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矩阵合同与相似 小编语：为你精心整理的矩阵合同与相似,希望对你有帮助! 如果喜欢就请继续关注我们厦门培训考试网（）的后续更新吧！矩阵合同与相似篇一：矩阵的等价,相似 合同的关系及应用 目 录 摘 要 . 1 1引言 . 2 2矩阵间的三种关系 . 2 2.1 矩阵的等价关系. 2 2.2 矩阵的合同关系 . 3 2.3. 矩阵的相似关系 . 3 3 矩阵的等价、合同和相似之间的联系与区别 . 4 3.1矩阵的相似与等价之间的关系与区别.4 3.2 矩阵的合同与等价之间的关系与区别.5 3.2 矩阵的合同与等价之间的关系与区别.5 4矩阵的等价、合同和相似的应用 .6 4.1矩阵等价的应用.7 4.2矩阵相似的应用.9 4.3矩阵合同的应用.9 4.4三种关系在概率统计中的应用.10 5结论.12 结束语.12 参考文献.13 摘 要: 本文主要了解矩阵的三种的关系的性质、联系、区别及应用，它们之间的结论和定理并应用到各个相应的领域。并且详细说明了三者的相同点和不同点。 关键字： 矩阵的等价关系及应用，矩阵的相似关系及应用，矩阵的关系及应用 1.引言 高等代数中我们讨论了矩阵的三种不同关系，它们分别为矩阵的等价、矩阵的相似和矩阵的合同等关系那么为了更好的掌握它们，我们不仅要了解它们的定义、性质还要了解它们间的异同点，总结它们的规律，并且要了解它们在各个领域的应用，我们需要更好的知道在什么条件下等价、合同、相似是可以相互转化的，加什么条件才可以相互转化，如果不能相互转化，那么你能找到相应的特例吗？另外，三种矩阵的应用你知道它具体应用到什么领域吗?是如何应用的？ 2.矩阵的三种关系 2.1矩阵的等价关系 定义2.1.1 : 两个s?n矩阵A,B等价的充要条件为：存在可逆的s阶矩阵p与可逆的 n阶矩阵Q，使得B?PAQ 矩阵A与B等价必须具备的两个条件： （1）矩阵A与B必为同型矩阵（不要求是方阵）. （2）存在s 阶可逆矩阵p和n阶可逆矩阵Q, 使B?PAQ. 2.1.2矩阵等价的性质： （1）反身性：即A?A. （2）对称性：若A?B，则B?A. （3）传递性：若A?B，B?C，则A?C. (4)A等价于B的充要条件是秩（A）=秩（B） ?Er?0 (5)设A为mn矩阵，秩（A）=r，则A等价于?Er PAQ?0 ?使 0? ?0?. 0? ?0?，即存在m级可逆矩阵P，n级可逆矩阵Q， ?1 ?0 (6)(Schur定理) 任何n级复方阵A必相似于上三角形矩阵，即A相似于? ? *? ?n?其中?1,?,?n 为矩阵A的特征值. 定理2.2.1： 若A为m?n矩阵，并且r(A)?r，则一定存在可逆矩阵P（m阶）和Q（n 阶），?Ir 使PAQ? ?00? ?B，其中Ir为r阶单位矩阵. ?0?m?n 推论2.2.1：设A、B是两m?n矩阵，则A?B当且仅当r(A)?r(B). 2.2 矩阵的合同关系 定义2.2.1 ：设A,B均为数域p上的n阶方阵，若存在数域p上的n阶可逆矩阵p，使得PTAP?B,则称矩阵为合同矩阵（若数域p上n阶可逆矩阵p为正交矩阵），由矩阵的合同关系，得出矩阵A与 B合同必须同时具备的两个条件： (1) 矩阵A与B不仅为同型矩阵而且是方阵. (2) 存在数域p上的n阶矩阵p,PTAP?B 2.2.2矩阵合同的性质： （1）反身性：任意矩阵A都与自身合同. （2）对称性：如果B与A合同，那么A也与B合同. （3）传递性：如果B与A合同，C又与B合同，那么C与A合同. (4) 合同的两矩阵有相同的二次型标准型. (5) 在数域P上，任一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵. (6) 矩阵合同与数域有关. 因此矩阵的合同关系也是等价关系，而且由定义可以直接推得：合同矩阵的秩等. 定理2.2.1 ：数域F上两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵合同. 定理2.2.1 ：复数域上秩为r的二次型，可以用适当的满秩线性变换化为标准形： f?y1?y2?yr 222 2.3. 矩阵的相似关系 定义2.3.1设A,B均为数域p上n阶方阵，若存在数域p上n阶可逆矩阵p使P?1AP?B,则称矩阵A与B为相似矩阵（若n级可逆矩阵p为正交阵，则称A与B为正交相似矩阵）. 由矩阵的相似关系，不难得到矩阵A与B相似，必须同时具备两个条件 (1) 矩阵A与B不仅为同型矩阵，而且是方阵 (2) 在数域p上n阶可逆矩阵P，使得P?1AP?B 2.3.2相似矩阵的性质 (1)反身性 : A?ETAE ; (2)对称性 :由B?CAC即得A?C T ?1 ? T BC ?1 ; T TT （3）传递性: A1?C1AC1和A2?C2A1C2即得 A2?C1C2?A?C1C2? (4) P ?1 (k1A1?k2A2)P?k1PA1P?k2PA2P（其中k1,k2是任意常数）； ?1?1(5）P ?1 (A1A2)P?(PA1P)(PA2P)； ?1?1 (6）若A与B相似，则Am与Bm相似（m为正整数）； (7) 相似矩阵有相同的秩，而且，如果B?P ?1 AP为满秩矩阵，那么 B ?1 ?(PAP) ?1?1 ?PAP. ?1?1 即满秩矩阵如果相似，那么它们的逆矩阵也相似. (8）相似的矩阵有相同的行列式； 即：如果B?P ?1 AP，则有：B?PAP?P ?1?1 AP?A (9）相似的矩阵或者都可逆，或者都不可逆；并且当它们可逆时，它们的逆矩阵相似； 设B?P ?1 AP，若B可逆，则B ?1 ?1 ?(PAP) ?1?1 ?PAP从而A可逆.且B ?1?1?1 与A ?1 相似. 若B不可逆，则(PAP)不可逆，即A也不可逆. 下面这个性质是一个重要的结论，因此我们把它写成以下定理 定理2.3.1 相似矩阵的特征值相同. 推论2.3.1 相似矩阵有相同的迹 3.矩阵的等价、合同和相似之间的联系与区别 3.1 矩阵的相似与等价之间的关系与区别 定理3.1.1相似矩阵必为等价矩阵，但等价矩阵未必为相似矩阵 ?1 证明： 设n阶方阵A,B相似，由定义3知存在n阶可逆矩阵P1，使得P1AP1?B，此时若记 P?P1,Q?P1 ,则有PAQ?B,因此由定义1得到n阶方阵A,B等价 ?1 但对于矩阵A? ?1?0 01 0?1 B?,?0?0 21 1? ?等价，A与B并不相似，即等价矩阵未必相似 0? 但是当等价的矩阵满足一定条件时，可以是相似的，如下面定理 定理 3.1.2：对于n阶方阵A,B，若存在n阶可逆矩阵P,Q 使PAQ?B,(A与B等价)，且PQ?E (E为n阶单位矩阵)，则A与B相似 证明： 设对于n阶方阵A与B,若存在n阶可逆矩阵P,Q,使PAQ?B,即A与B等价又知PQ?E, ?1?1 若记P?P1 ,那么Q?P1,也即P1AP1?B,则矩阵A,B也相似 3.2 矩阵的合同与等价之间的关系与区别 定理3.2.1：合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为合同矩阵 T 证明： 设n阶方阵A,B合同，由定义2得，存在n阶可逆矩阵P1，使得P1AP1?B， 若记P?P1,Q?P1,则有PAQ?B因此由定义1得到n阶方阵A,B等价 T ?1 但对于矩阵A? ?00?1?,B?1?02? ?等价，A与B并不合同，即等价矩阵未必合同 1? 什么时候等价矩阵是合同的？ 只有当等价矩阵的正惯性指数相同时等价矩阵是合同矩阵 3.3 矩阵的合同与相似之间的关系与区别 合同矩阵未必是相似矩阵 例 单位矩阵 E 与 2E. 两个矩阵的正负惯性指数相同故合同 但作为实对称矩阵的特征值不同, 故不相似 相似矩阵未必合同 例如A与B相似，则存在可逆矩阵P使B=PBP,如果P的逆矩阵与P的转置矩阵不相等，则相似矩阵不是合同矩阵 定理3.3.1： 正交相似矩阵必为合同矩阵，正交合同矩阵必为相似矩阵 证明：若存在一个正交矩阵P,即PTP?E使得P?1AP?B即AB，同时有B?P?1AP?PTAP，所以A与B合同. 同理可知，若存在一个正交矩阵P，使得PTAP?B即A与B合同，则有 B?PAP?PAP?AB T ?1 定理3.3.2：如果A与B都是n阶实对称矩阵，且有相同的特征根则A与B既相似又合同 证明：设A与B的特征根均为?1,?2,?n，由于A与n阶实对称矩阵，一定存在一个n阶正交矩阵 ?1? ?1 Q使得QAQ? ?1? ?1 PBP? ? ? ?同时，一定能找到一个正交矩阵P使得?n? ?2 . . ?2 . . ? ?1?1? ，从而有QAQ?PBP ?n? 将上式两边左乘P和右乘P T ?1 ,得B?PQ?1AQP ?1 ?QP ? ?1?1 ? ?QP ? ?1?1 ? AQP ? ?1 ? T?1 由于QQ?E，PP?E，PP?E矩阵合同与相似篇二：如何判断矩阵的等价,相似,合同？ 如何矩阵的等价,相似,合同？ (1)A与B等价:A可以经一系列初等变换得B?PAQ?B?r(A)?r(B) (A,B同型,P,Q可逆.)判断等价只需同型且秩相等. (2)A与B相似:P?1AP?B,P可逆. 相似有四个必要条件:秩相同,特征值相同,特征多项式相同,行列式相同，如何判断两个一般的矩阵是否相似，考研大纲并不要求，但是如果A,B相似于相同的对角阵，则由相似关系有传递性知A,B相似. (3)A与B合同(仅限于对称矩阵):CTAC?B(C可逆)?A与B的正负惯性指数相同. 判断合同前提都是实对称矩阵，然后判断正负特征值的个数是否完全相同，也即正负惯性指数相同即可. 注:A,B合同?A,B等价 ?10?11?A,B相似A,B等价,例A?,B?等价但不相似 0101? 在A,B实对称的前提下,A,B相似?A,B合同. 【例1】 判定下列矩阵哪些等价，哪些相似, 哪些合同? ?111?110?100?000?A?000?,B?001?,C?000?,D?011?. ?000?000?000?011? 【解】先看等价：r(A)?1,r(B)?2,r(C)?1,r(D)?1，故A,C,D等价. 再看相似：r(A)?r(C)?r(D)?1,r(B)?2,排除B，考虑A,C,D，A,C的特征值为1,0,0，D的特征值为2,0,0，从而排除D仅仅考虑A,C，A的特征值为1,0,0，且二重特征值0对应两个线性无关的特征向量， ?100?A相似于对角阵C?000?，从而A,C相似. ?000? 最后看合同：合同仅限对称阵，仅仅考虑C,D，C的特征值为1,0,0，D的特征值为2,0,0，C的正惯性指数为1,负惯性指数为0，D的正惯性指数也为1,负惯性指数为0，C,D合同. ?111?300?【例2】 判断A?111?,B?000?是否等价，相似,合同,? ?111?000?【解】r(A)?r(B)?1，二者等价； ?300?A为对称阵一定相似于对角阵B?000?；从而A一定合同于对角阵B. ?000?矩阵合同与相似篇三：矩阵的等价,合同,相似的联系与区别 目 录 摘 要 . I 引言 . 1 1矩阵间的三种关系 . 11.1 矩阵的等价关系 . 11.2 矩阵的合同关系 . 11.3. 矩阵的相似关系 . 2 2 矩阵的等价、合同和相似之间的联系 . 3 3矩阵的等价、合同和相似之间的区别 . 5 结束语 . 6 参考文献. 6摘 要:等价、合同和相似是矩阵中的三种等价关系，在矩阵这一知识块中占有举 足轻重的地位.矩阵可逆性、矩阵的对角化问题、求矩阵特征根与特征向量、化二次型的标准形等诸多问题的解决都要依赖于这三种等价关系. 根据等价、合同和相似的联系的研究的结论是其一可利用等价矩阵的性质来确定相似矩阵或合同矩阵的性质其二可利用正交相似与正交合同的一致性，得到二者间彼此的转化 关键词:矩阵的等价;矩阵的相似;矩阵的合同;等价条件 引言： 在高等代数中，讨论了矩阵的三种不同关系，它们分别为矩阵的等价、矩阵的相似和矩阵的合同等关系本文首先介绍了这三种关系以及每种关系的定义，性质，相关定理及各自存在的条件，然后给出了这三种矩阵关系间的联系，即相似矩阵、合同矩阵必为等价矩阵，相似为正交相似，合同为正交合同时，相似与合同一致还有矩阵的相似与合同之等价条件并对这些结论作了相应的理论证明，最后给出了他们的区别和不变量. 1矩阵间的三种关系 1.1 矩阵的等价关系 定义1两个s?n矩阵A,B等价的充要条件为：存在可逆的s阶矩阵p与可逆的 n阶矩阵Q，使B?PAQ 由矩阵的等价关系，可以得到矩阵A与B等价必须具备的两个条件： （1）矩阵A与B必为同型矩阵（不要求是方阵）. （2）存在s 阶可逆矩阵p和n阶可逆矩阵Q, 使得B?PAQ. 性质1 （1）反身性：即A?A. （2）对称性：若A?B，则B?A （3）传递性：即若A?B，B?C，则A?C 定理1 若A为m?n矩阵，且r(A)?r，则一定存在可逆矩阵P（m阶）和 ?Ir Q（n 阶），使得PAQ? ?0 0? ?B.其中Ir为r阶单位矩阵. ?0?m?n 推论1 设A、B是两m?n矩阵，则A?B当且仅当r(A)?r(B). 1.2 矩阵的合同关系 定义2设A,B均为数域p上的n阶方阵，若存在数域p上的n阶可逆矩阵 p ，使得PTAP?B,则称矩阵为合同矩阵（若数域p上n阶可逆矩阵p为正交矩 阵），由矩阵的合同关系，不难得出矩阵A与B合同必须同时具备的两个条件： (1) 矩阵A与B不仅为同型矩阵，而且是方阵. (2) 存在数域p上的n阶矩阵p,PTAP?B性质2 （1）反身性：任意矩阵A都与自身合同. （2）对称性：如果B与A合同，那么A也与B合同. （3）传递性：如果B与A合同，C又与B合同，那么C与A合同. 因此矩阵的合同关系也是等价关系，而且由定义可以直接推得：合同矩阵的秩等. 定理2 数域F上两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵合同. 定理3 复数域上秩为r的二次型，可以用适当的满秩线性变换化为标准形： 22 f?y12?y2?yr 1.3. 矩阵的相似关系 定义3设A,B均为数域p上n阶方阵，若存在数域p上n阶可逆矩阵p使得P?1AP?B,则称矩阵A与B为相似矩阵（若n级可逆矩阵p为正交阵，则称A与 B 为正交相似矩阵） 由矩阵的相似关系，不难得到矩阵A与B相似，必须同时具备两个条件 (1) 矩阵A与B不仅为同型矩阵，而且是方阵 (2) 在数域p上n阶可逆矩阵P，使得P?1AP?B 性质3 (1)反身性 A?ETAE ; (2)对称性 由B?CTAC即得A?C?1?BC?1; （3）传递性 A1?C1TAC1和A2?C2TA1C2即得 A2?C1C2?A?C1C2? 总之，合同是一种矩阵之间的等价关系，而且经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的. (4) P(k1A1?k2A2)P?k1PA1P?k2PA2P（其中k1,k2是任意常数）； (5）P(A1A2)P?(PA1P)(PA2P)； (6）若A与B相似，则Am与Bm相似（m为正整数）； (7) 相似矩阵有相同的秩，而且，如果B?PAP为满秩矩阵，那么 B ?1 ?1 T T ?1?1?1 ?1?1?1 ?(PAP) ?1?1 ?PAP. ?1?1 即满秩矩阵如果相似，那么它们的逆矩阵也相似. (8）相似的矩阵有相同的行列式；因为如果B?P?1AP，则有：B?P?1AP?P?1AP?A (9）相似的矩阵或者都可逆，或者都不可逆；并且当它们可逆时，