浅谈反证法在数学中的应用.doc

浅谈反证法在数学中的应用摘要反证法在数学中是一种极其重要的证明方法，被称为“数学家最精良的武器之一”。它与一般证明方法不同，反证法可分为归谬反证法和穷举反证法两种。只要抓住要领，反证法就能使一些不易直接证明的问题变得简单，易证，它在数学证题中确有独到之处。本文主要介绍了反证法的基本概念、步骤、依据及分类。对于反证法的应用需注意事项和解题步骤做一些论述。关键词：反证法；归谬；矛盾；假设；结论AbstractContradiction in mathematics is an extremely important method of proof, known as mathematician one of the most sophisticated weapons. It is different with the general method of proof, proof by contradiction can be classified into two kinds of absurd contradiction and exhaustive reductio ad absurdum. Simply grab the essentials, reductio ad absurdum can make a number of difficult problems becomes simple direct proof, easy to prove, it is proof in mathematics problem in that there are unique. This paper describes the concept of reductio ad absurdum, steps, basis and classifications.The reductio ad absurdum of the application notes and problem-solving steps required to do some exposition.Key word: Absurdity ,Contradiction ,Contradiction ,Supposition ,Conclusion目 录 1. 引言 （2）2反证法的定义及步骤（3）2.1反证法的定义 （3）2.2 反证法的步骤（3）2.3反证法的逻辑依据及分类（4）2.3.1反证法的逻辑依据（4）2.3.2反证法的分类（4）2.4反证法如何正确的作出反设（5）2.5反证法如何正确的导出矛盾（7）2.6在数学中适于应用反证法证明的命题（7）2.6.1基本命题（7）2.6.否定式命题（8）2.6.限定式命题（9）2.6.唯一性命题（9）3、运用反证法应注意的问题 （10）4结束语 （11）参考文献 （12）致谢 （12）1、 引言有个很著名的“道旁苦李”的故事：从前有个名叫王戎的小孩，一天，他和小朋友发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上去摘，尝了之后才知是苦的，独有王戎没动，王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却挂满了李子，所以说李子一定是苦的。”这个故事中王戎用了一种特殊的方法，从反面论述了李子为什么不甜，不好吃。这种间接的证法就是我们下面所要讨论的反证法。2、 反证法的定义及步骤2.1 反证法的定义先提出与结论相反的假设，然后推导出和已证明的定理、公理、定义或题设相矛盾的结果，这样就证明了与结论相反的假设不能成立，从而肯定了原来的结论成立，这种间接证明的方法叫反证法。2.2 反证法的步骤用反证法证明一个命题的步骤大体上可以分为三步:（1）反设假设待证结论不成立,亦即肯定待证结论的反面,并将其作为增加条件,添加到给定的题设中去。（2）归谬从题设和反设出发,通过推理和论证,最终推出矛盾。（3）结论说明待证命题结论的反面不能够成立,再根据排中律（否定反面,肯定正面）,从而肯定欲证命题的结论3。例1 求证大于1的任何整数一定有质因数。证明： 反射：假设至少有一个大于1的整数没有质因数，即且不是质数（因为质数本身是质因数），则必为合数。归谬：必有一个不等于的真因数，故，这里也必不是质数（否则，有质因数）；同理，也有一个质因数，使，也必不是质数。依次类推，可得。这表明，在与1之间有无限多个不同的整数，这与一个确定的整数与1之间只能有有限个不同的整数有矛盾。结论：“假定”是错误的，因此，大于1的任何整数一定有质因数。例2已知：，求证：直线和是异面直线。 证明：【提出假设】假设直线和在同一平面内，那么这个平面一定经过点和直线。 【推出矛盾】因为，经过点和直线 只能有一个平面，所以直线与应在平面内，所以,这与已知矛盾。 2.3 反证法的逻辑依据及分类2.3.1 反证法的逻辑依据反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”。反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、公理、定理、法则或者已证证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假。再根据“排中律”结论与“否定的结论”这一互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真。所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的。2.3.2 反证法的分类按照反设所涉及到的情况的多少,反证法可以分为归谬反证法与穷举反证法。（1）用反证法证题时，如果要证明的命题的情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”例3 已知m为整数,且m2是偶数,求证:m为偶数。分析:本题如果用直接法来证明的话,给人一种无从下手的感觉,题目给我们的已知条件是很简单的,我们只能从反面去考虑它,由已知条件,我们知道,m为整数,且m2是偶数,所以,我们只需证当m为奇数的时候m2不是偶数就可以了。证明:假设m不是偶数,则m为奇数。设m=2k+1(k为整数),于是,m2为奇数,这与已知条件m2是偶数矛盾。故m为偶数。（2）如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。2.4 反证法如何正确的作出反设运用反证法证明命题的第一步就是：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。在这一步骤中，必须注意正确地反设，这是正确运用反证法的基础、前提，正确作出反设,是使用反证法的一大关键。否则，即使推理、论证再好也都会前功尽弃。要想正确的做出反设，必须注意以下几点：（1）分清命题的条件与结论、结论与反设间的逻辑关系。 例4 试证适合xy+yz+zx=1的实数x、y、z必不能满足x+y+z=xyz。分析:首先我们要弄清楚题目的意思,根据题目给我们的意思,我们很难正面对它进行证明,所以我们考虑用反证法,同时我们要注意正确作出反设,由题目我们不难得知实数x、y、z能满足方程xy+yz+zx=1，但不满足方程x+y+z=xyz,所以我们作出反设的时候要设实数x、y、z既能满足xy+yz+zx=1,又能满足x+y+z=xyz。我们知道实数x、y、z就是方程xy+yz+zx=1和方程x+y+z=xyz联立起来的方程组的一个实数根,我们可以根据这个特点去寻找矛盾。对于含有多个字母的给定式,在计算时，尽量设法减少字母的个数,这是一个原则。（2）结论的反面常常不止一种情形,则需反设后,分别就各种情况归谬,做到无一遗漏。例5 已知： ，求证：。 分析：此题的结论有两种情况，其否定只有一种情况2，因此用反证法证明时，只要否定了这种情况，就能肯定的这种情况了。证明：假设2，则 = =由此可知：，这与已知矛盾。 例6 已知：平面平面，直线，求证：与也相交。 分析：此题结论的否定有两种情况：1；2.用反证法证明时， 只有把这两种情况都否定了，才能肯定与相交。总之，在否定命题的结论之前，首先要弄清命题的结论是什么，当命题结论的反面非常明显并且只有一种情形时是比较容易做出否定的，但命题的结论的反面是多种情形或者比较隐晦时，就不太容易做出否定。这时必须认真分析、仔细推敲，在提出“假设”后，再回过头来看看“假设”的对立面是否恰是命题的结论。例如：1）结论：至少有一个S是P。错误假设：至少有两个或两个以上S是P,正确假设：没有一个S是P。例如；2）结论：最多有一个S是P。错误假设：最少有一个S是P。正确假设：至少有两个S是P。例如：3）结论：全部S都是P。错误假设：全部的S都不是P。正确假设：存在一个S不是P。现将一些常用词的否定形式列表如下：原结论词假设词原结论词假设词是不是存在不存在都是不都是至少有 n 个至多有n1个大（小）于不大（小）于至多有一个至少有两个2.5 反证法如何正确的导出矛盾归谬,是反证法的关键,也是困难的所在。初学者往往作出反设以后,就迈不开步子了,不知往哪里走才能找到矛盾。导出矛盾的过程,没有固定的模式可以套用。要凭借解题者拥有的知识与具备的能力,要善于从反设与条件中,抓住蛛丝马迹,发现矛盾。此外,有两点应该引起我们注意: 导出矛盾,要从反设出发,否则,推导将成为无源之水,无本之木。 推理必须严谨。有人以为反证法就可以不讲依据,那是诡辩,只能导致荒谬。一般来说,归谬的情况大致有如下几种: 推出与公理相矛盾的结论; 推出与已知定理相矛盾的结论; 推出与已知定义相矛盾的结论; 推出两个相互矛盾的结论; 推出与原命题题设条件相矛盾的结论; 推出与逆否命题假设相矛盾的结论。2.6 在数学中适于应用反证法证明的命题2.6.1 基本命题，即学科中的起始性命题。此类命题由于已知条件及能应用的定理、公式、法则较少，或由题设条件所能推得的结论很少，因而直接证明入手较难，此时应用反证法容易奏效。如平面几何、立体几何等，在按照公理化方法来建立起它的科学体系时，最初只是提出少量的定义、公理。因此，在起始阶段的一些性质和定理很难直接推证，它们多数宜于用反证法来证明。例7 求证：两条直线如果有公共点，最多只有一个。 证明：假设它们有两个公共点A，B，这两条直线分别是a，b 那么A，B都属于a，A，B也都属于b， 因为两点决定一条直线， 所以a，b重合，命题不成立， 原命题正确，公共点最多只有一个。2.6.2. 否定式命题，即结论中含有“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题。此类命题的反面比较具体，适于应用反证法。例8 为圆两条相交弦，且不全为直径，求证：不能互相平分。证明：假设弦被点平分， 由于点一定不是圆心，连接， 则有， 即过一点有两条直线与垂直， 这与垂线性质矛盾，所以弦不能被平分。例9 证明函数y = cos不是周期函数。证明：假设函数 y=cos是周期函数，即存在 T0，使cos= cos 令 x=0，得 T=4k (k0， kZ， 不妨设 k0)。 令x=4，得 = 2m (mN) =mN 但是当k0时， kk+1，因而不是整数，矛盾 故 函数y = cos不是周期函数。例10 求证：形如4n+3的整数不能化为两整数的平方和。 证明：假设p是4n+3型的整数，且p能化成两个整数的平方和，即p=a+b， 则由p是奇数得a、b必为一奇一偶。 不妨设a=2s+1，b=2t，其中s、t为整数， p=a+b=(2s+1)+(2t)=4(s+s+t)+1，这与p是4n+3型的整数矛盾。 例11 证明：ABC内不存在这样的点P，使得过P点的任意一条直线把ABC的面积分成相等的两部分。证明：假设在ABC内存在一点P，使得过P 点的任一条直线把ABC的面积分成 相等的两部分。连接AP、BP、CP并分 别延长交对边于D、E、F。 由假设，SABD=SADC，于是D为BC 的中点，同 理E、F分别是AC、AB的 中点，从而P是ABC的重心。 过P作BC的平行线分别交AB、AC于M、N，则 ， 这与假设过P点的任一条直线把ABC的面积分成相等的两部分矛盾。2.6.3. 限定式命题，即结论中含有“至少”、“最多”等词语的命题。例12 已知函数f(x)是单调函数，则方程f(x)=0 最多只有一个实数根。 证：假设方程至少有两个根x，x且xx， 则有 f(x)=f(x)(xx) 这与函数单调的定义显然矛盾，故命题成立。例13 平面上有六个圆，每个圆圆心都在其余各圆外部，则平面上任一点不会同时在这六个圆上。 证：题意即这六个圆没有共同的交点。 如果这六个圆至少有一个共同的交点，则连接这交点与每个圆的圆心的线段中，总有两条线段所成的角不超过60。 这时，这两条线段所连接的圆如果半径相等，那么两圆圆心在对方圆内； 否则，较小的圆圆心在较大的圆之内，这都与已知矛盾。例14 若p0，q0，p3q32。试用反证法证明：pq2。 证明：此题直接由条件推证pq2是较困难的，由此用反证法证之。 假设pq2，p0，q0， （pq）3p33p2q3pq2q38 又p3q32。代入上式得：3pq（pq）6。即pq（pq）2 又由p3q32得(pq)（p2pqq2）2 由得pq（pq）（pq）（p2pqq2) pq0。 pqp2pqq2p22pqq20（pq）20与(pq）20相矛盾。 假设pq2不成立。故pq2。2.6.4. 唯一性命题，即结果指定唯一的命题。例15 已知证明的方程有且只有一个根。 证明：由于因此方程至少有一个根 如果方程不只一个根，不妨设是它的两个不同的根 即 两式相减，得：=0 因为，所以，所以应有，这与已知矛盾， 故假设错误。所以，当时，方程有且只有一个根。例16 求证：方程x = sinx的解是唯一的。 证明：显然，x = 0是方程的一个解。以下用反证法证明方程的解是唯一的。 假设方程至少有两个解、()，则有sin= ，sin= 两式相减得： sinsin= 2cossin=- |sin| |cos| 得 |cos|1， 显然矛盾。 故 方程 x = sinx的解是唯一的。例17 求证方程 22+x=6 仅有唯一实根 2。 证明：假设方程 22+x=6 有一个非 2 的实根 。 则有 2a + =6 ，与 22+2=6 相减，得 2a -22=2- 。 2 ，故 2 或 2。 当 2 时， 2a -22 0 ，而 2- 0 ，相矛盾 。 当 2 时， 2a -22 0 ，而 2- 0 ，也矛盾 。 假设方程有一个非 2 的实根是错误的 。 不存在非 2 的实根，即方程仅有唯一实根 2。 3、 运用反证法应注意的问题运用反证法证明命题的第一步是：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。在这一步骤中，必须注意正确的“否定结论”，这是正确运用反证法的前提，否则，即使推理、论证再好也都会前功尽弃。在否定命题的结论之前，首先要弄清命题的结论是什么。当命题的结论的反面非常明显并且只有一种情形时是比较容易做出否定的，但命题的结论的反面是多种情形或者比较隐晦时，就不太容易做出否定。这时必须认真分析、仔细推敲，在提出“假设”后，再回过头来看看“假设”的对立面是否恰是命题的结论。 运用反证法证明命题的第二步是：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾。在这一步骤中，整个推理过程必须准确无误，这样导致的矛盾才是有效的。对于一个用反证法证明的命题，能够推出什么样的