三次函数的图象与性质.doc

三次函数的图象与性质河源市河源中学 钟少辉三次函数=是中学阶段一个重要的函数，已经成为高考的高频考点。本文研究了三次函数的图象，并且得到它的几个性质，以及例说性质的应用。已知三次函数：定义域则 ， 。由得 (1) 依一元二次方程根的判别式知： 1.1若 ， 即。则方程（1）必有两个不相等的实根，即三次函数必有两个驻点（这里不妨设）， 且。由函数极值的判定定理则有： 1.a0 当，单调递增。 当， 单调递减。当 ，单调递增。 驻点即为极值点，且在两个驻点中值较小的一个点上取得极大值，在值较大的一个点上取得极小值，且。.情况正好与I相反，在此不再赘述。由以上讨论知：，而由 得，因而：，当a0， 时，曲线是（向下凹）。时，曲线是（向上凹）。当 ， 时，曲线是（向上凹），时，曲线是（向下凹）。所以，无论的正负，为曲线拐点的横坐标，且即：曲线拐点的横坐标为两极值点（或二驻点）连线的中点yy通过以上的讨论知：三次函数，当时，其图形的一般形状见图1。xx图1 复合型图象1.2若，即，则由， 得。故 显然 ， ，单调递增。 ， ，单调递减 。驻点不是极值点。而由， ， 得。，时，曲线是（向下凹）。时，曲线是（向上凹）。，时，曲线是（向上凹），时，曲线是（向下凹）。故对于三次函数，若有且仅有一个驻点，则该点一定是曲线拐点的横坐标，其图形形状见图2。图2 单一型图象1.3 ， 即，则由二次函数的性质： ， ，单调递增 。 ， 单调递减 。函数无驻点，也无极值点。由 。 得， 曲线在 内是（向下凹），在内是（向上凹）。曲线在 内是（向上凹），在内是（向下凹）。仍是曲线拐点的横坐标。 故对于三次函数若时，其图形形头见图3。yxxy图3 单一型图象性质1 函数，若当是增函数：当时，其单调递增区间是单调递减区间是若是减函数；当时，其单调递减区间是，单调递增区间是。 推论 函数当不存在极大值和极小值：若当时，有极大值、极小值;若当时，有极大值、极小值. 根据和的不同情况，其图象特征分别为：yyyyxxxx性质2 函数,若且,则: 由函数图象易知, 上的最值出现在处性质3 任何三次函数曲数都存在唯一拐点,并且曲线关于拐点对称,即经坐标变换后,都可以将曲线所表示的函数化为奇函数。证明 为方便起见，不妨设。求导，得令，得，将代入，得 当时，；当时，点是的唯一拐点。作代换，代入原曲线方程得,。它是一个关于为坐标系的奇函数，该函数表示的曲线对称于点，即原曲线关于拐点对称。推论 函数是中心对称图形，其对称中心是()证明 设函数的对称中心为(m , n).按向量将函数的图象平移，则所得函数是奇函数，所以,化简得 上式对恒成立，故3ma+b=0 ,m=.所以，函数的对称中心是()，可见，图象的对称中心在导函数的对称轴上，且又是两个极值点的中点。性质 直线与三次函数图象相切，切点唯一。证明 设三次函数。曲线在点处的切线方程为：即，假设与曲线相切，切点不唯一。不妨设与曲线相切于点,其中。所以 由于，由得即 由得 将代入得，所以，与假设矛盾。 所以原命题得证！性质 三次函数图象上任一点的切线存在情况。设是图象上任一点，过点P的切线有以下两种情况：（1）以点为切点的切线有一条.方程为；（2）以不同于点的点为切点并过点的切线，方程为因切线过点，所以，化简得： , ，当时，解得（舍去），即时这种切线不存在；当时，解得（舍去），即时这种切线存在1条。于是有：当点是拐点(即)时，过点的切线有且仅有1条，即以点为切点的切线；当点不是拐点(即)时，过点的切线有且仅有2条，且它们的切点分别为点和点M。例1.2010年高考湖北卷文科压轴题第21题：设函数，曲线在处的切线方程为。（1）确定b,c 的值；（2）设曲线在点及处的切线都过点（0，2）。证明：当时，。解（1）略（2）由，得由于点（）处的切线方程为而点（0.2）在切线上，所以2化简得即t满足的方程为下面用反证法证明：假设，由于曲线在点处的切线都过点（0.2），则下列等式成立： 由得由-得又故由得，此时与矛盾.所以.例 已知在上是增函数，在0.2上是减函数，且方程有三个根，它们分别为。(1)求的值；（2）求证: （3）求的取值范围。 解 (1) ,由题意可得：为的极值点，. (2)令，得，在上是增函数，在0.2上是减函数，.即.又(3)方程有三个根设，由待定系数法得，为方程的两根，： =.例 已知函数(1)若的图象有与轴平行的切线，求的取值范围：(2)若在时取得极值，且时，恒成立，求的取值范围.解 (1)设切点，则在P点的切线的斜率，由题意，有解。解得。（2）在时取得极植 为方程的一个根由可得的另一根为。当或时，当时，在递增，递减，递增。在区间有极大值=,又。当时有最大值 恒成立 恒成立或 参考文献：华东师范大学数学系.数学分析(第三版).北京：高等