初三数学归纳与猜想专题复习

1 / 10 初三数学归纳与猜想专题复习 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址莲 山课件 m 专题四 归纳与猜想 归纳猜想问题指的是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作、变化过程，要求通过观察、分析、推理，探求其中所蕴涵的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论，在解答过程中需要经历观察、归纳、猜想、试验、证明等数学活动，以加深学生对相关数学知识的理解，认识数学知识之间的联系在试卷中多以选择题、填空题、解答题的形式出现 考向一 数字规律问题 数字规律问题，即按 一定的规律排列的数之间的相互关系或大小变化规律的问题 【例 1】如图，一个数表有 7 行 7 列，设 aij 表示第 i 行第j 列上的数 (其中 i 1,2,3， ， j 1,2,3， ) 例如：第5 行第 3 列上的数 a53 7. 1 2 3 4 3 2 1 2345432 3456543 2 / 10 4567654 5678765 6789876 78910987 则 (1)(a23 a22) (a52 a53) _. (2)此数表中的四个数 anp， ank， amp， amk，满足 (anp ank) (amk amp) _. 解析：根据数表中数字排列规律，得 a23 4， a22 3， a52 6， a53 7， 所以 (1)的答案是 (4 3) (6 7) 0. 对于 (2)中四个数 anp， ank， amp， amk，可以发现 anp 与 ank为同一行的数，且其差为第 p 个数与第 k 个数之差，同理 amk与 amp 之差也为同行中第 k 个数与第 p 个数之差 根据数表中数字排列规律可以发现这两个差互为相反数，所以 (anp ank) (amk amp) 0. 答案： (1)0 (2)0 方法归纳解答数字规 律问题的关键是，仔细分析数表中或行列中前后各数之间的关系，从而发现其中所蕴涵的规律，利用规律解题 考向二 数式规律问题 解答此类问题的常用方法是： (1)将所给每个数据化为有规律的代数式或等式； (2)按规律顺序排列这些式子； (3)将发3 / 10 现的规律用代数式或等式表示出来； (4)用题中所给数据验证规律的正确性 【例 2】给出下列命题： 命题 1：直线 y x 与双曲线 y 1x 有一个交点是 (1,1)； 命题 2：直线 y 8x 与双曲线 y 2x 有一个交点是 12， 4； 命题 3：直线 y 27x 与双曲线 y 3x 有一个交点是 13， 9； 命题 4：直线 y 64x 与双曲线 y 4x 有一个交点是 14， 16； (1)请你阅读、观察上面命题，猜想出命题 n(n 为正整数 )； (2)请验证你猜想的命题 n 是真命题 解： (1)命题 n：直线 y n3x 与双曲线 y nx 有一个交点是1n， n2； (2)将 1n， n2 代入直线 y n3x 得：右边 n31n n2，左边 n2， 左边右边 点 1n， n2 在直线 y n3x 上 同理可证：点 1n， n2 在双曲线 y nx 上， 直线 y n3x 与双曲线 y nx 有一个交点是 1n， n2. 方法 归纳此类问题要从整体上观察各个式子的特点，猜想出式子的变化规律，并进行验证 对于本题来说，关键是发现变化的点的坐标的横坐标和纵坐标之间的关系，同时找出两个函数的系数和横坐标的关系 4 / 10 考向三 数形规律问题 根据一组图形的排列，探究图形变化所反映的规律，其中以图形为载体的数字规律最为常见 【例 3】用同样大小的小圆按下图所示的方式摆图形，第 1个图形需要 1 个小圆，第 2 个图形需要 3 个小圆，第 3 个图形需要 6 个小圆，第 4 个图形需要 10 个小圆，按照这样的规律摆下去，则第 n 个图形需要小圆 _个 (用 含 n的代数式表示 ) 解析：观察图形可知，第 n 个图形比第 (n 1)个图形多 n 个小圆， 所以第 n 个图形需要小圆 1 2 3 n 12n(n 1) 答案： 12n(n 1) 方法归纳解决这类问题的关键是，仔细分析前后两个图形中基础图案的数量关系，从而发现其数字变化规律具体地说，先根据图形写出数字规律，然后将每一个数字改写为等式，再比较各等式的相同点和不同点，分析不同点 (数字 )与等式序号之间的关系，从而得到一般规律 一、选择题 1 如 图 ， 六 边 形 ABcDEF 是正六边形，曲线Fk1k2k3k4k5k6k7 叫做 “ 正六边形的渐开线 ” ，其中 Fk1，5 / 10 k1k2， k2k3， k3k4， k4k5， k5k6 的圆心依次按点 A， B， c，D， E， F 循环，其弧长分别记为 l1， l2， l3， l4， l5， l6.当 AB 1 时， lXX 等于 ( ) A XX2B XX3c XX4D XX6 2.在平面直角坐标系中，正方形 ABcD 的位置如图所示，点A 的坐标为 (1,0)，点 D 的坐标为 (0,2)延长 cB 交 x 轴于点A1，作正方形 A1B1c1c；延长 c1B1 交 x 轴于点 A2，作正方形 A2B2c2c1， ，按这样的规律进 行下去，第 XX 个正方形的面积为 ( ) A 532XXB 594XXc 594XXD 5324020 二、填空题 3按一定规律排列的一列数，依次为 1,4,7， . 则第 n 个数是 _ 4如图 (1)，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形 AFBDcE，它的面积为 1；取 ABc 和 DEF 各边中点，连接成正六角星形 A1F1B1D1c1E1，如图 (2)中阴影部分；取A1B1c1 和 D1E1F1 各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2c2E2，如图 (3)中阴影部分；如此下去 ，则正六角星形 A4F4B4D4c4E4 的面积为 _ 6 / 10 5如图，在一单位为 1 的方格纸上， A1A2A3 ， A3A4A5 ，A5A6A7 ， ，都是斜边在 x 轴上、斜边长分别为2,4,6， 的等腰直角三角形若 A1A2A3 的顶点坐标分别为 A1(2,0)， A2(1， 1)， A3(0,0)，则依图中所示规律，AXX 的坐标为 _ 三、解答题 6观察下列算式： 13 22 3 4 1 24 32 8 9 1 35 42 15 16 1 _ _ (1)请你按以上规律写出第 4 个算式； (2)把这个规律用含字母 n(n 为正整数 )的式子表示出来； (3)你认为 (2)中所写出的式子一定成立吗？并说明理由 7观察图形，解答问题： (1)按下表已填写的形式填写表中的空格： 图 图 图 三个角上三个数的积 1( 1)2 1( 3)( 4)( 5) 60 7 / 10 三个角上三个数的和 1 ( 1) 2 2( 3) ( 4) ( 5) 12 积与和的商 22 1 (2)请用 你发现的规律求出图 中的数 y 和图 中的数 x. 8 (1)ABc 是一张等腰直角三角形纸板， c 90 ， Ac Bc 2.要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法 (如图 1)，比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积更大？请说明理由 图 1 图 2 图 3 (2)图 1 中甲种剪法称为第 1 次剪取，记所得的正方形面积为 S1；按照甲种剪法，在余下的 ADE 和 BDF 中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第 2 次剪取，并记这两个正方形面积和为 S2(如图 2)，则 S2 _. (3)按 (1)(2)的方法，再在余下的四个三角形中，分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第 3 次剪取，并记这四个正方形的面积和为 S3(如图 3)；继续操作下去 ，则第10 次剪取时， S10 _.求第 10 次剪取后，余下的所有小三角形的面积和 参考答案 8 / 10 专题提升演练 1 B 可以发现规律：每段弧的度数都等于 60 ， kn 1kn的半径为 n，所以 lXX 60XX180 XX3. 2 D 由题意知， oA 1， oD 2， DA 5， AB AD 5，利用互余关系证得 DoAA BA1， DoAB oABA1， BA1 12AB 125， A1B1 A1c 32AB 352，同理， A2B2 32A1B1 3225，一般地 AnBn 32n5，第 XX 个正方形的面积为(AXXBXX)2 5324020，故选 D. 3 3n 2 思路一：将数列看成 1 30,1 31,1 32 ， ， 1 3(n 1)，所以第 n 个数是 1 3(n 1)，即 3n 2. 思路二：将数列看成 31 2,32 2,33 2， ， 3n 2，所以第 n 个数是 3n 2. 因为 A1， B1 分别是 EF， FD 的中点 ，所以 A1B1 12ED.因为正六角星形 A1F1B1D1c1E1 正六角星形 AFBDcE，所以正六角星形 A1F1B1D1c1E1 的面积 正六角星形 AFBDcE 的面积 122 14.所以正六角星形 A1F1B1D1c1E1的面积 14.同理正 六 角 星 形 A2F2B2D2c2E2 的 面 积 正 六 角 星 形A1F1B1D1c1E1 的 面 积 122 14 ， 所 以 正 六 角 星 形A2F2B2D2c2E2 的面积 1414 142.如此下去 ，则正六角星形 A4F4B4D4c4E4 的面积等于 144 128. 5 (2,1006) 9 / 10 6解： (1)46 52 24 25 1； (2)n(n 2) (n 1)2 1； (3)一定成立理由： 因为 n(n 2) (n 1)2 n2 2n (n2 2n 1) n2 2nn2 2n 1 1，故 (2)中的式子一定成立 7解： (1)图 ： ( 60)( 12) 5， 图 ： ( 2)( 5)17 170， ( 2) ( 5) 17 17， 17010 17. (2)图 ： 5( 8)( 9) 360， 5 ( 8) ( 9) 1， y 360( 12) 30， 图 ： 1x31 x 3 3，解得 x 2. 8解： (1)如图甲，由题意得 AE DE Ec，即 Ec 1， S 正方形 cFDE 1.如图乙，设 mN x，则由题意，得 Am mQ PN NB mN x， 3x 22，解得 x 223. S 正方形 PNmQ 2232 89. 又 1 89， 甲种剪法所得的正方形的面积更大 (2)S2 12. (3)S10 129.