2019届高三数学3月“二诊”模拟考试试题 理(含解析).doc

2019届高三数学3月“二诊”模拟考试试题 理(含解析)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设集合，则的子集的个数是：（ ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】A【解析】因为单调递增，且图象恒过点，且点在椭圆的内部，所以曲线与椭圆有两个公共点，即的子集的个数是4.故选A.2. 已知为单位向量，且与垂直，则的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】设的夹角为，因为与垂直，所以，即，即，即，又因为，所以.故选C.3. 若等差数列满足，则的前xx项之和（ ）A. 1506 B. 1508 C. 1510 D. 1512【答案】D【解析】由题意，得，即，则等差数列的前xx项和.故选D.【点睛】本题考查等差数列的性质和前项和公式的应用.在处理等差数列的有关运算时，利用一些性质（如：等差数列中，若，则）进行处理，可减少运算量，提高解题速度.4. 给出下列四个命题：“若为的极值点，则”的逆命题为真命题；“平面向量,的夹角是钝角”的充分不必要条件是若命题，则；命题“，使得”的否定是：“均有”.其中不正确的个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】对于命题，由于使得，但不是函数的极值点，故命题不正确；对于命题，由于取，虽有，但成平角，故不充分，则命题不正确；对于命题，由于，则其否定显然不正确，故命题也不正确；故应选答案C。5. 如图，已知平行四边形中，为线段的中点，则（ ）A. B. 2 C. D. 1【答案】D【解析】由题意，得，设，以所在直线为轴， 所在直线为轴建立平面直角坐标系，则,，则.故选D.【点睛】本题考查平面向量的线性运算和数量积运算.解决本题的技巧是合理利用和等腰直角三角形建立平面直角坐标系，大大减少了平面向量的线性运算，巧妙地避开了干扰信息.6. 设，则对任意实数a、b，若a+b0则（）A. f（a）+f（b）0 B. f（a）+f（b）0C. f（a）f（b）0 D. f（a）f（b）0【答案】B【解析】易知函数为奇函数，且在上单调递增，因为，所以，则，即.故选B.【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的综合运用.解决本题的关键在于联想到要判定函数的单调性和奇偶性，进而利用性质进行比较大小，这是一种常见题型，要多总结，多积累.7. 定义矩阵，若，则 （ ）A. 图象关于中心对称 B. 图象关于直线对称C. 在区间上单调递增 D. 周期为的奇函数【答案】C【解析】当时，故函数在区间上的最大值为1.故选C.8. 如图所示的流程图,若输出的结果是9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数为（ ）A. 17 B. 16 C. 15 D. 14【答案】B【解析】由程序框图，得，即判断框中的横线上可以填入的最大整数为16.故选B.9. 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按31天算，记该女子一个月中的第天所织布的尺数为，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意女子每天织布数成等差数列，且，由于，且。所以，应选答案B。10. 已知函数，若，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由，知为上的偶函数，且当时，,为增函数，故等价于不等式，解得的取值范围为，故选A点睛：对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(x)f(x)f(|x|)11. 已知，则曲线为椭圆的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意，得共有种不同情况，其中可以满足“曲线为椭圆”的有三种情况，由古典概型的概率公式，得所求概率为.故选D.12. 已知定义在上的函数与其导函数满足，若，则点所在区域的面积为（ ）A. 12 B. 6 C. 18 D. 9【答案】A【解析】由题意设，则，故原不等式可化为，即。由于，故当时，函数单调递减，此时不等式可化为，即；故当时，函数单调递增，此时不等式可化为，即。画出不等式组表示的区域如图，结合图形可算得该不等式组表示的区域的面积为，应选答案A。点睛：本题的难度非常大，主要有这样几个难点较难突破，其一是怎样依据题设条件构造函数；其二是构造什么样的函数；第三是如何表示不等式组代表的区域。求解时先从题设中的条件入手构造出函数，再借助已知与导数工具判定其单调性，然后将原不等式进行等价转化为不等式组，最后再画出不等式组表示的区域求出其面积使得问题获解。二、填空题：本题共4题，每小题5分，共20分13. 已知抛物线的准线方程为，则实数a的值为_.【答案】【解析】将化为，由题意，得，即.14. 设函数，是由轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域，则在上的最小值为_.【答案】【解析】当时，,则 所以曲线 及该曲线在点 处的切线为 , 区域可作图如下则根据线性规划的目标点的选取 ，将其转化为可行域内取一点与定点之间距离的平方与2的差的最小值，有可行域可知，定点到直线的距离为，所以可行域内取一点与定点之间距离的平方与2的差的最小值.15. 在区间上随机地取两个数，则事件“”发生的概率为_【答案】【解析】由题意画出事件“ ”所表示的图象,如图阴影部分,阴影部分的面积为 ,由几何概型概率公式有事件“ ”的概率为 .16. 已知数列与满足，若的前项和为且对一切恒成立，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】依题设，当时，；当时，又当时， . .等价于，即，对一切恒成立，令，则，当时，当时，当或时，取得最大值， ， .三、解答题:（本题包括6小题，共70分。要求写出证明过程或演算步骤）17. 在ABC中，A，B，C的对边分别为a、b、c，ABC的面积为（1）求c的值；（2）求cos（BC）的值【答案】（1）7；（2）【解析】试题分析：（1）先利用三角形的面积公式求出，再由余弦定理进行求解；（2）先由余弦定理求出，再由同角三角函数基本关系式或正弦定理求出，再利用两角差的余弦公式进行求解.试题解析：（1），ABC的面积为=absinC=sin，解得：a=5，由余弦定理可得：c=7 （2）由（1）可得：cosB=，又B（0，），可得：sinB=，cos（BC）=cosBcos+sinBsin=+=18. 时下，租车已经成为新一代的流行词，租车自驾游也慢慢流行起来，某小车租车点的收费标准是，不超过2天按照300元计算；超过两天的部分每天收费标准为100元（不足1天的部分按1天计算）有甲乙两人相互独立来该租车点租车自驾游（各租一车一次），设甲、乙不超过2天还车的概率分别为；2天以上且不超过3天还车的概率分别；两人租车时间都不会超过4天（1）求甲所付租车费用大于乙所付租车费用的概率；（2）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望【答案】（1）；（2）分布列见解析，【解析】试题分析：（1）由甲所付租车费用大于乙所付租车费用知可分为乙租车2天与乙租车3天两种情况，由此能求出所求概率；（2）首先求得的所有可能取值，然后分别求出相应的概率，由此能求出的分布列与数学期望试题解析：（1）因为甲所付租车费用大于乙所付租车费用，当乙租车2天内时，则甲租车3或4天，其概率为；当乙租车3天时，则甲租车4天，其概率为；则甲所付租车费用大于乙所付租车费用的概率为5分（2）设甲，乙两个所付的费用之和为可为600，700，800，900，1000，6分 8分故的分布列为600700800900100010分故的期望为12分考点：1、概率；2、离散型随机变量的分布列与期望19. 如图1，在矩形ABCD中，点分别在边上，且，交于点现将沿折起，使得平面平面，得到图2（1）在图2中，求证：；（2）若点是线段上的一动点，问点在什么位置时，二面角的余弦值为【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：(1)先证明 ,再证明,证明平面,从而可得 ;(2)建立直角坐标系,设,求出平面、平面的一个法向量,利用向量的夹角公式,结合二面角的余弦值为,即可得出结论.试题解析：（）在矩形中，,， 即.在图2中，. 又平面平面，平面平面，平面， ，依题意，且，四边形为平行四边形., ， 又，平面， 又平面， .（）如图1，在中，.如图，以点为原点建立平面直角坐标系，则，平面，为平面的法向量.设，则，设为平面的法向量，则即，可取，依题意，有，整理得，即，当点在线段的四等分点且时，满足题意20. 椭圆：的离心率为，过其右焦点与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限相交于点，（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆的左顶点为，右顶点为，点是椭圆上的动点，且点与点，不重合，直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，求证：以线段为直径的圆恒过定点【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：(1)由题意可得，则椭圆C的标准方程为. (2)由题意可得，结合题意可得圆的方程为，则以线段ST为直径的圆恒过定点. 试题解析：（1）解：，又，联立解得：，所以椭圆C的标准方程为. （2）证明：设直线AP的斜率为k，则直线AP的方程为，联立得. ，整理得：，故，又，(分别为直线PA，PB的斜率)，所以，所以直线PB的方程为：，联立得，所以以ST为直径的圆的方程为：，令，解得：，所以以线段ST为直径的圆恒过定点. 21. 已知函数（1）若在处取极值，求在点处的切线方程；（2）当时，若有唯一的零点，求注表示不超过的最大整数，如参考数据：【答案】（1）；（2）2【解析】试题分析：（1）求导，利用对应导函数为0求出值，再利用导数的几何意义进行求解；（2）求导，讨论导函数的符号变化确定函数的单调性和极值，通过极值的符号确定零点的位置，再利用零点存在定理进行求解.试题解析：（1）因为，所以，解得，则，即在点处的切线方程为，即；（2）， 令，则由，可得在上单调递减，在上单调递增由于，故时，又，故在上有唯一零点，设为，从而可知在上单调递减，在上单调递增由于有唯一零点，故且 又.令，可知在上单调递增由于，故方程的唯一零点，故22. 已知直线l的参数方程为（为参数）以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为(1)写出直线l经过的定点的直角坐标，并求曲线的普通方程；(2)若，求直线的极坐标方程，以及直线l与曲线的交点的极坐标【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：由题意可知当时直线经过定点，设，即可求出曲线的普通方程；将代入直线的参数方程，可求出直线的普通方程，将代入即可求得直线的极坐标方程，然后联立曲线：，即可求出直线与曲线的交点的极坐标解析：（1）直线经过定点，由得，得曲线的普通方程为，化简得；（2）若，得的普通方程