常微分方程-8-2(齐次、一阶线性).ppt

中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组,第8章常微分方程,高等数学A,8.2一阶微分方程8.2.2齐次方程8.2.3一阶线性微分方程,8.2一阶微分方程8.2.2齐次方程8.2.3一阶线性微分方程,可化为齐次方程的方程,齐次方程,基本形式和求解方法,例题,基本形式和解法,例题,一阶线性微分方程题解,基本形式,例题,习题,一阶齐次线性方程的解法,一阶非齐次线性方程的解法,8.2.1可分离变量的方程（复习上次课的相关内容）,一阶微分方程,8.2.2齐次方程,8.2.3一阶线性微分方程,习题,由光的反射定律:,可得OMA=OAM=,模型1探照灯的聚光镜面是一张旋转曲面,它的形状由,解:将光源所在点取作坐标原点,并设,入射角=反射角,能的要求,在其旋转轴(x轴)上一点O处发出的一切光线，,xOy坐标面上的一条曲线L绕x轴旋转而成,按聚光性,经它反射后都与旋转轴平行.,求曲线L的方程.,于是方程化为,(齐次方程),从而AO=OM,而AO,于是得微分方程:,积分得,故有,得,(抛物线),故反射镜面为旋转抛物面.,齐次方程的定义和解法,的微分方程称为齐次方程.,2.解法,作变量代换,代入原式,可分离变量的方程,1.定义,齐次方程的定义和解法,例1求解微分方程,例2解微分方程,例3求解微分方程,例,例,例,例1求解微分方程,微分方程的解为,解,例题,例2.解微分方程,解:,则有,分离变量,积分得,代回原变量得通解,即,说明:显然x=0,y=0,y=x也是原方程的解,但在,(C为任意常数),求解过程中丢失了.,例3求解微分方程,解,例题,微分方程的解为,例题,于是，原方程化为,两边积分，得,即,例4,解：,例,原方程可化为,代入原方程得,解：,即,所以通解为,例6,原方程可化为,代入上述方程得,解,即,分离变量并积分得,可化为齐次的方程,（其中h和k是待定的常数）,2.解法,定义,有唯一一组解.,得通解代回,未必有解,上述方法不能用.,可化为齐次的方程,可分离变量的微分方程.,可分离变量的微分方程.,可分离变量.,可化为齐次的方程,例,例,解,代入原方程得,分离变量法得,得原方程的通解,方程变为,例,解,分离变量并积分得,于是，原方程变为,联立方程组,解之，得,例,解,两边积分，得,即,在闭合回路中,所有支路上的电压降为0,模型2.有一电路如图所示,电阻R和电,解:列方程.,已知经过电阻R的电压降为Ri,经过L的电压降为,由回路电压定律:,其中电源,求电流,感L都是常量,如何解方程？,因此有,即,初始条件:,一阶线性微分方程的标准形式:,上方程称为齐次的.,上方程称为非齐次的.,一阶线性微分方程的标准形式,例如,线性的;,非线性的.,齐次方程的通解为,1.线性齐次方程,一阶线性齐次微分方程的解法,(使用分离变量法),2.线性非齐次方程,讨论,两边积分,非齐次方程通解形式,与齐次方程通解相比:,一阶线性非齐次微分方程的解法,常数变易法,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.,实质:未知函数的变量代换.,作变换,一阶线性非齐次微分方程的解法,积分得,一阶线性非齐次微分方程的通解为:,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,一阶线性非齐次微分方程的解法,解方程:,由初始条件:,得,利用一阶线性方程解的公式可得,因此所求电流函数为,解的意义:,例10,例13用适当的变量代换解下列微分方程:,例11,例12,一阶线性微分方程的例题,解,例10,例11.解方程,解:先解,即,积分得,即,用常数变易法求特解.,则,代入非齐次方程得,解得,故原方程通解为,令,一阶线性微分方程的例题,例12,原方程可以改写为,这是一个以x为自变量的非线性方程.,把x看着y的函数，该方程进一步变形为,这是一个以x为函数y为自变量的一阶线性方程.,解,整理得原方程的通解,解,分离变量法得,所求通解为,例13用适当的变量代换解下列微分方程:,解,代入原式,分离变量法得,所求通解为,另解,例14.设河边点O的正对岸为点A,河宽OA=h,一鸭子从点A游向点,为平行直线,且鸭子游动方向始终朝着点O,提示:如图所示建立坐标系.,设时刻t鸭子位于点P(x,y),设鸭子(