压轴题放缩法技巧全总结

1 / 26 压轴题放缩法技巧全总结 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 高考数学备考之放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例 1.(1)求的值 ;(2)求证 :. 解析 :(1)因为 ,所以 (2)因为 ,所以 技巧积累 :(1)(2) (3) 例 2.(1)求证 : (2)求证 :(3)求证 : (4)求证： 解析 :(1)因为 ,所以 (2) (3)先运用分式放缩法证明出 ,再结合进行裂项 ,最后就可以得到答案 2 / 26 (4)首先 ,所以容易经过裂项得到 再证而由均值不等式知道这是显然成立的， 所以 例 3.求证 : 解析 :一方面 :因为 ,所以 另一方面 : 当时 ,当时 , 当时 , 所以综上有 例 4.(XX年全国一卷 )设函数 .数列满足 . 设，整数 .证明 :. 解析 :由数学归纳法可以 证明是递增数列 , 故若存在正整数 ,使 ,则 , 若 ,则由知 , 因为 ,于是 例 5.已知 ,求证 :. 解析 :首先可以证明 : 所以要证 只要证 : 故只要证 , 即等价于 , 即等价于而正是成立的 ,所以原命题成立 . 3 / 26 例 6.已知 ,求证 :. 解析 : 所以 从而 例 7.已知 ,求证 : 证明 :, 因为 ,所以 所以 二、函数放缩 例 8.求证： . 解析 :先构造函数有 ,从而 cause 所以 例 9.求证 :(1) 解析 :构造函数 ,得到 ,再进行裂项 ,求和后可以得到答案 函数构造形式 :, 例 10.求证 : 解析 :提示 : 函数构造形式 : 当然本题的证明还可以运用积分放缩 如图 ,取函数 , 4 / 26 首先 :,从而 , 取有 , 所以有 , 相加后可以得到 : 另一方面 ,从而有 取有 , 所以有 ,所以综上有 例 11.求证 :和 .解析 :构造函数后即可证明 例 12.求证 :解析 :,叠加之后就可以得到答案 函数构造形式 :(加强命题 ) 例 13.证明 : 解析 :构造函数 ,求导 ,可以得到 : ,令有 ,令有 , 所以 ,所以 ,令有 , 所以 ,所以 例 14.已知证明 . 解析 :, 然后 两边取自然对数 ,可以得到 然后运用和裂项可以得到答案 ) 放缩思路： 。于是， 即 5 / 26 注：题目所给条件（）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论来放缩： ， 即 例 16.(XX年福州市质检 )已知函数若 解析 :设函数 函数）上单调递增，在上单调递减 . 的最小值为，即总有 而 即 令则 例 15.(XX 年厦门市质检 )已知函数是在上处处可导的函数 ,若在上恒成立 . (I)求证：函数上是增函数； (II)当； (III)已知不等式时恒成立 ， 求证： 解析 :(I),所以函数上是增函数 (II)因为上是增函数 ,所以 6 / 26 两式相加后可以得到 (3) 相加后可以得到 : 所以 令 ,有 所以 (方法二 ) 所以 又 ,所以 三、分式放缩 姐妹不等式 :和 记忆口诀 ” 小者小 ,大者大 ” 解释 :看 b,若 b 小 ,则不等号是小于号 ,反之 . 例 19.姐妹不等式 :和 也可以表示成为 和 解析 :利用假分数的一个性质可得 7 / 26 即 例 20.证明 : 解析 :运用两次次分式放缩 : (加 1) (加 2) 相乘 ,可以得到 : 所以有 四、分类放缩 例 21.求证 : 解析 : 例 22.(XX 年全国高中数学联赛加试改编 )在平面直角坐标系中 ,轴正半轴上的点列与曲线（ 0 ）上的点列满足，直线在 x 轴上的截距为 .点的横坐标为 ,. (1)证明 4， ;(2)证明有，使得对都有 . 解析 :(1)依题设有：，由得： ,又直线在轴上的截距为满足 显然，对于，有 8 / 26 (2)证明：设，则 设，则当时， 。 所以，取，对都有： 故有 成立。 例 23.(XX 年泉州市高三质检 )已知函数，若的定义域为 1， 0，值域也为 1， 0.若数列满足，记数列的前项和为，问是否存在正常数 A，使得对于任意正整数都有？并证明你的结论。 解析 :首先求出 , , ,故当时 , 因此，对任何常数 A，设是不小于 A 的最小正整数， 则当时 ,必有 . 故不存在常数 A 使对所有的正整数恒成立 . 例 24.(XX年中学教学参考 )设不等式组表示的平面区域为 , 设内整数坐标点的个数为 .设 ,当时 ,求证 :. 解析 :容易得到 ,所以 ,要证只要证 ,因为 ,所以原命题得证 9 / 26 五、迭代放缩 例 25.已知 ,求证 :当时 , 解析 :通过迭代的方法得到 ,然后相加就可以得到结论 例 26.设 ,求证 :对任意的正整数 k,若 kn 恒有 :|Sn+kSn|0,b0,求证： 解析 :因为 a+b=1,a0,b0,可认为成等差数列，设， 从而 例 47.设，求证 . 解析 :观察的结构，注意到，展开得 ，即，得证 . 例 48.求证 :.解析 :参见上面的方法 ,希望读者自己尝试 !) 例 42.(XX年北京海淀 5 月练习 )已知函数，满足： 16 / 26 对任意，都有； 对任意都有 . （ I）试证明：为上的单调增函数； （ II）求； （ III）令，试证明： . 解析 :本题的亮点很多 ,是一道考查能力的好题 . (1)运用抽象函数的性质判断单调性 : 因为 ,所以可以得到 , 也就是 ,不妨设 ,所以 ,可 以得到 ,也就是说为上的单调增函数 . (2)此问的难度较大 ,要完全解决出来需要一定的能力 ! 首先我们发现条件不是很足 ,尝试探索看看按 (1)中的不等式可以不可以得到什么结论 ,一发现就有思路了 ! 由 (1)可知 ,令 ,则可以得到 ,又 ,所以由不等式可以得到 ,又 ,所以可以得到 接下来要运用迭代的思想 : 因为 ,所以 , , 在此比较有技巧的方法就是 : ,所以可以判断 当然 ,在这里可能不容易一下子发现这个结论 ,所以还可以17 / 26 列项的方法 ,把所有项数尽可能地列出来 ,然后就可以得到结论 . 所以 ,综合 有 = (3)在解决的通项公式时也会遇到困难 . ,所以数列的方程为 ,从而 , 一方面 ,另一方面 所以 ,所以 ,综上有 . 例 49.已知函数 fx的定义域为 0,1，且满足下列条件： 对于任意 0,1，总有，且； 若则有 （ ）求 f0 的 值 ；（ ） 求 证 ：fx4 ； （ ）当时，试证明： . 解析 :（ ）解：令，由 对于任意 0,1，总有， 又由 得即 （ ）解：任取且设则 因为， 所以，即 . 当 0,1时， . （ ）证明：先用数学归纳法证明： （ 1）当 n=1时，不等式成立； （ 2）假设当 n=k时， 18 / 26 由 得 即当 n=k+1时，不等式成立 由（ 1）、（ 2）可知，不等式对一切正整数都成立 . 于是，当时， 而 0,1，单调递增 所以， 例 50.已知：求证： 解析 :构造对偶式：令 则 又（ 十一、积分放缩 利用定积分的保号性比大小 保号性是指，定义在上的可积函数，则 . 例 51.求证： . 解析 :， ， 时， ， . 利用定积分估计 和式的上下界 定积分产生和应用的一个主要背景是计算曲边梯形的面积，现在用它来估计小矩形的面积和 . 例 52.求证：， . 19 / 26 解析 :考虑函数在区间上的定积分 . 如图，显然 - 对求和， . 例 53.已知 .求证： . 解析 :考虑函数在区间上的定积分 . - . 例 54.（ XX年全国高考江苏卷）设，如图，已知直线及曲线：，上的点的横坐标为（） .从上的点作直线平行于轴，交直线于点，再从点作直线平行于轴，交曲线于点 .的横坐标构成数列 . （ ）试求与的关系，并求的通项公式； （ ）当时，证明； （ ）当时，证明 . 解析 :（过程略） . 证明（ II）：由知， ， . 当时， . 证明（ ）：由知 . 恰表示阴影部分面积， 显然 20 / 26 . 奇巧积累 :将定积分构建的不等式略加改造即得 “ 初等 ” 证明，如： ； ； ； . 十二、部分放缩 (尾式放缩 ) 例 55.求证 : 解析 : 例 56.设求证： 解析 : 又（只将其中一个变成，进行部分放缩）， 于是 例 57.设数列满足，当时 证明对所有有； 解析 :用数学归纳法：当时显然成立，假设当时成立即，则当时 ，成立 。 利用上述部分放缩的结论来放缩通项，可得 注：上述证明用到部分放缩，当然根据不等式的性质也可以21 / 26 整体放缩：；证明就直接使用了部分放缩的结论 十三、三角不等式的放缩 例 58.求证 :. 解析 :(i)当时 , (ii)当时 ,构造单位圆 ,如图所示 : 因为三角形 AoB的面积小于扇形 oAB的面积 所以可以得到 当时 所以当时有 (iii)当时 ,由 (ii)可知 : 所以综上有 十四、使用加强命题法证明不等式 (i)同侧加强 对所证不等式的同一方向 (可以是左侧 ,也可以是右侧 )进行加强 .如要证 明 ,只要证明 ,其中通过寻找分析 ,归纳完成 . 例 59.求证 :对一切 ,都有 . 解析 : 从而 当然本题还可以使用其他方法 ,如 : 22 / 26 所以 . (ii)异侧加强 (数学归纳法 ) (iii)双向加强 有些不等式 ,往往是某个一般性命题的特殊情况 ,这时 ,不妨 ” 返璞归真 ”, 通过双向加强还原其本来面目 ,从而顺利解决原不等式 .其基本原理为 : 欲证明 ,只要证明 :. 例 60.已知数列满足 :,求证 : 解析 :,从而 ,所以有 ,所以 又 ,所以 ,所以有 所以 所以综上有 引申 :已知数列满足 :,求证 :. 解析 :由上可知 ,又 ,所以 从而 又当时 ,所以综上有 . 同题引申 :(XX年浙江高考试题 )已知数列 ,. 记 ,.求证 :当时 . (1);(2);(3). 解析 :(1),猜想 ,下面用数学归纳法证明 : (i)当时 ,结论成立 ; 23 / 26 (ii)假设当时 ,则时 , 从而 ,所以 所以综上有 ,故 (2)因为则 , 相加后可以得到 :,所以 ,所以 (3)因为 ,从而 ,有 ,所以有 ,从而 ,所以 ,所以 所以综上有 . 例 61.(XX年陕西省高考试题 )已知数列的首项 , (1)证明 :对任意的 ,; (2)证明 :. 解析 :(1)依题 ,容易得到 ,要证 , 即证 即证 ,设所以即证明 从而 ,即 ,这是显然成立的 . 所以综上有对任意的 , (法二 ) ,原不等式成立 (2)由 (1)知，对任意的，有 24 / 26 取， 则 原不等式成立 十四、经典题目方法探究 探究 1.(XX 年福建省高考 )已知函数 .若在区间上的最小值为 , 令 .求证 :. 证明 :首先 :可以得到 .先证明 (方法一 )所以 (方法二 )因为 ,相乘得 : ,从而 . (方法三