2019届山东省济南市高三上学期期末考试数学(理)试卷(word版).doc

2019届山东省济南市高三上学期期末考试理科数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则( )A. B. C. D. 【答案】B2.已知复数满足（其中为虚数单位），则( )A. B. C. D. 【答案】A3.已知命题关于的不等式的解集为；命题函数有极值.下列命题为真命题的是( )A. B. C. D. 【答案】C4.如图，在中，三角形内的空白部分由三个半径均为1的扇形构成，向内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为( )A. B. C. D. 【答案】B5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. 5 B. C. 6 D. 8【答案】C6.若将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，则下列说法正确的是( )A. 的最小正周期为 B. 在区间上单调递减C. 图像的一条对称轴为 D. 图像的一个对称中心为【答案】D7.函数的图象大致为( )A. B. C. D. 【答案】D8.古希腊数学家阿波罗尼奥斯在他的著作圆锥曲线论中记载了用平面切割圆锥得到圆锥曲线的方法.如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置（两圆锥的轴重合），已知两个圆锥的底面半径为1，母线长均为2，记过圆锥轴的平面为平面（与两个圆锥面的交线为，），用平行于的平面截圆锥，该平面与两个圆锥侧面的截线即为双曲线的一部分，且双曲线的两条渐近线分别平行于，则双曲线的离心率为( )A. B. C. D. 2【答案】A9.已知，且，则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】A10.执行如图所示的程序框图，若输入的，依次为，其中，则输出的为( )A. B. C. D. 【答案】C11.过抛物线的焦点作直线，交抛物线于点，交抛物线的准线于点，若，则直线的斜率为( )A. B. C. D. 【答案】C12.已知函数，若对任意，不等式恒成立，其中，则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.的展开式中常数项为_（用数字作答）【答案】14.若实数，满足约束条件则的最大值为_【答案】415.我国物权法规定：建造建筑物，不得妨碍相邻建筑物的通风和采光.已知某小区的住宅楼的底部均在同一水面上，且楼高均为45米，依据规定，该小区内住宅楼楼间距应不小于52米.若该小区内某居民在距离楼底27米高处的某阳台观测点，测得该小区内正对面住宅楼楼顶的仰角与楼底的俯角之和为，则该小区的住宅楼楼间距实际为_ 米【答案】5416.已知球的半径为3，该球的内接正三棱锥的体积最大值为，内接正四棱锥的体积最大值为，则的值为_【答案】三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分17.已知数列是递增的等差数列，满足，是和的等比中项.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用等差通项公式与等比中项列基本量的方程组，即可得到数列的通项公式；（2），利用裂项相消法求和即可.【详解】（1）设数列的公差为，由得，由题意知，所以，解得或，因为为递增数列，所以，又因为，所以，所以.（2） ，所以.【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18.如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为的中点，交于点，为的重心.（1）求证：平面；（2）若，点在线段上，且，求二面角的余弦值.【答案】（1）详见解析（2）【解析】【分析】(1)根据题意先证明 ，结合线面平行的判定定理即可得到结果；(2) 分别以，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.求出平面与平面的法向量，代入公式即可得到二面角的余弦值.【详解】（1）证明：因为，所以，因为为中点，所以，连接并延长，交于，连接，因为为的重心，所以为的中点，且，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）分别以，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.设，则，因为，所以，因为为的重心，所以设平面的法向量，则，所以，取，则，所以.设平面的法向量，则，所以，则，取，则，所以.所以由图可知，该二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19.某企业生产了一种新产品，在推广期邀请了100位客户试用该产品，每人一台.试用一个月之后进行回访，由客户先对产品性能作出“满意”或“不满意”的评价，再让客户决定是否购买该试用产品（不购买则可以免费退货，购买则仅需付成本价）.经统计，决定退货的客户人数是总人数的一半，“对性能满意”的客户比“对性能不满意”的客户多10人，“对性能不满意”的客户中恰有选择了退货.（1）请完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为“客户购买产品与对产品性能满意之间有关”.对性能满意对性能不满意合计购买产品不购买产品合计（2）企业为了改进产品性能，现从“对性能不满意”的客户中按是否购买产品进行分层抽样，随机抽取6位客户进行座谈.座谈后安排了抽奖环节，共有6张奖券，其中一张印有900元字样，两张印有600元字样，三张印有300元字样，抽到奖券可获得相应奖金.6位客户每人随机抽取一张奖券（不放回），设6位客户中购买产品的客户人均所得奖金为元，求的分布列和数学期望.附：，其中0.1500.1000.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】【分析】（1）完成22列联表，求出K2，从而有的把握认为“客户购买产品与对产品性能满意之间有关”；（2）由题意知：参加座谈的购买产品的人数为2，退货的人数为4.的取值为：300,450,600,750，求出相应的概率值，由此能求出X的分布列和数学期望【详解】（1）设“对性能不满意”的客户中购买产品的人数为，则退货的人数为，由此可列出下表对性能满意对性能不满意合计购买产品50不购买产品50合计100因为，所以；填写列联表如下：对性能满意对性能不满意合计购买产品351550不购买产品203050合计5545100所以 .所以，有的把握认为“客户购买产品与对产品性能满意之间有关”.（2）由题意知：参加座谈的购买产品的人数为2，退货的人数为4.的取值为：300,450,600,750，所以的分布列为300450600750 .所以，购买产品的客户人均所得奖金的数学期望为500元.【点睛】本题考查独立检验的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题20.已知椭圆过点，左焦点为.（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆相交于，两点，线段的中点为，点在椭圆上，满足（为坐标原点）.判断的面积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）（2）为定值【解析】【分析】（1）由c，a2b2+c2b2+1，将点代入椭圆方程，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（2）把直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式求得|AB|及d，则=，即可求得定值.【详解】（1）因为左焦点为，所以因为过点，所以，解之得，所以，椭圆方程为.（2）设，则因为，所以联立方程得，所以，所以由点在椭圆上，故，可得，此时满足成立， ，又点到直线的距离为，所以= ，所以的面积为定值.【点睛】（1）圆锥曲线中的定点、定值问题是高考中的常考题型，难度一般较大，常常把直线、圆及圆锥曲线等知识结合在一起，注重数学思想方法的考查，尤其是函数思想、数形结合思想、分类讨论思想的考查（2）求定值问题常见的方法从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值21.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围.【答案】（1）详见解析（2）【解析】【分析】（1）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f（x）单调性；（2）对a分类讨论，结合（1）中的单调性，研究函数的图象的变化趋势从而得到的取值范围.【详解】（1），（）若，当时，为减函数；当时，为增函数；当时，令，则，；（）若，恒成立，在上为增函数；（）若，当时，为增函数；当时，为减函数；当时，为增函数；（）若，当时，为增函数；当时，为减函数；当，为增函数；综上所述：当，在上为减函数，在上为增函数；当时，在上为增函数；当时，在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数；当时，在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数.（2）（）当时，令，此时1个零点，不合题意；（）当时，由（1）可知，在上为减函数，在上为增函数，因为有两个零点，必有，即，注意到 ，所以，当时，有1个零点；当时， 取，则，所以，当时，有1个零点；所以，当时，有2个零点，符合题意；（）当时，在上为增函数，不可能有两个零点，不合题意；（）当时，在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数； 因为，所以，此时，最多有1个零点，不合题意；（）当时，在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数；因为，此时，最多有1个零点，不合题意；综上所述，若有两个零点，则的取值范围是.【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数），其中，直线与曲线相交于，两点.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若点满足，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用，把极坐标方程化为直角坐标方程；（2）将直线的参数方程（为参数）代入，得：，利用韦达定理表示条件，解方程即可得到结果.【详解】（1）由题意，曲线的极坐标方程可化为：，由得曲线的直角坐标方程为：.（2）将直线的参数方程（为参数）代入，得：，设，对应的参数分别为，则，所以 ，解得或（舍），所以.【点睛】利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题经过点P(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为 (t为参数)若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为，则以下结论在解题中经常用到：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 23.已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若对任意的恒成立，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）当a2时，分类讨论求得不等式的解集；（2）对任意的