高等数学论文：一种快捷的分部积分方法和其若干推广.doc.doc

一种快捷的分部积分方法和其若干推广张质彬2011030030018【摘要】：分部积分是微积分中十分重要的一种积分方法。上个学期，在学习一元函数积分学时，从一本国外教材托马斯微积分（ThomasCALCULUS）了解到一种分部积分的快捷方法，这个学期，借数分论文这一契机，重新反思，证明了这一积分方法，并将以加以一定的推广。【关键词】：分部积分，快捷方法书中例子是这样叙述的：“求积分3sinxxdx解：令3()fxx和()singxx，我们列表（注意()fx要求可以重复求导直至出现0）323660xxxsincossincossinxxxxx用箭头上面的运算符号组合箭头连接两个函数的乘积便得到：332sincos3sin6cos6sinxxdxxxxxxxxC”从此例中可以看出此种分部积分方法的具体形式，下我给出尝试性证明：分部积分公式为：uvdxudvuvuvdx如果定义这样一种运算符号：uuvv箭头的两端表示乘积，箭头上的符号表示正负，斜向下的箭头表示项uv，横箭头表示项uvdx。根据分部积分公式，则此图既可以表示uvdxudvuvuvdx这一等式，既给分部积分的求法。进一步，若进行多次分部积分，即计算uvdx的值，则删去水平线，重复前过程。uuuvvvdx由于计算的是uvdx的值，所以此处的正负号需取反。按照此方式推广下去，可得()nuuuuvvdvdv综上所述，按此种方法定义的积分方法，可以推广到不仅限于重复求导直至出现0的()fx，下面，将举例说明此种方法的各种应用和推广：1最简单的情况：()fx可以重复求导直至出现0例：求积分2xxedx2220xxxxxxeeee2222xxxxxedxxexeeC2.()fx经n次求导，()gx经n次积分，乘积恰好能构成原来被积函数的形式，此时，通过解方程的形式，既能求出原被积函数的不定积分。例：求积分cosaxebxdx2axaxaxeaeae2cossin1cosbxbxbxb由此可得等式2221cossincoscosaxaxaxaaebxdxebxxebxdxbbb移项解方程得：22cos(sincos)axaxbaebxdxebxbxCabb(1)(1)n(1)n例：求积分sinxxexdxsincossinxxx(1)(2)xxxxexexesin(1)sin(2)cos(1)sinxxxxxexdxxexxexxexdx(1)sin(2)cossin2sinxxxxxexxexxexdxexdxsin(sincos)2xxeexdxxxCsin(1)sin(2)cossincos2xxxxexexdxxexxexxxCsinsincoscos2xxexexdxxxxxxC3.()fx和()gx通过若干次求导和积分，产生了可以相消或者可以结合的因子，此时需要重新整理识字并重新设()fx和()gx，再一次使用该种方法进行分部积分。例：求积分32lnxxdx2ln12lnxxx3414xx重新另()lnfxx，3()gxxln1xx3414xx4322321lnlnln42xxxdxxxxdx442311ln(ln)4244xxxxxdx4211(lnln)428xxxC此种虽然是应用方式中的很重要一种，但较为简单且变化较少，此处仅举一例。4.被积函数需要先做变换，才能使用此种方法，相比前面的三种情况，这种应用范围更广，灵活性也更高。例：求积分2sinxexdx由公式21cos2sin2xx原式21cos22xxedx=2cos2xexdx22224xxxeeecos21sin221cos24xxx有2222cos2sin2cos2cos2xxxxeeexdxxxexdx22cos2(sin2cos2)4xxeexdxxxC22sin(2sin2cos2)8xxeexdxxxC例：求积分38xxedx凑微分，可得3338626313xxxxedxxexdxxedx原式36313xxedx另3tx原式213ttedt2220tttttteeee原式2(22)3tettC63(22)3tex