 循环小数一个无限小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字依次不断地重复出现，这样的小数叫做循环小数。如 ： 循环小数是无限小数。 循环节一个循环小数的小数部分依次不断地重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。如： 的循环节是 “5” 1 535353 的循环节是 53 循环小数的简便记法写循环小数的时候，为了简便，一般只写出它的第一个循环节，如果循环节只有一位数字，就在这个数字上加一个圆点；如果循环节有一位以上的数字，就在循环节的首位和末尾数字上各点一个小圆点。如： 写作 写作 循环小数按循环节是不是从小数点右面第一位开始，可分为纯循环小数和混循环小数 纯循环小数循环节从小数点右面第一位开始 循环的，叫纯循环小数。如： 是纯循环小数。 10 / 32 混循环小数循环节不是从小数点右面第一位开始循环的，叫混循环小数。如： 是混循环小数。 （三）分数 1、认识单位 “1” 将一个或是许多物体看成一个整体，通常我们把它叫做单位“1” 。 2、分数的意义 把单位 “1” 平均分成若干份，表示这样 1 份或者几份的数，叫做分数。 如：的意义是：表示把单位 “1” 平均分成 3 份，取其中的1 份。 的意义是：表示把单位 “1” 平均分成 8 份，取其中的 5 份。 3、分数单位把单位 “1” 平均分成若干份，表示其中一份的数，叫 做这个分数的分数单位。一个分数的分母是几，它的分数单位就是几分之一，分子是几，它就有几个这样的分数单位 如的分数单位是，它含有 5 个。 最大的分数单位是，没有最小的分数单位。 的分数单位是，它表示有 7 个这样的分数单位。 4、分数的分类 （ 1）真分数分子比分母小的分数叫做真分数。如、 （ 2）假分数分子比分母大或者分子和分母相等的分数11 / 32 叫做假分数。如： 、 5、真分数和假分数的特点 （ 1）真分数比 1 小，假分数大于或者等于 1. （ 2）假分数可化成整数或者带分数 当分子是分母 的倍数时，这样的假分数可化成整数，这个整数就用假分数的分子除以分母得到。 如： =33=1=84=2 当分子不是分母的倍数时，这样的假分数可化成带分数 如 =53= 带分数是假分数的另一种表现形式。 6、分数与除法的关系 两个数相除不能整除时它们的商可以用分数表示。 （ 1）用分数表示整数除法的商时，用除数作分母，被除数作分子。 即：被除数 除数 =（除数不能为零） 如果用 a 表示被除数， b 表示除数，分数与除法的关系可以表示为 ab=(b 0) （ 2）在整数除法中，除数不能为 0，在分数中分母也不能为 0，分母为 0 没有意义。 12 / 32 （ 3）分数的分子相当于除法中的被除数，分母相当于除法中的除数，分数线相当于除号，分数值相当于商。 7、分数与除法的区别：除法是一种运算，它有运算符号，是一个算式，而分数是一个 “ 数 ” ，当它与除法算式连在一起时，它只表示除法算式的结果。 8、分数的大小比较 9、最简分数 分子、分母是互质数的分数叫做最简分数。如（因为 3 和10只有公因数 1 所以是最简分数） 10、约分： 把一个分数化成同它相等，且分子、分母都比原来小 的分数的过程，叫做约分。 11、约分的方法 方法一：分步约分法即用分子、分母的公因数（ 1 除外）去除分子、分母，通常除到得出最简分数为此。 如化简 方法二：直接约分法即先找出分子、分母的最大公因数，然后用最大公因数去除分子、分母。 如：化简 注意：约分后的商要写在原分子、分母的上、下方，相同数位要对齐，要记住把原数划去。 13 / 32 12、通分 （ 1）通分的意义 把几个分母不相同的分数，分别化成和原来分数相等并且分母相同的分数的过程，叫做通分 或者说：把异分母分数分别化成和 原来分数相等的同分母分数的过程，叫做通分。 （ 2）通分的方法 通分时，一般先求出原来几个分数分母的最小公倍数，再将这个最小公倍数作公分母，然后把各分数化成以公分母作分母的分数。 如：把下面的分数通分 用 4 和 7 的最小公倍数 28作公分母 用 6 和 9 的最小公倍数 18作公分母 13、通分和约分的根据是：分数的基本性质。 数的认识（二） （一）常见的单位及单位间的进率 1、常用的质量单位有：吨（ t）千克（）克（ g） 每相邻两个质量单位间的进率是 1000 14 / 32 1 吨 =1000千克 1 千克 =1000克 2、人民币单位常用的人民币单位有元、角、分 1 元 =10角 1 角 =10分 3、常用的时间单位有 一年有 12个月，平年全年有 365 天，闰年全年有 366天。 一年中有 7 个大月即： 1 月、 3 月、 5 月、 7 月、 8 月、 10月、 12月，大月每月有 31天； 4 个小月即 4 月、 6 月、 9 月、11月是小月，小月每月有 30天 2 月既不是大月，也不是小月，平年 2 月有 28 天，闰年 2月有 29天 1 星期 =7日 1 日 =24时 1 时 =60分 1 分 =60秒 一年按四个季度分： 1 月、 2 月、 3 月 属第一季度； 4 月、5 月、 6 月属第二季度； 7 月、 8 月、 9 月属第三季度； 10月、11月、 12月属第四季度。 每个月分上、中、下三旬，初一到初十是上旬，十一到二十是中旬，二十一到月末是下旬，上旬、中旬各有 10 天，下旬天数要根据月份确定，大月下旬 11天，小月下旬 10天，平年二月下旬 8 天，闰年二月下旬 9 天。 平年、闰年的判断方法：公历年份是 4 的倍数的一般是闰年，但公历年份是整百数的，必须是 400的倍数才是闰年。例如： 1900年是平年， 2000年是闰年。 15 / 32 4、长度单位 常用的长度单位有： 除千米以外每相邻 两个长度单位间的进率是 10。 即 1千米 =1000米 1米 =10分米 1分米 =10厘米 1厘米 =10毫米 5、面积单位 （ 1）计量较小的图形的面积常用平方厘米作单位，测量和计算大的面积常用公顷和平方千米作单位。 （ 2）边长 100m的正方形，面积是 1 公顷，可以写成 1hm2；边长 1km 的正方形，面积是 1 平方千米，可以写成 1 千米 2还可以写成 1km2 （ 3）平方千米的表示方法：千米 2 字母符号是 k 公顷的字母符号是： h （ 4）常用的面积单位有： 每相邻两个面积单位间的进率是 100 顺口溜：千顷亩方分厘毫 ， 相邻 “100” 请记牢。 跨过邻居写 “1” 字， 后面添 “0” 要做好。 5、体积和体积单位 （ 1）体积的意义物体所占空间的大小叫做物体的体积。 （ 2）体积单位计量物体的体积要用体积单位。常见的体积16 / 32 单位有立方厘米、立方分米、立方米。 通常用 cm3表示立方厘米、 dm3表示立方分米、 m3 表示立方米。 单位名称意义相当的实物 1立方厘米棱长为 1厘米的正方体的体积是 1立方厘米约为一个手指尖的大小 1立方分米棱长为 1分米的正方体的体积是 1立方分米约为一个粉笔盒的大小 1立方米棱长为 1米的正 方体的体积是 1立方米约为一个电视机箱子的大小 （ 3）、体积单位间的进率 每相邻两个体积单位间的进率是 1000即 1 立方米 =1000 立方分米 1 立方分米 =1000 立方厘米 1 立方米 =1000000 立方厘米 也就是 :1m3=1000dm31dm3=1000cm3 6、容积和容积单位 （ 1）容积的意义一个容器所能容纳的物体的体积，叫做这个容器的容积 （ 2）容积单位计量液体的体积常用容积单位。常用的容积单位有升和毫升。升用字母 “L” 表示，毫升用字母 “mL”表示。 1 升 =1000毫升 1 升 =1立方分米 17 / 32 1 毫升 =1立方厘米 1 立方米 =1000 升 也就是 :1L=1000mL1L=1dm31mL=1cm3 （二）：名数的改写 （ 1）把高级单位的名数改写成低级单位的名数（用乘法） 即： 如 5k =（ 500） h （ 2）把低级单位的名数改写成高级单位的名数（用除法） 即： 如 320 =（） h （三）数的性质（特征） 1、小数的基本性质：在小数的末尾添上 “0” 或者去掉“0” ，小数的大小不变，叫做小数的基本性质。 2、分数的基本性质 :分数的分子和分母同时 乘上或除以相同的数 (0除外 ),分数的大小不变，叫做分数的基本性质。新课标第一网 3、商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（ 0 除外），商不变，叫做商不变的性质。 4、比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（ 0 除外），比值不变，叫做比的基本性质。 5、比例的基本性质：在一个比例中，两个外项的积等于两个内项的积，叫做比例的基本性质 18 / 32 （四）、积的变化规律： 1、一个因数不变，另一个因数扩大 n 倍（ n0 ） ,积就扩大n 倍；一个因数不变，另一个因数缩小 n 倍，（ n0 ）积就缩小 n 倍。 2、一个因数扩大 n 倍，另一个因数缩小 n 倍（ n0 ），积不变。 3、一个因数扩大 a倍，另一个因数扩大 b倍，积就扩大（ ab ）倍，一个因数缩小 a 倍，另一个因数缩小 b 倍，积就缩小（ ab ）倍。 （五） .商的变化规律： 被除数不变，除数扩大 n 倍（ n0 ） ,商反而缩小 n 倍。 被除数不变，除数缩小 n 倍（ n0 ），商反而扩大 n 倍。 除数不变，被除数扩大 n 倍（ n0 ），商就扩大 n 倍。 除数不变，被除数缩小 n 倍（ n0 ）商就缩小 n 倍。 被除数和除数同时扩大相同的倍数（ 0 除外）商不变。 被除数和除数同 时缩小相同的倍数（ 0 除外）商不变。 （六）四则运算各部分间的关系 1在加法中 加数加数 =和一个加数 =和另一个加数 2.在减法中 被减数 减数 =差被减数 =差减数减数 =被减数差 19 / 32 3.在乘法中 因数 因数 =积一个因数 =积 另一个因数 4、在除尽的除法中 被除数 除数 =商被除数 =商 除数除数 =被除数 商 5、在有余数的除法中 被除数 =商 除数余数除数 =（被除数 余数） 商 商 =（被除数 余数） 除数余数 =被除数 商 除数 注意：在有余数的除法中，余数必须比除数小。 （七）数量 间的关系 1在买卖问题上 单价 数量 =总价单价 =总价 数量数量 =总价 单价 2.在产量问题上 单产量 数量 =总产量单产量 =总产量 数量数量 =总产量 单产量 3、在倍数关系上 1倍数 倍数 =几倍数 1倍数 =几倍数 倍数倍数 =几倍数 1倍数 4.在行程问题上 速度 时间 =路程速度 =路程 时间时间 =路程 速度 5.在工程问题上 工作效率 工作时间 =工作总量工作时间 =工作总量 工作效率 20 / 32 工作效率 =工作总量 工作时间 6.在平分关系上 平均数 =总数 份数总数 =平均数 份数份数 =总数 平均数 7. 单量 数量 =总量单量 =总量 数量数量 =总量 单量 8、分率知识 (1)、求一个数的几分之几是多少（用乘法） 即： (2)、求一个数是另一个数的几分之几（用除法） 即： （ 3）、已知一个数的几分之几是多少，求这个数（用除法） 即： 9.在相差问题上 较大数 较小数 =相差数较大数 =较小数相差数较小数 =较大数相差数 10、和差问题 知道两个数的和与差，求两数，计算公式如下： 大数 =（和 +差） 2 小数 =（和 -差） 2 11、行船 问题 21 / 32 船速船在静水中航行的速度。水速水流动的速度。 顺水速度船顺流航行的速度。逆水速度船逆流航行的速度。 顺水速度 =船速水速逆水速度船速水速 船行速度 =（顺水速度逆水速度） 2 水流速度 =（顺水速度逆水速度） 2 路程 =顺水速度 顺水航行所需的时间路程 =逆水速度 逆水航行所需的时间 图形的认识和计算（三） （一）周长 图形字母公式 长方形的周长 =（长 +宽） 2c 2(a+b) 正方形的周长 =边长 4c 4a 长方体的棱长总和 =（长 +宽 +高） 4c=(a+b+h)4 正方体的 棱长总和 =棱长 12c=a12 圆的周长 =圆周率 直径 =圆周率 半径 2c d 2r 半圆周长包括与它半径相等的整圆周长的一半和一条直径的长度 c 半 =d2+d 或 c 半 =2r2+2r 扇形周长包括与它半径相等的整圆周长的和 2 条半径的长度 c 扇 =2r+2r （二）面积 图形字母公式 22 / 32 长方形的面积 =长 宽 S ab 正方形的面积 =边长 边长 S a2 三角形的面积 =底 高 2 S ah 平行四边形的面积 =底 高 S ah 梯形的面积 =（上底 +下底） 高 2S (a+b)h 圆的面积 =圆周率 半径 半径 S r2 ()2 (c2)2 圆环面积 =外圆面积内圆面积 S R 外 2 R 内 2 （ R 外 2 R 内 2） 图形字母公式 扇形面积是与它半径相等的整圆面积的 S=r2 半圆面积是与它半径相等的整圆面积的 S=r2 长方体的表面积 =（长 宽 +长 高宽 高） 2S 2(ab+ac+bc) 长方体的表面积 =长 宽 2 长 高 2+ 宽 高 2S 2ab+2ac+2bc 正方体的表面积 =棱长 棱长 6S 6a2 圆柱的 侧面积 =底面圆的周长 高 S 侧 chS底 r2 圆柱的表面积 =上下底面面积 +侧面积 S 表 ch+2S 底 23 / 32 （三）体积 图形字母公式 长方体的体积 =长 宽 高 V=abh 正方体的体积 =棱长 棱长 棱长 v=a3 长方体（正方体、圆柱体）的体积 =底面积 高 v=sh 圆柱的体积 =底面积 高 V S 底 h r2h 圆锥的体积 =底面积 高 3V r2h3 空心圆柱（钢管）的体积 =外圆柱体积内圆柱体积 Vh(R2 -r2) 数的认识（四） （一）因数、倍数的意义 1、因数和倍数的关系 两个非零自然数相乘，两个因数都是积的因数，而积是两个因数的倍数。 如： 49=36 我们就说 4 和 9 都是 36 的因数， 36 是 4 和 9的倍数。 在整除的算式中：商和除数都是被除数的因数，被除数是商和除数的倍数。 如： 62=3 ，我们就说 2 和 3 都是 6 的因数， 6 是 2 和 3 的倍数 24 / 32 2、 0 的特殊性 在自然数中， 0 乘任何一个数都得 0，所以 0 是任何一个非零自然数的倍数，任何非零自然数都是 0 的因数。在研究因数和倍数时，我们所说的数，一般是指不包括 0 的自然数，也就是说在非零自然数的范围内探索因数和倍数。 3、特征一个 数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身 一个数的倍数的个数是无限的。其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 一个非 0 的自然数，既是它本身的倍数，又是它本身的因数。 1是所有非零自然数的因数，所有非零自然数都是 1的倍数。 （二） 2、 3、 5 的倍数特征 1、 2 的倍数特征：个位上是 0， 2， 4， 6， 8 的数，都是 2的倍数。 如： 3648 因为 36 的个位是 6 所以 36 是 2 的倍数因为 48 的个位是 8所以 48是 2 的倍数 2、 5 的倍数特征：个位上是 0 或 5 的数，都是 5 的倍数。 如： 135 因为 135的个位是 5，所以 135是 5 的倍数 3、 3 的倍数特征：一个数，如果各个数位上的数字的和是 3的倍数，这个数就是 3 的倍数 25 / 32 如 102 因为 1+0+2=333=1 所以 102是 3 的倍数 （三）既是 2 的倍数，又是 5 的倍数特征是：个位上是 0 的数，既是 2 的倍数，又是 5 的倍数。 （四） 4、 25的倍数特征 4 的倍数特征：一个数的末两位数是 4 的倍数，这个数就是 4 的倍数。 如： 1420 因为 204=5 所以 1420是 4 的倍数 25 的倍数特征：一个数的末两位数是 25的倍数，这个数就是 25的倍数。 如： 1425 因为 2525=1 所以 1425是 25的倍数 （五） 9 的倍数特征 :一个数，如果各个数位上的数字之和是 9 的倍数，这个数就是 9 的倍数。如： 296100，因为 2 9 6 1 0 0=18， 18是 9 的倍数，所以 296100就是 9 的倍数。验证： 2961009=32900 。 （六）偶数和奇数自然数按能否被 2 整除可分为：偶数和奇数 （ 1）偶数：能被 2 整除的数，叫做偶数。如 0， 2， 4， 6，8， 10 都是偶数。 （ 2）奇数：不能被 2 整除的数，叫做奇数。如 1， 3， 5， 7，26 / 32 9 都是奇数。 （七）质 数和合数非零自然数按因数个数的多少可分为： 1、质数和合数 （ 1） 1： 1 既不是质数，也不是合数。 （ 2）质数：一个数，如果只有 1 和它本身两个因数，这样的数叫做质数。例如： 2， 3， 5， 7 （ 3）合数：一个数，如果除了 1 和它本身两个因数以外还有别的因数，这样的数叫做合数。例如： 4， 6， 9 （八）最小的偶数是 0，最小的奇数是 1，没有最大的偶数、奇数。 最小的质数是 2，最小的合数是 4，没有最大的质数、合数。 除了 0 和 2 以外，所有的偶数都是合数， 2 是唯一的偶质数。 100以内的质数有 25个： 2、 3、 5、 7、 11、 13、 17、 19、 23、 29、 31、 37、 41、 43、47、 53、 59、 61、 67、 71、 73、 79、 83、 89、 97。 （九）质因数、分解质因数 1、质因数每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数叫做这个合数的质因数。 如 6=23 （ 2 和 3 是 6 的质因数） 28=227 （ 2和 7 是 28的质因数） 30=235 （ 2、 3、 5 是 30的质因数） 2：分解质因数： 27 / 32 把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 3：通常采用短除法分解质因数：分解质因数时先书写短除符号 “” ，再把要分解的合数写在短除符号里。然后用能整除这个合数的质数去除，通常从最小的质数开始试除。如果商是合数，继续往下除，直到除得的商是质数为止，然后把各除数和最后的商写成连乘的形式。 如把 42分解质因数 解答： （十）公因数、公倍数、最大公因数、最小公倍数 1、公因数和最大公因数的意义 （ 1）几个数公有的因数叫做这几个数的公因数。 如 12和 18的公因数有： 1， 2， 3， 6。 （ 2）几个数的公因数中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。 如 12和 18的最大公因数是 6。 （ 3）只有公因数 1 的 两个数叫做互质数。 如 5 和 7 是互质数 7 和 9 是互质数 8 和 9 是互质数 2：求两个数的最大公因数的方法 用短除法求两个数的最大公因数，一般先用这两个数公有的质数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来。 如：求 18 和 30的最大公因数 28 / 32 18和 30的最大公因数是 23=6 注意：用短除法求两个数的最大公因数时不要把商乘进去，因为商表示每个数独有的因数。 3：公倍数和最小公倍数的意义 （ 1）几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数。 如 90， 180， 270 都是 12和 18的公倍数。 （ 2）几个数的公倍数中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。 如 12和 18的最小公倍数是 90。 （ 3）几个数的公倍数的个数是无限的，没有最大的公倍数。 求两个数的最小公倍数常用的方法有两种： 如求 18和 30的最小公倍数 方法一：分解质因数法 18=3 30=5 18和 30的公因数 18独有的因数 30独有的因数 18和 30的最小公倍数是： 2335=90 。 方法二：短除法 用短除法求两个数的最小公倍数，先用这两个数公有的质因数连续去除（一般从 最小的开始），一直除到所得的商是互29 / 32 质数为止，然后把所有的除数和最后的商连乘起来。 如求 18和 30的最小公倍数 18和 30的最小公倍数是： 2335=90 4、特殊情况下求两个数的最大公因数和最小公倍数 两个数是倍数关系时，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数；如 6 和 12 的最大公因数是 66 和 12 的最小公倍数是 12 两个数是互质数时，最大公因数是 1，最小公倍数是这两个数的积。如 5 和 7 的最大公因数是 15 和