材料力学弯曲内力.ppt

第四章弯曲内力,41平面弯曲的概念,42梁的剪力和弯矩,43剪力图和弯矩图,44剪力、弯矩与荷载集度间的关系,45按叠加原理作弯矩图,41平面弯曲的概念,一、弯曲的概念,1.弯曲:杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时,轴线变成了曲线，这种变形称为弯曲。,2.梁：以弯曲变形为主的构件通常称为梁。,3.工程实例,二、平面弯曲,杆件具有纵向对称面，荷载作用在纵向对称面内，梁弯曲后轴线弯成一条平面曲线，称为平面弯曲。在后几章中，将主要研究平面弯曲的内力，应力及变形等。,三、简单静定梁,悬臂梁,简支梁,外伸梁,火车轮轴简化,梁的载荷与支座,车削工件,吊车大梁简化,受均布载荷,42梁的剪力和弯矩,F,A,B,a,l,F,A,B,FAx,FAy,FB,荷载和支座反力皆属外力，下面研究横截面的内力。,P,A,B,a,l,将梁从位置截开，取左侧。,x,A,FAy,Fs,M,x,因内力必须与外力平衡，故内力简化结果为一力和一力偶。该力与截面平行，称为截面的剪力，用Fs表示之；该力偶的力偶矩称为截面的弯矩，用M表示之。,剪力正负的规定：使微段有顺时针转动趋势的剪力为正，反之为负；,弯矩正负的规定：使微段下面受拉、上面受压变形的弯矩为正，反之为负。,Fs,Fs,Fs,Fs,M,M,M,M,剪力正负的规定,弯矩正负的规定,内力通过平衡方程计算。,A,FAy,Fs,M,x,计算梁内力的步骤：,取整体，求支座反力（悬臂梁此步可省）；,将梁在要求内力的部位截开，选简单一側作研究对象；,画受力图，截面的剪力、弯矩一定要按正的规定画；,列平衡方程Fx=0，求剪力FS；m=0，求弯矩。,例1求图示梁1、2、3、4截面的内力。,A,B,C,D,2m,2m,2m,F=12kN,q=2kN/m,1,1,2,2,3,3,4,4,解：取整体，,FA,FB,11截面,FA,1,1,Fs1,M1,A,由11截面的内力计算可得结论：杆端无力偶作用，紧挨杆端截面的弯矩M=0。,C,P=12kN,22截面,FA,2,2,Fs2,M2,A,FA,3,3,Fs3,M3,A,33截面,D,2,2,3,3,P,Fs3,M3,Fs2,M2,由2、3截面的内力计算可得如下结论：,集中力（包括支座反力）两侧截面的的弯矩相等；,集中力（包括支座反力）两侧截面的的剪力不等，左右截面剪力之差等于集中力（集中力以向下为正）。,C,4,4,M4,Fs4,44截面,由44截面的内力计算可得如下结论：,自由端无集中力作用，端截面剪力等于零：F=0；,自由端无集中力偶作用，端截面弯矩等于零：M=0。,例2求图示梁1、2、3截面的内力。,解：取整体，,11截面,FA,1,1,Fs1,A,M1,m1,FA,2,2,Fs2,M2,A,3,3,Fs3,M3,B,m1,22截面,33截面,FB,由2、3截面的内力计算可得如下结论：,集中力偶两侧截面的的剪力相等；,集中力偶两侧截面的的弯矩不等，左右截面弯矩之差等于集中力偶矩（集中力偶矩以逆时针转为正）。,C,2,2,3,3,Fs3,M3,FS2,M2,m2,例3求图示梁1、2、3截面的内力。,解：取整体,11截面,FA,1,1,Fs1,M1,A,B,FA,2,2,Fs2,M2,A,m,22截面,3,3,Fs3,M3,FB,q,33截面,B,43剪力图和弯矩图,q,x,q,l-x,l,Fs(x),M(x),图示梁任一截面的内力。,截面剪力是截面坐标的函数，称为剪力方程。,截面弯矩也是截面坐标的函数，称为弯矩方程。,q,x,l,剪力方程的函数图象称为剪力图。正的剪力画在基线上侧，负的画在下侧。,剪力图,ql,x,Fs,弯矩方程的函数图象称为弯矩图。,-ql2/2,弯矩图,悬臂梁受均布载荷作用。,试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。,解：任选一截面x，写出剪力和弯矩方程,依方程画出剪力图和弯矩图,由剪力图、弯矩图可见。最大剪力和弯矩分别为,4,例题5,图示简支梁C点受集中力作用。,试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。,解：1确定约束力,FAyFb/lFByFa/l,2写出剪力和弯矩方程,AC,CB,3.依方程画出剪力图和弯矩图。,例题6,图示简支梁C点受集中力偶作用。,试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。,解：1确定约束力,FAyM/lFBy-M/l,2写出剪力和弯矩方程,AC,3.依方程画出剪力图和弯矩图。,例题7,简支梁受均布载荷作用,试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。,解：1确定约束力,FAyFByql/2,2写出剪力和弯矩方程,3.依方程画出剪力图和弯矩图。,例题8,44剪力、弯矩与荷载集度间的关系,A,B,dx,x,q(x),M(x)+dM(x),Fs(x)+dFs(x),Fs(x),M(x),dx,o,取微段dx，受力如图。,A,B,dx,x,略去高阶微量得：,当q=0，Fs=常数，Fs图为平直线；,M为一次函数，M图为斜直线；,当q=常数，Fs为一次函数，Fs图为斜直线；,M为二次函数，M图为抛物线；,当M图为抛物线时，画M图需确定抛物线顶点的位置和顶点的弯矩值。,由：,可知弯矩抛物线顶点对应于剪力图等于零的位置。,1、在集中力作用处剪力发生突变，弯矩的斜率发生变化，成为一个转折点。2、在集中力偶处弯矩发生变化，变化的数值等于力偶矩数值。3、的绝对值可能发生在剪力等于0处，也可能发生在集中力作用处，还有集中力偶处。,根据M、Fs与q之间的关系，可不必列剪力方程和弯矩方程，即可画出剪力图和弯矩图。,另外：,根据M、Fs与q之间的关系画剪力图和弯矩图的步骤如下：,取整体，求支座反力（悬臂梁此步可省）；,将梁分段：凡是集中力、集中力偶作用点，分布荷载两端，支座处都应取作分段点；,用截面法求出每段梁两端截面的剪力和弯矩，由Fs=0确定弯矩抛物线顶点所对应的截面位置，并求出该截面的弯矩值；,用直线，均布荷载下弯矩图用抛物线将各截面剪力、弯矩连起来。并在图上标出正负号，各控制截面的剪力值和弯矩值，以及弯矩抛物线顶点所对应的截面位置。,例9画图示梁的剪力图和弯矩图。,解：取整体,Fs图,M图,Fs,M,1,2,3,4,=,=,0,0,B,A,C,2m,m=12kN.m,q=6kN/m,4,4,2,2,3,FA=6kN,FB=18kN,3,4m,1,1,Fs图,M图,Fs,M,1,2,3,4,5,=,=,0,0,FA,2,2,Fs2,M2,A,6,6,6,12,B,Fs图,M图,Fs,M,1,2,3,4,=,=,0,0,6,6,-18,12,FA,3,3,Fs3,M3,A,m,24,B,4,4,M4,Fs4,FB,6,A,C,2m,m=12kN.m,q=6kN/m,4,4,2,2,3,FA=6kN,FB=18kN,3,4m,1,1,Fs图,M图,Fs,M,1,2,3,4,5,=,=,0,0,6,6,-18,12,24,B,6,6kN,18kN,3m,5,5,5,5,Fs5,M5,FB,q,0,27,12kN.m,24kN.m,27kN.m,B,例10画图示梁的剪力图和弯矩图。,A,C,2m,F=6kN,q=3kN/m,6,6,2,2,3,FA,FB,3,2m,1,1,解：取整体,Fs图,M图,Fs,M,1,2,3,4,5,=,=,0,0,2m,B,4,4,5,5,D,6,=,=,=,A,C,2m,F=6kN,q=3kN/m,6,6,2,2,3,FA=5kN,FB=7kN,3,2m,1,1,Fs图,M图,Fs,M,1,2,3,4,5,=,=,0,0,2m,B,4,4,5,5,D,6,=,=,=,5,-7,5,FA,3,3,Fs3,M3,A,F,-1,-1,-1,10,10,5kN,1kN,7kN,10kN.m,A,C,2m,F=6kN,q=3kN/m,6,6,2,2,3,FA=5kN,FB=7kN,3,2m,1,1,Fs图,M图,Fs,M,1,2,3,4,5,=,=,0,0,2m,B,4,4,5,5,D,6,=,=,=,5,-7,5,RA,4,4,Fs4,M4,A,P,-1,-1,-1,10,10,5kN,1kN,7kN,10kN.m,8kN.m,8,8,例11画图示梁的内力图。,A,B,C,4m,2m,P=4kN,q=2kN/m,1,1,2,2,3,3,4,4,解：取整体，,FB,mA,Fs图,M图,Fs,M,1,2,3,4,=,=,0,0,8,4,4,A,B,C,4m,2m,P=4kN,q=2kN/m,1,1,2,2,3,3,4,4,FB=12kN,Fs图,M图,Fs,M,1,2,3,4,=,=,0,0,8,4,4,mA=8kN.m,P=4kN,2,2,FB,Fs2,M2,-8,-8,-8,4kN,8kN,8kN.m,8kN.m,C,B,例12画图示梁的内力图。,A,B,C,D,3m,4m,2m,F=3kN,q=1kN/m,1,1,2,2,3,3,6,6,解：取整体，,FA,FC,4,4,5,5,m=6kN.m,Fs图,M图,(kN),(kN.m),A,B,C,D,3m,4m,2m,P=3kN,q=1kN/m,1,1,2,2,3,3,6,6,FA=2.5kN,FC=6.5kN,4,4,5,5,m=6kN.m,Fs图,M图,(kN),(kN.m),2.5,3,3.5,A,B,C,D,3m,4m,2m,P=3kN,q=1kN/m,1,1,2,2,3,3,6,6,FA=2.5kN,FC=6.5kN,4,4,5,5,m=6kN.m,Fs图,M图,(kN),(kN.m),2.5,3,3.5,FA,3,3,Fs3,M3,A,m,q,9,4,A,B,C,D,3m,4m,2m,P=3kN,q=1kN/m,1,1,2,2,3,3,6,6,FA=2.5kN,FC=6.5kN,4,4,5,5,m=6kN.m,Fs图,M图,(kN),(kN.m),2.5,3,3.5,FA,2,2,Fs2,M7,A,q,9,4,2,2.5m,FA,7,7,Fs7,A,q,7,7,3.125,M2,二、按叠加原理作弯矩图,q,m,A,B,l,m,A,B,l,q,A,B,l,=,+,FA=m/l,FB=m/l,FA=ql/2,FB=ql/2,Fs图,M图,m/l,m,ql/2,ql/2,ql2/8,m/l+ql/2,m/l-ql/2,m,ql2/8,=,+,+,=,Mmax,P,m,A,B,l/2,m,A,B,A,B,=,+,FA=m/l,FB=m/l,RA=P/2,FB=P/2,Fs图,M图,m/l,m,P/2,P/2,Pl/4,m/l+P/2,m/l-P/2,m,Pl/4,=,+,+,=,l/2,l/2,l/2,l/2,l/2,P,应用叠加原理画弯矩图常用的两种情况：,l/2,l/2,A,B,MA,MB,P,l/2,l/2,A,B,MA,MB,q,Pl/4,MA,MB,MB,MA,ql2/8,M图(b),M图(a),AB段梁中间作用一集中力P，两端弯矩为MA、MB，该段梁的弯矩图如图（a）所示；,AB段梁作用于均布荷载，两端弯矩为MA、MB，该段梁的弯矩图如图（b）所示。,例13用叠加法画图示梁的弯矩图。,q=2kN/m,A,P=4kN,6m,2m,1,1,2,2,3,3,4,4,B,C,M图,解：将梁分为AB，BC两段。,8kN.m,9kN.m,不必求支座反力。,例14用叠加法画图示梁的弯矩图。,q=2kN/m,A,P=4kN,4m,2m,1,1,2,2,3,3,4,4,C,B,M图,2m,8kN.m,解：将梁分为AC，BC两段。,先求支座反力。,FA,FB,q=2kN/m,A,P=4kN,4m,2m,1,1,2,2,3,3,4,4,C,B,M图,16kN.m,4kN.m,2m,8kN.m,4kN.m,8kN.m,FA=6kN,FB=6kN,例15用叠加法画图示梁的弯矩图。,3kN,10kN,2kN/m,1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,A,B,C,D,2m,2m,2m,2m,M图,解：将梁分为AB、BC、CD三段。,不必求支座反力。,6kN.m,4kN.m,10kN.m,1kN