切线长定理

1 / 7 切线长定理 切线长定理 1、教材分析 (1)知识结构 (2)重点、难点分析 重点 :切线长定理及其应用 .因切线长定理再次体现了圆的轴对称性 ,它为证实线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据 ,它属于工具知识 ,经常应用 ,因此它是本节的重点 . 难点 :与切线长定理有关的证实和计算问题 .如 120 页练习题中第 3题 ,它不仅应用切线长定理 ,还用到解方程组的知识 ,是代数与几何的综合题 ,学生往往不能很好的把知识连贯起来 . 2、教法建议 本节内容需要一个课时 . (1)在教学中 ,组织学生自主观察、猜想、 证实 ,并深刻剖析切线长定理的基本图形 ;对重要的结论及时总结 ; (2)在教学中 ,以 “ 观察 猜想 证实 剖析 应用 归纳 ” 为主线 ,开展在教师组织下 ,以学生为主体 ,活动式教学 . 教学目标 1.理解切线长的概念 ,把握切线长定理 ; 2 / 7 2.通过对例题的分析 ,培养学生分析总结问题的习惯 ,提高学生综合运用知识解题的能力 ,培养数形结合的思想 . 3.通过对定理的猜想和证实 ,激发学生的学习爱好 ,调动学生的学习积极性 ,树立科学的学习态度 . 教学重点 : 切线长定理是教学重点 教学难点 : 切线长定理的灵活运用 是教学难点 教学过程设计 : (一 )观察、猜想、证实 ,形成定理 1、切线长的概念 . 如图 ,P 是 o 外一点 ,PA,PB 是 o 的两条切线 ,我们把线段PA,PB叫做点 P 到 o 的切线长 . 引导学生理解 :切线和切线长是两个不同的概念 ,切线是直线 ,不能度量 ;切线长是线段的长 ,这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点 ,可以度量 . 2、观察 利用电脑变动点 P 的位置 ,观察图形的特征和各量之间的关系 . 3、猜想 引导学生直观判定 ,猜想图中 PA是否等于 =PB. 4、证实猜想 ,形成定理 . 3 / 7 猜想是否正确。需要证实 . 组织学生分析证实方法 .关键是作出辅助线 oA,oB,要证实PA=PB. 想一想 :根据图形 ,你还可以得到什么结论 ? oPA=oPB( 如图 )等 . 切线长定理 :从圆外一点引圆的两条切线 ,它们的切线长相等 ,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 . 5、归纳 : 把前面所学的切线的 5 条性质与切线长定理一起归纳切线的性质 6、切线长定理的基本图形研究 如图 ,PA,PB是 o 的两条切线 ,A,B为切点 .直线 oP交 o 于点 D,E,交 AP于 c (1)写出图中所有的垂直关系 ; (2)写出图中所有的全等三角形 ; (3)写出图中所有的相似三角形 ; (4)写出图中所有的等腰三角形 . 说明 :对基本图形的深刻研究和熟悉是在学习几何中关键 ,它是灵活应用知识的基础 . (二 )应用、归纳、反思 例 1、已知 :如图 ,P为 o 外一点 ,PA,PB 为 o 的切线 , A 和 B 是切点 ,Bc是直径 . 4 / 7 求证 :AcoP. 分析 :从条件想 ,由 P是 o 外一点 ,PA、 PB为 o 的切线 ,A,B是切点可得 PA=PB,APo=BPo, 又由条件 Bc 是直径 ,可得oB=oc,由此联想到与直径有关的定理 “ 垂径定理 ” 和 “ 直径所对的圆周角是直角 ” 等 .于是 想到可能作辅助线 AB. 从结论想 ,要证 AcoP, 假如连结 AB 交 oP 于 o,转化为证cAAB,oPAB, 或从 oD 为 ABc 的中位线来考虑 .也可考虑通过平行线的判定定理来证 ,可获得多种证法 . 证法一 .如图 .连结 AB. PA,PB分别切 o 于 A,B PA=PBAPo=BPo oPAB 又 Bc 为 o 直径 AcAB AcoP( 学生板书 ) 证法二 .连结 AB,交 oP于 D PA,PB分别切 o 于 A、 B PA=PBAPo=BPo AD=BD 又 Bo=Do oD 是 ABc 的中位线 AcoP 5 / 7 证法三 .连结 AB,设 oP与 AB弧交于点 E PA,PB分别切 o 于 A、 B PA=PB oPAB = c=PoB AcoP 反思 :教师引导学生比较以上证法 ,激发学生的学习爱好 ,培养学生灵活应用知识的能力 . 例 2、圆的外切四边形的两组对边的和相等 . (分析和解题略 ) 反思 :(1)例 3 事实上是圆外切四边形的一个重要性质 ,请学生记住结论 .(2)圆内接四边形的性质 :对角互补 . P120练习 : 练习 1 填空 如图 ,已知 o 的半径为 3厘米 ,Po=6厘米 ,PA,PB分别切 o于 A,B,则 PA=_,APB=_ 练习 2已知 :在 ABc 中 ,Bc=14厘米 ,Ac=9厘米 ,AB=13厘米 ,它的内切圆分别和 Bc,Ac,AB切于点 D,E,F,求 AF,AD和 cE的长 . 分析 :设各切线长 AF,BD和 cE分别为 x厘米 ,y厘米 ,z厘米 .后列出关于 x,y,z的方程组 ,解方程组便可求出结果 . 6 / 7 (解略 ) 反思 :解这个题时 ,除了要用三角形内切圆的概念和切线长定理之外 ,还要用到解方程组的知识 ,是一道综合性较强的计算题 .通过对本题的研究培养学生的综 合应用知识的能力 . (三 )小结 1、提出问题学生归纳 (1)这节课学习的具体内容 ; (2)学习用的数学思想方法 ; (3)应注重哪些概念之间的区别 ? 2、归纳基本图形的结论 3、学习了用代数方法解决几何问题的思想方法 . (四 )作业 教材 P131习题组 1.(1),2,3,组 1 题 . 探究活动 图中找错 你能找出 (图 1)与 (图 2)的错误所在吗 ? 在图 2 中 ,P1A为 o1 和 o3 的切线、 P1B为 o1 和 o2 的切线、 P2c为 o2 和 o3 的切线 . 提示 :在图 1 中 ,连结 Pc、 PD,则 Pc、 PD 都是圆的直径 ,从圆上一点只能作一条直径 ,所以此图是一张错图 ,点 o应在圆上 . 在图 2 中 ,设 P1A=P1B=a,P2B=P2c=b,P3A=P3c=c,则有 a=P1A=P1P3P3A=P1P3c 7 / 7 c=P