专题三、三角函数专题教师版.doc

专题三、三角函数及其向量专题三、三角函数及其向量 一、考试要求： （1）理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算 （2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三 角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；了解周期函数与最小正周期的意义 （3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公 式 （4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明 （5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余 弦函数和函数 y=Asin(x+)的简图，理解 A.、 的物理意义 （6）会由已知三角函数值求角，并会用符号 arcsinxarc-cosxarctanx 表示 （7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形 （8）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念 （9）掌握向量的加法和减法、实数与向量的积、平面向量的坐标运算 （10）理解两个向量共线的充要条、平面向量的坐标的概念 （11）掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、 角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件 （12）掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运 用掌握平移公式 二、热点分析 1.近几年高考对三角变换的考查要求有所降低，而对本章的内容的考查有逐步加强的趋势， 主要表现在对三角函数的图象与性质的考查上有所加强. 2.对本章内容以选择、填空、解答题形式进行考查，且难度不大，从近三年考查的内容看， 大致可分为四类问题（1）与三角函数单调性、周期、最值、对称性有关的问题；（2）与 三角函数图象有关的问题；（3）应用同角变换和诱导公式，求三角函数值及化简和等式证 明的问题；（4） 解斜三角形的问题。 3.基本的解题规律为：观察差异（或角，或函数，或运算） ，寻找联系（借助于熟知的公式、 方法或技巧） ，分析综合（由因导果或执果索因） ，实现转化.解题规律：在三角函数求值问 题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解；在最值问题和周期 问题中，解题思路是合理运用基本公式将表达式转化为由一个三角函数表达的形式求解； 在解斜三角形问题中，解题思路是合理运用正弦、余弦定理来解题。 4.在复习中，应立足基本公式，在解题时，注意在条件与结论之间建立联系，在变形过程 中不断寻找差异，讲究算理，才能立足基础，发展能力，适应高考.在本章内容中，高考试 题主要反映在以下三方面：其一是考查三角函数的性质及图象变换，尤其是三角函数的最 大值与最小值、周期、单调性。多数题型为选择题或填空题；其次是三角函数式的恒等变 形。如运用三角公式进行化简、求值解决简单的综合题等。除在填空题和选择题出现外， 解答题的中档题也经常出现这方面内容。 练习题练习题 一一. .选择题选择题 1、 （浙江理）若cos2sin5, 则tan=( ) （A） 2 1 （B）2 （C） 2 1 （D）2 解：由cos2sin5 可得：由cos52sin ， 又由 22 sincos1，可得： 2 sin（52sin）21 可得sin 5 52 ，cos52sin 5 5 ， 所以，tan cos sin 2。 2、 （2007 全国卷 1 理 1）是第四象限角， 5 tan 12 ，则sin（ ） A 1 5 B 1 5 C 5 13 D 5 13 解：由 5 tan 12 ，所以，有 1cossin 12 5 cos sin 22 ，是第四象限角， 解得：sin 5 13 3、(2008 天津文)设 5 sin 7 a ， 2 cos 7 b ， 2 tan 7 c ，则（ ） AabcBacbCbcaDbac 解： 2 sin 7 a ，因为 2 472 ，所以 22 0cossin1tan 777 2 ，选 D 4、2010 全国卷 2 文数） （3）已知 2 sin 3 ，则 = cos(2 ) （A） 5 3 （B） 1 9 （C） 1 9 （D） 5 3 【解析】B：本题考查了二倍角公式及诱导公式， SINA=2/3， 2 1 cos(2 )cos2(1 2sin) 9 5（2010 福建文数）2计算1 2sin22.5 的结果等于( ) A 1 2 B 2 2 C 3 3 D 3 2 【答案】B 【解析】原式= 2 cos45 = 2 ,故选 B 6、2010 全国卷 1 文数） (1)cos300 (A) 3 2 (B)- 1 2 (C) 1 2 (D) 3 2 【解析】 1 cos300cos 36060cos60 2 7（2010 全国卷 1 理数）(2)记cos( 80 )k ,那么tan100 A. 2 1k k B. - 2 1k k C. 2 1 k k D. - 2 1 k k 8、(2008 山东文、理)函数 lncos 22 yxx 的图象是（ ） 解： lncos () 22 yxx 是偶函数，可排除 B、D，由cosx的值域可以确定.因此本题 应选 A. 9、(2008 天津文)把函数sin ()yx xR的图象上所有的点向左平行移动 3 个单位长度，再把所 得图象上所有点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍（纵坐标不变） ，得到的图象所表示的函数是（ ） Asin 2 3 yxx R，Bsin 26 x yx R， Csin 2 3 yxx R，Dsin 2 3 yxx R， 解： y=sin x 3 向左平移个单位 sin() 3 yx 1 2 横坐标缩短到原来的倍 sin(2) 3 yx ，故选 （C） 。 10（浙江理）在同一平面直角坐标系中，函数)20)( 2 3 2 cos( ，x x y的图象和直线 2 1 y的交点个数是( ) （A）0 （B）1 （C）2 （D）4 y x 2 2 O y x 2 2 O y x 2 2 O y x 2 2 O ABCD 解：原函数可化为： )20)( 2 3 2 cos( ，x x y=sin,0,2 . 2 x x作出原函数图像， 截取0,2 x部分，其与直线 2 1 y的交点个数是 2 个. 11.（2010 浙江理数） （9）设函数( )4sin(21)f xxx，则在下列区间中函数( )f x不存在零点 的是 （A）4, 2 （B）2,0 （C）0,2 （D）2,4 解析：将 xf的零点转化为函数 xxhxxg与12sin4的交点，数形结合可知答案选 A， 12.（2010 浙江理数） （4）设0 2 x ，则“ 2 sin1xx”是“sin1xx”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 解析：因为 0x 2 ，所以 sinx1，故 xsin2xxsinx，结合 xsin2x 与 xsinx 的取值范围相同， 可知答案选 B， 13.（2010 全国卷 2 理数） （7）为了得到函数sin(2) 3 yx 的图像，只需把函数 sin(2) 6 yx 的图像 （A）向左平移 4 个长度单位 （B）向右平移 4 个长度单位 （C）向左平移 2 个长度单位 （D）向右平移 2 个长度单位 【解析】sin(2) 6 yx =sin2() 12 x ，sin(2) 3 yx =sin2() 6 x ，所以将 sin(2) 6 yx 的图像向右平移 4 个长度单位得到sin(2) 3 yx 的图像，故选 B. 14（2010 陕西文数）3.函数f (x)=2sinxcosx是 (A)最小正周期为 2 的奇函数（B）最小正周期为 2 的偶函数 (C)最小正周期为 的奇函数（D）最小正周期为 的偶函数 答案：C 15（2010 辽宁理数）设0,函数 y=sin(x+ 3 )+2 的图像向右平移 3 4 个单位后与原图像重合， 则的最小值是 （A） 2 3 (B) 4 3 (C) 3 2 (D)3 【解析】将 y=sin(x+ 3 )+2 的图像向右平移 3 4 个单位后为 4 sin ()2 33 yx 4 sin()2 33 x ，所以有 4 3 =2k,即 3 2 k ，又因为0，所以 k1,故 3 2 k 3 2 ，所以选 C 16（2010 重庆文数）下列函数中，周期为，且在, 4 2 上为减函数的是 （A）sin(2) 2 yx （B）cos(2) 2 yx （C）sin() 2 yx （D）cos() 2 yx 解析：C、D 中函数周期为 2，所以错误 当, 4 2 x 时， 3 2, 22 x ，函数 sin(2) 2 yx 为减函数而函数cos(2) 2 yx 为增函数，所以选 A 17（2010 重庆理数）已知函数 sin(0,) 2 yx 的部分图象如题（6） 图所示，则 A. =1 = 6 B. =1 =- 6 C. =2 = 6 D. =2 = -6 解析： 2T 由五点作图法知 23 2 ，= -6 18、 （2010 四川理数） （6）将函数sinyx的图像上所有的点向右平行移动 10 个单位长度，再把 所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，所得图像的函数解析式是 （A）sin(2) 10 yx （B）sin(2) 5 yx （C） 1 sin() 210 yx （D） 1 sin() 220 yx 解析：将函数sinyx的图像上所有的点向右平行移动 10 个单位长度，所得函数图象的解析式为 ysin(x 10 ) 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，所得图像的函数解析式是 1 sin() 210 yx . 19（2010 天津文数） 5 yAsinxxR 66 右图是函数（+ ）（）在区间-，上的图象， 为了得到这个函数的图象，只要将ysinxxR（）的图象上所有的点 (A)向左平移 3 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变 (B) 向左平移 3 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变 (C) 向左平移 6 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变 (D) 向左平移 6 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变 【答案】A 【解析】本题主要考查三角函数的图像与图像变换的基础知识，属于中等题。 由图像可知函数的周期为，振幅为 1，所以函数的表达式可以是 y=sin(2x+).代入（- 6 ，0） 可得的一个值为 3 ，故图像中函数的一个表达式是 y=sin(2x+ 3 )，即 y=sin2(x+ 6 )，所以只 需将 y=sinx（xR）的图像上所有的点向左平移 6 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原 来的 1 2 倍，纵坐标不变。 21.（2010 上海文数）18.若ABC的三个内角满足sin:sin:sin5:11:13ABC ，则ABC （A）一定是锐角三角形. （B）一定是直角三角形. （C）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. 解析：由sin:sin:sin5:11:13ABC 及正弦定理得 a:b:c=5:11:13 由余弦定理得0 1152 13115 cos 222 c，所以角 C 为钝角 22（2010 天津理数） （7）在ABC 中，内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c，若 22 3abbc， sin2 3sinCB，则 A= （A） 0 30 （B） 0 60 （C） 0 120 （D） 0 150 【答案】A 由由正弦定理得 2 3 2 3 22 cb cb RR ， 所以 cosA= 2222 +c -a3 22 bbcc bcbc = 32 33 22 bcbc bc ，所以 A=300 23若向量a与b不共线，ab0，且cab，则向量a与c的夹角为 ( ) ( aa ab) A0 B. C. D. 6 3 2 解析：acaa( aa ab)b aaaba2a20， ( a2 ab) 又a0，c0，ac，a，c，故选 D. 2 答案：D 24(2010全国)ABC中，点D在边AB上，CD平分ACB.若a，b，|a|1， CB CA |b|2，则 ( ) CD A.ab B.ab 1 3 2 3 2 3 1 3 C.ab D.ab 3 5 4 5 4 5 3 5 解析：由角平分线的性质得|2|，即有 () (ab)来源:学# AD DB AD 2 3AB 2 3 CB CA 2 3 科#网 Z#X#X#K 从而b (ab)ab.故选 B. CD AD 2 3 2 3 1 3 答案：B 二填空题二填空题 1、 （2008 北京文）若角 的终边经过点P(1,-2),则 tan 2的值为 . 解： 2 22tan4 tan2,tan2. 11tan3 2已知函数f(x)(sin xcos x)sin x，xR，则f(x)的最小正周期是_ 解析：f(x)sin2xsin xcos x (1cos 2x) sin 2x 1 2 1 2 sin ， 2 2 (2x 4) 1 2 T. 2 2 3(2009海南)ysin(x)(0，)的图象如图，则_. 解析：T2，即则 ； (2 3 4 ) 5 2 2 w 5 2 4 5 当x时，x，即，解得：. 3 4 3 2 3 5 3 2 9 10 4函数f(x)cosxsin x的图象相邻的两条对称轴之间的距离是_ 3 2 5 2 5 解析：f(x)cos xsin x2sin， 3 2 5 2 5 ( 2 5x 3) 周期为T5，则相邻的对称轴间的距离为 . 2 2 5 T 2 5 2 5函数f(x)sin x2|sin x|，x0,2的图象与直线yk有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是_ 解析：数形结合法：f(x) Error! 由图象知 10，x(，)，0)在x 时取得最大值 4. 12 (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)的解析式； (3)若f，求 sin . ( 2 3 12) 12 5 解：(1)T. 2 3 (2)由题设可知A4 且 sin1， (3 12) 则2k，得2k(kZ) 4 2 4 00，|1 相矛盾 5 8 综上所述， 即为所求 1 2 9（2010 全国卷全国卷 2 文数）文数） （17） （本小题满分 10 分） ABCA中，D为边BC上的一点，33BD ， 5 sin 13 B ， 3 cos 5 ADC，求AD。 【 【解析解析】 】本本题题考考查查了同角三角函数的关系、正弦定理与余弦定理的基了同角三角函数的关系、正弦定理与余弦定理的基础础知知识识。 。 由由 ADC 与与 B 的差求出的差求出 BAD ，根据同角关系及差角公式求出，根据同角关系及差角公式求出 BAD 的正弦，在三角形的正弦，在三角形 ABD 中，中， 由正弦定理可求得由正弦定理可求得 AD。 。 10、 （2010 浙江理数）浙江理数） （18）(本题满分 l4 分)在ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c，已知 1 cos2 4 C (I)求 sinC 的值； ()当 a=2， 2sinA=sinC 时，求 b 及 c 的长 解析：本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同事考查运算求解能力。 （）解：因为 cos2C=1-2sin2C= 1 4 ，及 0C 所以 sinC= 10 4 . （）解：当 a=2，2sinA=sinC 时，由正弦定理 ac sinAsinC ，得 c=4 由 cos2C=2cos2C-1= 1 4 ，J 及 0C 得 cosC= 6 4 由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC，得 b26b-12=0 解得 b=6或 26 所以 b=6 b=6 c=4 或 c=4 11、 （2010 辽宁理数）辽宁理数） （17） （本小题