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第3课：函数的单调性及其应用一 函数的单调性：当函数y=f(x)在定义域A,B内为单调递增函数或单调递减函数时，我们称该函数在A,B内具有单调性。二 单调递增函数与单调递减函数：定义：函数y=f(x)在定义域A,B内任取两个值x1与x2，令x1x2，若恒有不等式f(x1)f(x2)成立，则称y=f(x)在定义域A,B内为单调递增函数；若令x1f(x2)成立，则称y=f(x)在定义域A,B内为单调递减函数。例1：判断函数f(x)=2 +1在-1,2上的单调性。例2：下列函数在（0,1）上是增函数的是（） A y=1-x B y= C y= -+2x D y=5三常见函数的单调性1.y=ax+b (a0) 2. y=1/x (x0) 3. y=+1 (x0)四单调函数的性质：1. 若y=f(x) 在定义区间A,B是单调递增函数，若有AmnB,则有f(m)f(n)成立；若有f(m)f(n)成立，则有AmnB成立。2. 若y=f(x) 在定义区间A,B是单调递减函数，若有Amf(n)成立；若有f(m)f(n)成立，则有AmnB成立。例3：f(x)=2 +1,判断f(3 ) 与f(4) 的大小。例4：设f(x)是（,+ ）上的增函数，a为实数，则有（）A f(a)f(2a) B f()f(a) C f (+a)f(a)例5：已知函数y= +2(a-2)x+5 在区间（4，+ ）上是增函数，则实数a的取值范围是：补充：若函数y=f(x)与y=g(x)在区间a,b上都是单调递增增函数，那么h(x)= f(x) +g(x)是单调递增函数；若k0,则k*f(x)是单调递增函数；若kx2,然后比较f(x1)与f(x2)的大小（可以通过做差与做商来比较）。若f(x1)f(x2),则函数y=f(x)在定义域a,b内，为单调递增函数；若f(x1)c , 求证：a/(1+a)b/(1+b)+c/(1+c) 函数的单调性与函数的最值：1. 二者之间的关联：在一个单调区间a,b内，函数的最值是函数取a或b时，函数的值。2. 函数最大值的定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为a,b，如果存在实数M满足：1.对于任意的xa,b,都有f(x)M,并且存在x,使得f(xi)=M.函数最小值的定义类似。3. 求函数最值常用的方法：A:配方法; B:判别式法； C: 不等式法； D：换元法；例：已知函数y=f(x)对任意x,yR，总有f(x)+f(y)=f(x+y），且当x0时，f(x)0,f(1)=-2/3.(1) 求证:f(x)是R上的减函数； （2）求f(x)在-3,3上的最大值和最小值。例：已知函数f(x)=(x2+2x+a)/x,x0.当a=4时，求f(x)的最小值。 如何求复合函数的单调性：求形如y=fu(x)的单调性，为求复合函数的单调性。方法：首先确定y=u(x)和y=f(u)的函数解析式。1.先根据x的定义区间a,b求y=u(x)的单调性； 2：求出y=u(x)在单调区间内相应的值域A,B; 3:求出y=f(u)在A,B上的单调性； 4：以y=u(x)和y=f(u)的单调性为基础，根据同为增，异为减的原则确定y=fu(x)的单调性。例：求f(2x)=4x2+2x+1 的单调性。例：已知函数f(x)=8+2x-x2,g(x)=f(2-x2),试求g(x)的单调区间。本节课总结：数学综合能力提高篇:1. 定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)= ,且对任意x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y).a) 求证：f(x)为奇函数；b) 若f(k)+f()b0),求f(x)的单调区间，并证明f(x)在其单调区间上的单调性。 4.求f(x2+1)=3x2+2x+1 的单调性。5. 已知函数f