函数与应用问题

1 / 11 函数与应用问题 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 数学必修 1：函数的应用举例 【要点导学】 1、数学模型 数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述 .数学模型的形式是多样的，它们可以是几何图形，也可以是方程式，函数解析式等等 . 2、数学模型方法 数学模型方法，是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法 . 3、求解实际问题的基本步骤 以函数为数学模型解 决实际问题是数学应用的一个重要方面，主要研究它的定义域、值域、单调性、最值等问题 .使用数学模型解决实际问题的基本步骤如下： 审题：通过阅读，理解关键词的意义，明确变量和常量，理顺数量关系，弄清题意，明白问题讲的是什么 . 建模：将文字语言转换成数学语言，用数学式子表达数量关系，利用数学知识建立相应的数学模型 . 求模：求解数学模型，得到数学结论 . 2 / 11 还原：将用数学方法得到的结论，回归实际，还原为实际问题的意义 . 4、本节课的函数应用是指利用函数知识求解实际问题 . 【范例精析】 例 1 要使火车安全行驶，按规定，铁道转弯处的圆弧半径 不允许小于 600.如果某段铁路两端相距 156，弧所对的圆心 角小于 180o,试确定圆弧弓形的高所允许的取值范围 (精确到 1m). 思路剖析 先以弓形的高为自变量，半径 R 为函数，建 立 R 关于的函数关系式，然后再利用圆弧半径不小于 600得 到关于的不等式，求出的范围 . 解题示范 如图，设圆弧的半径 oA=oB=R, 圆弧弓形的高 cD=,0R. 在 RtBoD 中， DB=78， oD=R-， 则， ， 依题意 R600 ，即 600 ， 0 ， 解得 或 , 又 R, 应舍去 . 答：圆弧弓形的高的允许值范围是（单位：米） . 回顾反思 如何依题意寻找关于的不等式，是求解本题的关键，这里要抓住两方面：一是圆弧半径不小于 600，二是 R.3 / 11 其中 “0；当表示折旧率时， 0 时 ,7 / 11 为增函数，则须且只需满足 ， 解得 00时 ,为 增函数，由此得到二次函数顶点的横坐标需满足的条件；二是不要把 “ 销售总金额增加 ” 错误地理解为 “ 销售总金额比原来增加 ” ，以致产生下面的错误解法： 令，得， ， ， . 尽管答案一致，但纯属偶然 . 【能力训练】 一、选择题 1、我国工农业总产值从 1980年到 2000年的 20年间实现了翻两番的目标，若平均每年的增长率为，则（） A、 =4B、 =2c、 =3D、 =4 2、由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低 .若每隔 5 年计算机的价格降低，现在价格为 8100 元的计算机经过 15年，其价格可降为（） A、 300元 B、 900 元 c、 2400元 D、 3600元 3、某企业生产总值的月平均增长率为 P，则年平均增长率为（） 8 / 11 A、 PB、 P12c、 (1+P)12D、 (1+P)12-1 4、某商品零售价 2002年比 2001年上涨 25%，欲控制 XX年比 2001年只上涨 10%，则 XX年应比 2002年降价（） A、 15%B、 12%c、 10%D、 5% 5、一名退休职工每年获得一份医疗保障金，金额与他工作的年数的平方根成正比，如果多工作年，他的保障金会比原有的多元；如果多工作年，他的保障金会比原来的多元，那么他每年的保障 金（用表示）是（） A、 B、 c、 D、 二、填空题 6、有一块长为 20厘米 ,宽为 12 厘米的矩形铁皮，将其四个角各截去一个边长为的小正方形，然后折成一个无盖的盒子 .则盒子的容积 V 与的函数关系式是 . 7、以半径为 R 的半圆上任意一点 P 为顶点，直径 AB为底边的 PAB 的面积 S 与高 PD=之间的函数关系式是 8、储油 303 的油桶，每分钟流出 3 的油，则桶内剩余油量Q（ 3）以流出时间为自变量的函数的定义域为 9、 A、 B 两地相距 160（ A 地在 B 地的正北方向），甲从 A 地以 80/s的速度向 B 行驶，乙从 B 地向正东方向以 60/s的速度行驶 .若甲、乙同时出发，则它们之间的最小距离为 10、 “ 中华人民共和国个人所得税法 ” 规定，薪金所得不超过 800元的部分不必纳税，超过 800元的部分为全月应纳税9 / 11 所得额 .此项税款按下表分段累计计算： 全月应纳税所得额税率 不超过 500元的部分 5 超过 500元至 2000 元部分 10 则每月工资为 1900 元的工人每月应纳税款元 . 三、解答题 11、某超市为了获取最大利润做了一番试验，若将进货单价为 8元的商品按 10元一件的价格出售时，每天可销售 60件，现在采用提高销售价格减少进 货量的办法增加利润，已知这种商品每涨 1 元，其销售量就要减少 10 件，问该商品售价定为多少时才能赚得利润最大？并求出最大利润 . 12、一根均匀的轻质弹簧，已知在 600N 的拉力范围内，其长度与所受拉力成一次函数关系，现测得当它在 100N 的拉力作用下，长度为 ,在 300N拉力作用下长度为，那么弹簧在不受拉力作用时，其自然长度是多少？ 13、如图，已知 o 的半径为 R，由直径 AB的端点 B 作圆的切线，从圆周上任一点 P 引该切线的垂线，垂足为 m，连 AP，设 AP= （ 1）写出 AP+2Pm关于的函数关系式； （ 2）求此函数 的最值 . 14、在底边 Bc=60,高 AD=40的 ABc 中作内接矩形 mNPQ.设10 / 11 矩形的面积为 S， mN=，写出 S 与之间的函数关系式，并求其定义域和值域 . 15、某林场现有木材 300003,如果每年平均增长 5%，问大约经过多少年木材可以增加到 400003? 【素质提高】 16、某房地产公司要在荒地 ABcDE（如图）上划出 一块长方形的地面修建一座公寓楼 .问如何设计才能使 公寓楼地面的面积最大，并求出最大的面积 . 17、在测量某物理量的过程当中，因仪器和观察 的误差，使得次测量分别得到共个数 据 .我们规定所测量的物理量的 “ 最佳近似值 ” 是 这样一个量：与其它近似值比较，与各数据的平方和最小 .依此规定，从推出的值 . 18、某工厂有一个容量为 300吨的水塔，每天从早上 6 点起到晚上 10 点止供应该厂的生产和生活用水，已知该厂生活用水为每小时 10 吨，工业用水量 W（吨）与时间（小时，且规定早上 6 点时）的函数关系为 W=100.水塔的进水量分为10 级，第一级每小时进水 10 吨，以后每提高一级，每小时进水量就增加 10 吨 .若某天水塔原有水 100吨，在开始供水的同时打开进水管，问进水量选择第几级时，既能保证该厂的用水（ 水塔中水不空），又不会使水溢出？ 函数的应用举例 11 / 11 1、 D2、 c3、 D4、 B5