九年级数学上册 22.2.4 与系数的关系课件 （新版）华东师大版.ppt

第22章一元二次方程,22.2.4根与系数的关系,教学目标：知识与技能：掌握一元二次方程根与系数的关系。过程与方法：能运用根与系数的关系求方程的两根之和与两根之积。情感态度与价值观:经历观察发现猜想证明的思维过程，培养分析和解决问题的能力。教学重难点:重点：一元二次方程根与系数的关系。难点：运用根与系数关系解决问题。,1.一元二次方程的一般形式是什么？,3.一元二次方程的根的情况怎样确定？,2.一元二次方程的求根公式是什么？,探究1：填表，观察、猜想,问题：你发现什么规律？用语言叙述你发现的规律；x2+px+q=0的两根x1,x2用式子表示你发现的规律。,根与系数关系,如果关于x的方程,的两根是,则:,如果方程二次项系数不为1呢?,探究2：填写下表：,猜想：,如果一元二次方程的两个根分别是、，那么，你可以发现什么结论？,已知：如果一元二次方程的两个根分别是、。,求证：,推导:,如果一元二次方程的两个根分别是、，那么：,这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。,韦达（15401603）,韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一。第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进。他生于法国的普瓦图。年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”。,1.,3.,2.,4.,5.,练习：1、口答下列方程的两根之和与两根之积。,1.已知一元二次方程的两根分别为，则：,2.已知一元二次方程的两根分别为，则：,3.已知一元二次方程的的一个根为1，则方程的另一根为_，m=_：,4.已知一元二次方程的两根分别为-2和1，则：p=_;q=_,5、下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？,6、设x1、x2是方程利用根与系数的关系，求下列各式的值：,返回,的值。,解：,根据根与系数的关系:,例题分析：,例2、利用根与系数的关系，求一元二次方程两个根的；（1）和的平方；（2）倒数和,解：设方程的两个根是x1x2，那么,返回,例3.不解方程，求方程的两根的平方和、倒数和。,运用根与系数的关系解题,例题4：已知方程x22x1的两根为x1,x2，不解方程，求下列各式的值。（1）（x1x2）2（2）x13x2x1x23（3）,解：设方程的两根分别为和，则：而方程的两根互为倒数即：所以：得：,例5.方程的两根互为倒数，求k的值。,设X1、X2是方程X24X+1=0的两个根，则X1+X2=_X1X2=_，X12+X22=；(X1-X2)2=；,基础练习,1、如果-1是方程2X2X+m=0的一个根，则另一个根是_，m=_。2、设X1、X2是方程X24X+1=0的两个根，则X1+X2=_,X1X2=_，X12+X22=(X1+X2)2-_=_(X1-X2)2=(_)2-4X1X2=_3、判断正误：以2和-3为根的方程是X2X-6=0（）4、已知两个数的和是1，积是-2，则这两个数是_。,X1+X2,2X1X2,-3,4,1,14,12,2和-1,基础练习,（还有其他解法吗？）,5.已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值.,解：设方程的两个根分别是、，其中。所以：即：由于得：k=-7答：方程的另一个根是，k=-7,6.已知一元二次方程的的一个根为1，则方程的另一根为_，m=_：,7、已知方程的一个根是1，求它的另一个根和m的值。,试一试,8、已知方程3x219x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值。,9、设x1,x2是方程2x24x3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值。,解：设方程的另一个根为x1,则x1+1=,x1=,又x11=,m=3x1=16,解：,由根与系数的关系，得,x1+x2=-2,x1x2=,(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=-2+()+1=,1、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值。,拓广探索,解：由方程有两个实数根，得,即-8k+40,由根与系数的关系得x1+x2=2(k-1),x1x2=k2,X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4,由X12+x22=4，得2k2-8k+44,解得k1=0,k2=4,经检验，k2=4不合题意，舍去。,k=0,解：由根与系数的关系得X1+X2=-k，X1X2=k+2又X12+X22=4即(X1+X2)2-2X1X2=4K2-2(k+2）=4K2-2k-8=0,=K2-4k-8当k=4时，0当k=-2时，0k=-2,解得：k=4或k=2,2.已知方程的两个实数根是且求k的值。,补充规律：,两根均为负的条件：X1+X2且X1X2。,两根均为正的条件：X1+X2且X1X2。,两根一正一负的条件：X1X2。当然，以上还必须满足一元二次方程有根的条件：b2-4ac0,一正根，一负根,0X1X20,两个正根,0X1X20X1+X20,两个负根,0X1X20X1+X20,解:由已知,=,即,m0m-10,0m1,3.方程有一个正根，一个负根，求m的取值范围。,4.方程x2(m1)x2m10求m满足什么条件时,方程的两根互为相反数？方程的两根互为倒数？方程的一根为零？解:(m1)24(2m1)m26m5两根互为相反数两根之和m10,m1,且0m1时,方程的两根互为相反数.,两根互为倒数m26m5,两根之积2m11m1且0,m1时,方程的两根互为倒数.方程一根为0,两根之积2m10且0,时,方程有一根为零.,引申:1、若ax2bxc0(a00)（1）若两根互为相反数,则b0;（2）若两根互为倒数,则ac;（3）若一根为0,则c0;（4）若一根为1,则abc0;（5）若一根为1,则abc0;（6）若a、c异号,方程一定有两个实数根.,2.应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把已知方