高考数学典型易错题会诊下.doc

高考数学典型易错题会诊下命题角度 3空间距离1典型例题在空间中与一个ABC三边所在直线距离都相等的点的集合是 A一条直线B两条直线C三条直线D四条直线 考场错解设该点为P且P在平面ABC上的射影为O因为P到ABC三边所在直线距离都相等所以O到ABC的三边直线的距离都相等即O为ABC的内心所以本题中符合条件的点在过0且与平面ABC垂直的直线上所以选A 专家把脉 在平面上与一个三角形三边所在直线等距离的点不只内心一个实际任意两个角的外角平分线的交点我们称其为傍心也符合到三角形三边所在直线等距离 对症下药 设该点为P且P在平面ABC上的射影为O因为P到ABC三边所在直线距离都相等所以O到ABC的三边所在直线的距离都相等即O为ABC的内心或傍心所以本题中符合题意的点在过内心或傍心且与平面ABC垂直的直线上这样的直线有4条所以选D2 典型例题如图10-15在棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1中O是正方形A1B1C1D1的中心点P在棱CC1上且CC1 4CP 1求直线AP与平面BCC1B1所成角的大小结果用反三角表示 2设O点在平面D1AP上的射影为H求证D1HAP 3求点P到平面ABD1的距离 考场错解 第3问ABCDA1B1C1D1为正方体AB面BCC1B1BPABBP即为P到平面ABD1的距离在RtBCP中BP 专家把脉 线面垂直的判定有误错解中BPAB但BP与平面ABD1不垂直所以P到平面ABD1的距离不是BP 正解一1如图10-16连接BPAB平面BCC1B1AP与平面BCC1B1所成的角就是APBCC1 4CPCC1 4CP 1在RtAPB中PCB为直角BC 4CP 1故BP 在RtAPB中APB为直角tanAPB APB arctan 2 连接A1C1B1D1A1B1C1D1为正方形D1OA1C1又AA1底面A1B1C1D1AA1D1OD1O平面A1APC1由于AP平面A1AOC1D1OAP平面D1AP的斜线D1O在这个平面内的射影是D1HD1HAP 3连接BC1在平面BCC1B1中过点P作PQBC1于点QAB平面BCC1B1PQ平面BCC1B1PQABPQ平面ABC1D1PQ就是P到平面ABD1的距离在RtC1PQ中C1QP 90PC1Q 45PC1 3PQ 即点P到平面ABD1的距离为 正解二1以分别为x轴y轴z轴的正方向建立空间坐标系AB平面BCC1B1AP与平面BCC1B1所成的角为APBCC1 4CPCC1 4CP 1A400P041B440 4-4-1cosAPB 直线AP与平面BCC1B1所成的角为arccos 2 连接D1O由1有D1004O224 220又因为D1AP的斜线D1O在这个平面内的射影是D1H D1HAP 3由正方体的性质不难得出为平面ABD1的一个法向量B1444C040P041 -40-4 -401 3典型例题如图10-17在三棱锥VABC中底面ABC是以B为直角的等腰直角三角形又V在底面ABC上的射影在线段AC上且靠近C点且AC 4VA VB与底面ABC成45角 1求V到底面ABC的距离 2求二面角VABC的大小 考场错解1过V作VDAC垂足为D连接BD由已知有VD平面ABC在直角三角形VBD中VBD为直线VB与底面ABC所成的角VBD 45BD V到底面ABC的距离等于2 专家把脉 BD与AC垂直是错误的BD错误的原因是缺少函数方程思想VD直接计算在本题中做不到而应设未知数建立方程来求解 对症下药 1如图10-18在平面VAC中过V作VDAC于D连接BD由已知VD平面ABCVBD为VB与底面所成的角VBD 45设CD x则在RtVAD中VD2 VA2-AD2 14-x-22 -x28x-2在直角三角形VBD中VDB 90VBD 45BD2 x28-4 x2-4x8在直角三角形VBD中VDB 90VBD 45VD BD即-x28x-2 x2-4x8解得x 1或x 5又由题意x 5应舍去x 1此时VD V到底面ABC的距离为 2 过D作OEAB于E连结VEVD底面ABCDEABVEAB VED为二面角VABC的平面角在平面ABC中CBABDEABDEBC由1知在RtVDE中VD VDE 90DEtanVED 二面角VABC的大小为arctan专家会诊 空间中的距离以点到面的距离为中心内容大多数距离问题都可以转化为点到面的距离求法比较灵活主要有1直接法过该点作面的垂线求出垂线段的长度不过不能只顾作计算不出来应先利用线面的位置关系判断垂足的位置2间接解法利用三棱锥的体积进行等积变换来求解3利用空间向量求解公式是其中n为平面的法向量a为过该点的平面的一条斜线段所确定的一个向量考场思维训练如图已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都为a P为A1B上的点1试确定的值使得PCAB答案2若求二面角PACB的大小答案ACB的平角 PN 在RtPQN中tanPQN 3在2的条件下求C1到平面PAC的距离答案N为BC中点M为A1B的中点P为C1D1的中点如图1求点P到平面B1MN的距离答案A1B1C1D1为长方体C1G平面B1MN在距形BCC1B1中BB1 AA1 9B1C1 BC 6B1N 6BB1N 30C1B1G 60C1G 6P到平面B1MN的距离为92求PC与平面B1MN所成的角答案3 已知斜三棱柱ABCA1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直ABC 90BC 2AC 2且AA1A1CAA1A1C如图所示 1求侧棱AA1与底面ABC所成二面角的大小答案 2求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小答案又BCABDEBCDE tanA1ED A1ED 60 侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角为60 3求顶点C到侧面A1ABB1的距离答案C到平面A1ABB1的距离为命题角度 4简单几何体1典型例题如图10-22在正三棱柱ABCA1B1C1中AB 3AA1 4M为AA1的中点P是BC上一点且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为设这条最短路线与CC1的交点为N 求1该三棱柱侧面展开图的对角线长 2PC与NC的长 3平面NMP与平面ABC所成二面角锐角的大小用反三角函数表示考场错解 第2问过M作MNCC1于N则由已知有MNNP 3NP NP -3此时N为CC1的中点NC 2PC 专家把脉 依题意是MNNP的最小值为而错解中认为MN最小则MNNP就最小这是错误的对症下药 1 正三棱柱ABCA1B1C1的侧面展开图是一个长为9宽为4的矩形其对角线长为2如图10-23将侧面BB1C1C绕棱CC1旋转120使其与侧面AA1C1C在同一平面上点P运动到P1的位置连接MP1则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线设PC x则P1C x在RtMAP1中由勾股定理得3x222 29求得x 2 PC P1C 23解法一连接PP1则PP1就是MNP与平面ABC的交线作NHPP1于H又CC1平面ABC连接CH由三垂线定理得CHPP1NHC就是平面MNP与平面ABC所成二面角的平面角锐角在RtPHC中PCH PCP1 60CH 在RtNCH中tanNHC NHC arctan平面NMP与平面ABC所成二面角锐角的大小为arctan解法2MPN在ABC上的射影为APC设所求的角为则cos 故平面NMP与平面ABC所成二面角锐角的大小为arccos2 典型例题 如图直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD为平行四边形其中AB BD BC 1AA1 2E为DC中点点F在DD1上且DF 1求异面直线BD与A1D1的距离2EF与BC1是否垂直请说明理由3求二面角EFBD的正切值考场错解 第2问ABCDA1B1C1D1为直四棱柱EF在面BCC1B1上的射影为CC1而BC1与BC1不垂直EF与BC1不垂直专家把脉 把直四棱柱看成长方体了实际上长方体是底面为长方形的直四棱柱本题中的底面ABCD为平行四边形所以ABCDA1B1C1D1不是长方体也就是说EF在面BCC1B1上的射影不是CC1对症下药 正解一1ABCDA1B1C1D1为直四棱柱DD1AD1DD1BDDD1为A1D1与BD的公垂线段DD1 2A1D1与BD的距离为22BD BC 1CD BCD为等腰直角三角形E为CD的中点BECD又ABCDA1B1C1D1为直四棱柱BE面CDD1C1BEEF在RtFDE中FDE 90FD DE EF2 在RtC1CE中C1CE 90EC CC1 AA1 2 DE21 在RtD1FC1中FD1C1 90D1F D1C1 FC21 EF2EC21EFEC1得EF平面BEC1FFBC13如图10-24过E作EOBD过O作OMBF于M连接EM易证得EO平面BDFEMO为二在角EFBD的平面角DBC 90EOBDEOBC又E为CD中点EO 在BDF中BOMBFDOM 在RtEOM中tanEMO EMO arctan二面角EFBD的大小为arctan同正解一由已知可得ADB 90DD1平面ABCD以分别为x轴y轴z轴的正方向建立空间坐标系F00EA100D1002 -102又BC1AD1EFAD1可以得平面BDF的一个法向量为 -100B010设平面BEF的一个法向量为n xyz 由n令x 1得y -1z -4 平面BEF的一个法向量为n 1-1-4cos 所求二面角EFBD的大小为arccos专家会诊棱柱棱锥球是几何中的重要载体学习中除了牢固掌握有关概念性质面积体积公式之外还要灵活运用有关知识进行位置益寿延年 判断与论证进而达到计算的目的在计算时要注意把某些平面图形分离现来运用平面几何的知识来进行计算这是立体几何中计算问题的重要方法和技巧考场思维训练1 如图正四面体ABCD的棱长为1PQ分别为ABCD上两点且AP CQ 求出正四面体侧面上从P到Q的最小距离答案当经过棱AC时如图1沿AD把侧面展开AP CQ 且APCQ 四边形APCQ为平行四边形E是PQ的中点PQ 2PE在APE中PAE 60AP AE 由余弦定理有PE PQ 当经过棱AD时如图2沿AC展开此时PQ 1又PQ的最小值为2 如图已知斜三棱柱ABCA1B1C1中AC BCD为AB的中点平面A1B1C1平面ABB1A1异面直线BC1与AB1互相垂直1求证AB1平面A1CD 答案又由垂线定理可得AB1BD1CDC1D1CDAB1A1CBD1A1CAB1AB1平面A1CD2若CC1与平面ABB1A1的距离为1A1C AB1 5求三棱锥A1ACD的体积答案0A1CC1平面ABB1A1CC1到平面ABB1A1的距离为CD即为C-A1AD的高 CD 1在RtA1CD中A1C A1D 设AB1交A1DD1B于点EFA1DD1BAD DBAE EF同理EF FB1AE 3 如图所示正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长为2底面边长为1M是BC的中点在直线CC1上找一点N使MNAB1答案A1B1C1为正三棱柱M为BC中点 AMBC又侧面BCC1B1底面ABCAM平面BCC1B1 AB1在平面BCC1B1上的射影为B1M要MNAB1只须MNB1M即可如图所示建立直角坐标系M探究开放题预测预测角度 1利用三垂线定理作二面角的平面角1 如图10-28正三棱术ABCA1B1C1的所有棱长均相等D是BC上一点ADC1D1求二面角CAC1D的大小2若AB 2求直线A1B与截面ADC1的距离解题思路 求二面角的大小一般先利用三垂线定理作出二面角的平面角再通过解三角形得出结果二面角有两个半平面先要分析过哪个半平面内有一点能方便地作出另外一个半平面的垂线一般利用有两个面垂直在一个面内作交线的垂线则这条线垂直另外一个面这个性质来作本题中可以先证平面ADC1平面BCC1B1再过C作C1D的垂线则这条线与平面ADC1垂直再利用三垂线定理作出平面角第2问可求B到平面ADC1的距离解答1如图10-29ABCA1B1C1为正三棱柱CC1AD又ADC1DAD平面B1BCC1平面ADC1平面BCC1B1过C作CEC1D于E则CE平面ADC1过E作EFAC1连接FC则由三垂线定理知CFE为二面角CAC1D的平面角设AB aD是BC的中点CE 在RtEFC中sinEFC 二面角CAC1D的大小为arcsin连接A1C设A1CAC1 O连接DO则A1BDOA1B平面ADC1A1B到截面ADC1的距离等于B到ADC1的距离过B作BHC1D交C1D的延长线于H由1平面ADC1平面BCC1B1得BH平面ADC1即BH为B到面ADC1的距离BH EC 直线A1B与平面ADC1的距离为2 如图10-30ABCD中PA平面ABCDMNR分别是ABPCCD的中点1求证直线AR平面PMC2求证直线MN直线AB3若平面PDC与平面ABCD所成的二面角锐角为能束确定使直线MN是异面直线AB与PC的公垂线若能确定求出的值若不能确定说明理由解题思路 证线面平行先证线线平行证线线垂直通过线面垂直转换这是一般的解题思路用这种解题思路证12问第3问先作或找出这个二面角的平面角再通过解方程的方法求出的值解答1如图10-30ABCD为矩形MR分别为ABCD的中点AMCR四边形ARCM为平行四边形ARCMAR平面PMC2由已知可得ABMRAB平面PADABPD又RN为PCD的中位线NRPD得AB平面MNRABMN3PA平面ABCDADDCPDA为平面PDC与平面ABCD所成的二面角锐角的平面角 PDA由2知MNABABCDMNCD又MNPCMN平面PCDMNNRMNR 90在RtPDA中设AD aPD 在RtMNR中NR PD 能使直线MN是异面直线ABPC的公垂线预测角度 2求点到面的距离1如图PA平面AC四边形ABCD是矩形EF分别是ABPD的中点1求证AF平面PCE2若二面角PCDB为45AD 2CD 3i求二面角PECA的大小ii求点F到平面PCE的距离解题思路 过AF作一个平面与平面PEC相交证明AF与交线平行由于EF为中点所以取PC的中点即可分别作出PCDB和PECA的平面角求点F到平面PCE的距离可用直接法也可以用间接解法解答 1如图取PC的中点M连接MEMFFMCDFM CDAECDAE CDAEMF且AE MF四边形AFME是平行四边形AFEMAF平面CPEAF平面PCE2iPA平面ACCDAD根据三垂线定理知CDPDPDA是二面角PCDB的平面角则PDA 45于是PAD为等腰直角三角形过A作CE的垂线交CE的延长线于G连接PG根据三垂线定理知PGA为二面角PECA的大小为arctano ii 解法一AFPD又AFCDAF平面PCD而EMFAEM平面PCD又EM平面PEC平面PEC平面PCD在面PCD内过F作FHPC于H则FH为点F到平面PCE的距离由已知PD 2PF PD PC 知FH F到平面PCE的距离为解法二由EMFA知点F到平面PCE的距离可转化为点A到平面PCE的距离过点A在面PAG内作ANPG则AN为点A到平面PCE的距离可算得AN 2如图10-33在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中EF分别为棱AB和BC的中点EF与BD相交于H1求二面角B1EFB的大小2试在棱BB1上找一点M使D1M平面B1EF并证明你的结论3求D1到平面B1EF的距离解题思路 第1问二面角B1EFB的平面角为B1HB由于面D1DBB1平面B1EF过D1作D1NB1H并延长交BB1于M利用平面几何的知识判断M的位置第3问即求D1N解答 1由已知EFACABCDA1B1C1D1为正方体AC平面BDD1B1EF平面BDD1B1B1HB为二面角B1EFB的平面角在RtB1BH中B1B aBH a tanB1HB B1HB arctan即二面角B1EFB的大小为arctan 2 由1知EF平面BDD1B1平面B1EF平面BDD1B1过D1作D1NB1H垂足为N延长D1N交BB1于M得D1M平面B1EF如图建立坐标系则D00D10aH 设May0由D1MB1H得y0 M为BB1的中点3由2D1N为D1到直线B1H的距离由点到直线的距离可得 D1N aD1到面B1EF的距离为a预测角度 3折叠问题1如图10-35BCD内接于直角梯形A1A2A3D已知沿BCD三边把A1BDA2BCA3CD翻折上去恰好使A1A2A3重合于A1求证ABCD2若A1D 10A1A2 8求二面角ACDB的大小解题思路 这是一个折叠问题解这一类题的关键是分析折叠前后不变的量不变的位置关系利用这些不变来解题第1问可证AB平面ACD由AB平面ACD利用三垂线定理可作出二面角ACDB的平面角解答1如图10-36由平面图形中A1BA1DA1BA2C知立体图形中ABACABADAB平面ACDABCD2过A作AECD于E连接BECD平面ABEAEB 为二面角ACDB的平面角在平面图形中A1B A2B 4A1D A3D 10过D作DD1A2A3在RtA3DD1中可得A3D1 6A2A3 16A2C A3C 8CD 在立体图形中AC 8AD 10CD 2在RtAEC中AE 8sinACD 在RtBAE中tan tanAEB 二面角ACDB的大小为arctan2如图10-37已知ABCD中AD BCADBC且AB 3AD 2BD 沿BD将其折成一个二面角ABDC使得ABCD求二面角ABDC的大小求折后点A到面BCD的距离解题思路 先将平面图形的性质研究清楚在立体图形中将垂直关系进行转化可以得出结果解答 1在平面图形中AD2BD2 AB2ADBDBCBD在立体图形中如图10-38作AH平面BCD于H连DHBH设BH交CD于E由ADBD得ADH为二面角ABDC的平面角ABCDBHCD在RtBCD中DE ADH 60二面角ABDC的大小为602由1知AH ADsinADH 2考点高分解题综合训练1 在斜三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC中A 90且BC1AC过C1作C1H底面ABC则H在 A直线AC上B直线AB上C直线BC上DABC的内部答案 B 平面ABCH一定交线AB上2 正四面体内任意一点到各面的距离和为一个常量这人常量是 A正四面体的一条棱长 B正四面体后条斜高的长C正四面体的高D以上结论都不对答案 C h并设正四面体内任一点到四个面的距离分别为h1h2h3h4则V正四面体 3 设O是正三棱锥PABC底面ABC的中心过O的动平面与PABC的三条侧棱或其延长线的交点分别记为QRS则和式满足 A有最大值而无最小值B有最小值而无最大值C既有最大值又有最小值最大值不等于最小值D是一具与平面RS位置无关的常量答案a又是O是P-ABC底面ABC的中心O点到三个侧面的距离相等设为d则VPQRS VO-PQRVO-PRSVO-PQS 设PA与平面PBC所成的角为于是VPQRS VQ-PRS 4 直线AB与直二面角l的两个地平面分别相交于AB两点且ABl如果直线AB与所成的角分别是1和2则12 A0 12 B12 C12 D0 12答案 Dl于A1过B作BB1l于B1连结AB1A1B则由a可得AABB1a得BAA1 1在RtAA1B中cosABA1 5 已知P为锐二面角l内一点且P到及棱l的距离之比为12则此二面角的大小为_答案75PBPAPB确定的平面与l交于C则l平面PABlPC PC BCA为-l-的平面角分别算出PCAPCB得二面角的大小为756 球面上有三点ABC每两点间的球面距离都等于R其中R为球的半径则过ABC三点的截面圆的面积等于_答案 AB AC BC ABC的外接圆的半径为截面贺圆的面积等于2 R27 如图在正四棱锥SABCD中E是BC的中点P点在侧面SCD内及其边界上运动并且总有PEAC1证明SBAC答案2指出动点P的轨迹并证明你的结论答案3以轨迹上的动点P为顶点的三棱锥PCDE的最大体积为V1正四棱锥SABCD的体积为V则V1V等于多少答案CDE的面积为定值当P在G处时三棱锥P-CDE的体积最大此时PH SO又SCDES正方形ABCD 14三棱锥P-CDE的最大体积V1是正四棱锥体积V的即V1V 188 如图正三棱柱ABCA1B1C1底面边长为a侧棱长为D是A1C1的中点 1求证BC1平面B1DA答案面AB1DBC1平面AB1D2求证平面AB1D平面A1ACC1答案A1B1C1为正三角形D为A1C1中点B1DA1C1又ABC-A1B1C1为正三棱柱B1D平面A1C1CA又B1D平面AB1D平面A1ACC1 3求二面角A1AB1D的大小答案在RTAA1D中A1F 在RTA1FG中sinA1GF A1GF 45二面角A1-AB1-D为459 菱形ABCD的边AB 5对角线BD 6沿BD折叠得四面体ABCD已知该四面体积不小于8求二面角ABCC的取值范围答案且AOBDOCBD AOC 为二面角A-BO-C的平面角SAOC AOOCsinAOC 42sin 8 sinVABCD AOCBD 16 sin依题意16 sin8sin又0 故所求二面角的范围是10 已知BCD中BCD 90BC CD 1AB平面BCDADB 60EF分别是ACAD上的动点且0 1 如图 1求证不论为何值恒有平面BEF平面ABC答案平面BCDABCDCDBC且ABBC BCD平面ABC又不论取何值恒有EFCDEF平面ABCEF平面BEF不论取何值恒有平面BEF平面ABC2当为何值时平面BEF平面ACD答案AB tan60 AC 由AB2 AEAC得AE 故当 时平面BEF平面ACD11 如图直三棱柱ABCA1B1C1中底面是以ABC为直角的等腰直角三角形AC 2aBB 3aDo A1C1的中点1求BE与A1C所成的角答案A1CMEB或补角为直线BE与A1C所成的角2在线段AA1上是否存在点F使CF平面B1DF若存在求出AF若不存在请说明理由答案x则B1F2 2a23a-x2CF2 x24a2B1C2 11a2 x a或2a12 如图直三棱柱ABCA1B1C1中ACB 90BC AC 2AA1 4D为棱CC1上一动点MN分别为ABDA1B1R的重心1求证MNBC答案MNEF又EFBB1BB1BCEFBCMNBC2若二面角CABD的大小为arctan求C1到平面A1B1D的距离答案tanCED 又CE CD 2D为CC1的中点C1D 2 VD-A1B1C1 VC1-A1B1D 222 h 2 2 h 3若点C在平面ABD上的射影恰好为M试判断点C1在平面A1B1D上的射影是否为N并说明理由答案CMDE在RtDCE中DMME 21CE DE 2D为CC1的中点由对称性知C1N平面A1B1DC1在平面A1B1D上的射影是N13 如图在直三棱术ABCA1B1C1中ACB 90B1B BC CA 4D1是A1B1中点E是BC1的中点BD1交AB1于点F1求证AB1BC1答案2求二面角BAB1C的大小答案BC BC1平面AB1C利用平面几何的知识知在平面ABB1A1内AB1BD1EFAB1BFE为二面角B-AB1-C的平面角BE 在RtABB1中BF 在Rt中sinBFE BFE 60二面角B-AB1-C的大小为603求点C到平面BEF的距离答案 E为B1C的中点C到平面BEF的距离等于B1到平面BEF的距离ABC-A1B1C1为直棱柱A1C1 B1C1D1为中点C1D1A1B1C1D1平面A1B1BACD1B1F又由2知B1FBD1B1F平面BEFB1F为B1到面BEF的距离B1F C到平面BEF的距离为 解法二 由2知BC1EF于M得CM平面BEF可算得CM C到平面BEF的距离等于14 如图ABCD是边长为a的正方体MN分别在边DABC上滑动且MNABAC与MN交于点O现把平面MNCD沿MN折成120的二面角使它到平面MNEF位置1求证不论MN怎样平行移动AOE的大小不变答案x则EN a-x易知MN平面BENBNE 120BE2 x2 a-x 2x a-x x2-axa2又AB平面BENABBE易得AE2 x2-ax2a2而AO xEO a-x 故cosAOE 即不论MN怎样平行移动AOE的大小不变2当AE两点间的距离最小时证明平面AOE平面ABE答案x2-ax2a2 x- 2当x 时AE有最小值此时MN分别ADBC中点EN BN CNCEBE又AB平面ABE而CE平面AOE故平面AOE平面ABE考点11空间向量求异面直线所成的角求直线与平面所成的角求二面角的大小求距离利用空间向量解立体几何中的探索问题利用空间向量求角和距离典型易错题会诊命题角度 1求异面直线所成的角1典型例题如图11-1四棱锥PABCD的底面为直角梯形ABDCDAB 90PA底面ABCD且PA AD DC AB 1M是PB的中点1证明面PAD面PCD2求AC与PB所成的角3求面AMC与面BMC所成二面角A-CM-B的大小考场错解 第2问PA底面ABCD且DAB 90ADABAP两两互相垂直建立如图所示的坐标系则A000C110B020P001 110 0-21cos AC与PB所成的角为arccos - 专家把脉 上述错解中有两个错误1的坐标应用B的坐标减P的坐标 02-12异面直线所成角的范围不正确公式记忆不准确实际上异面直线所成的角的范围不正确公式记忆不准确实际上异面直线所成的角的范围为090而arccos - 为钝角cos 对症下药 1PA底面ABCDPACD又CDADCD平面PAD又CD 平面PCD平面图PAD平面PCD2PA底面ABCDPACDPAAB又ADAB可以建立如图所示空间坐标系则由已知A000C110B020P001 110 02-1设与PB成角为则cos AC与PB所成的角为arccos 3 M为PB的中点M01 01 110设n1 xyz 为平面AMC的法向量则n1n1y z 0xy 0令x 1得y -1z 2 n1 1-12 为平面AMC的一个法向量同理可求得n2 112 为平面BMC的一个法向量n1n2的夹角为arccos而从图中可看出A-MC-B为钝角二面角A-CM-B的大小为2典型例题如图11-2在直四棱术ABCD-A1B1C1D1中AB AD 2DC 2AA1 ADDCACBD垂足为E1求证BDA1C2求二面角A1-BD-C1的大小3求异面直线AD与BC1所成角的大小考场错解第3问由已知ADDCDD1两两互相垂直建立如图所示的空间直角坐标系A200D000B220C102-200 -20cos AD与BC1所成的角为arccos专家把脉 B点坐标计算错误其实质是位置关系未分析清楚错误地认为ABADBCCD本题还会出现以BD为x轴DC为y轴DD1为z轴的建立坐标系的错误对症下药 1 ABCDA1B1C1D1为直四棱柱AA1底面ABCDA1C在底面ABCD上的射影为AC又由已知AC依三垂线定理可得BDA1C2如图以D为坐标原点DADD1所在直线分别为x轴y轴z轴建立空间直角坐标系连接A1E1C1E1AG1与1同理可证BDA1E1BDC1E1A1EC1为二面角A1-BD-C1的平面角由A120C102E得即EA1EC1二面角A1-BD-C1的大小为903在平面ABCD中过A作BFAD交DA的延长线于F由AD 2CD 2得AC 4DAE 60AE 1在RtAEB中AB 2AE 1BAE 60在RtAFB中AB 2BAF 60BF AF 1DF 21 3B的坐标为30由D000A200C102B30得cos 异面直线AD与BC1所成角的大小为arccos本题还可以E为坐标原点EBEC分别为x轴和y轴则z轴与AA1平行E000A10-1C103B00D-00A0-10其中A1DA的坐标容易求错专家会诊利用空间向量求异面直线所成的角公式为cos关键是正确地建立坐标系进而写出各有关点的坐标建立坐标会出现用三条两两不垂直的直线作x轴y轴z轴的错误还会出现用三条两两互相垂直但不过同一点的三条直线作x轴y轴z轴的错误写点的坐标也容易出现错误学习时要掌握一些特殊点坐标的特点如x轴上的点坐标为a00xoz面上的点坐标为a0b等其次还应学会把某个平面单独分化出来利用平面几何的知识求解如本节的例2求B的坐标考场思维训练1已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2a高为b求异面直线AC1和A1B所成的角答案AA1平面空间直角坐标系则A000A100bBaa0C12a0b cos AC1与A1B所成的角为arc cosAC1与A1Ba所成的角为-arc cos2如图11-4在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中EF分别是D1DBD的中点G在CD上且CG CDH为C1G的中点1求证EFB1C答案F0C010B1111G001EFB1C2求EF与C1G所成角的余弦答案 00 - 011 0-1 cos 3求FH的长答案又F0 - FH 3如图11-5 四棱锥PABCD的底面ABCD是矩形PA底面ABCDPA AB 1BC 21求证平面PAD平面PCD答案CDAD CD平面PAD面PAD面PCD2若E是PD的中点求异面直线AE与PC所成角的余弦值答案 A 000 E 01 C120AE与PC所成角的余弦值为3在BC边上是否存在一点G使得D点在平面PAG的距离为1如果存在求出BG的值如果不存在请说明理由答案y 0则 001 1y0 设n abc 为平面PAG的一个法向量由n得c 0由n得aby 0令a 1得b -n 1 -0 为平面PAG的一个法向量d 解得y BC上存在一点GBG 使得D到平面PAG的距离为1命题角度 2求直线与平面所成的角1典型例题如图在三棱锥PABC中ABBCAB BC KPA点OD分别是ACPC的中点OP底面ABC1当k 时求直线PA与平面PBC所成角的大小2当k取何值时O在平面PBC内的射影恰好为PBC的重心考场错解1POOCPOOB又AB BCO为AC的中点BOOC以O为坐标原点OBOCOP所在直线xyz轴建立穿间直角坐标系则O000C0a0其中设AC 2aA0-a0P 00 Ba00 0-a-a a0-a 0a-a 设n xyz为平面PBC的一个法向量由n得ax-az 0由n得ay-az 0令x 1得z y 1 n 11 为平面PBC的一个法向量设PA与平面PBC所成的角为则cos 专家把脉 公式记忆错误其实质是未能把直线与平面所成的角与向量的夹角联系上 应为直线与平面所成角的正弦值对症下药 1 由错解和错因知设PA与平面PBC所成的角为则cos arcsinPA与平面PBC所成的角为arcsin 2 设 P 00b 则 a0-b 0a-b 设G为PBC的重心则由穗主坐标公式得G 由已知OG平面PBC 得a b即PO a在RtPOA中PA a又AB a R 1 当k 1时O在平面PBC内的射影为PBC的重心2典型例题如图11-7四棱锥PABCD中底面ABCD为矩形PD底面ABCDAD PDEF分别为CDPB的中点1求证EF平面PAB2设AB BC求AC与平面AEF所成的角的大小考场错解 第2问由已知PDCDPDADCDAD建立如图所示的空间直角坐标系设BC a则AB a可得D000Ca00A0a0Ba a0以后算出的坐标平面AEF的一个法向量的坐标利用公式sin 得出结果专家把脉 B的坐标写错由于本题中所建坐标系与通常所建坐标系在直观上有所不同其实质还是求点的坐标不熟练所致对症下药 1连接PEBECFFD在RtPED中PE 在RtBCE中BE 又由已知AD BC PDCD EDPE BE又F为PB中点EFPB 又在RtPBC中CF PB在RtPDB中DF PBCF DFEFCD又ABCDa则AB BC a得D000Ca00A0a0Baa0P00a由中点坐标公式得EF设n xyz为平面AEF的一个法向量由n得为平面AEF的一个法向量设AC与平面AEF所成的角为则sin AC与平面AEF所成的角为arcsin专家会诊求直线与平面所成角的公式为sin 其中a为直线上某线段所确定的一个向量n为平面的一个法向量这个公式很容易记错关键是理解有些学生从数形结合来看认为n应过直线上某个点如例4中n应过C点这是错误的这里n是平面的任意一个法向量再说一个向量过某一个具体的点这种说法也是错误的考场思维训练1 如图11-9在直三棱柱ABCA1B1C1中ACB 90AC 2BC 6D为A1B1的中点异面直线CD与A1B垂直1求直三棱术ABC-A1B1C1的高答案x轴y轴z轴建立空间直角坐标系则由已知有A120xB060D13xC000其中x为直三棱柱13x又A1BCD 0得-2163-x2 0解得x 4或x -4 舍去 直三棱柱的高为42求直线A1B与平面CC1A1C所成的角答案 -26-4 又BC平面ACC1A1为平面CC1A1C的个法向量又 0-60 sin 直线A1B与平面CC1A1C所成的角为arc sin 2 如图已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中底面边长AB 2侧棱BB1的长为4过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E交B1C于点F1求证A1C平面BED答案 -20x -20-4 由已知 0得x 1E 021 -201 -2-20 -22-4 由 0知A1CBEBD 0知A1CBDA1C平面BED2求A1B与平面BDE所成的角是正弦值答案 -22-4 为平面BED的一个法向量 02-4 sin arc sinA1B与平面BDE所成的角为arc sin3 已知四棱锥P-ABCD如图底面是边长为2的正方形侧棱PA底面ABCDMN别为ADBC的中点MQPD于Q直线PC与平面PBA所成角的正弦值为1求证平面PMN平面PAD答案设PA a则A 000 B 200 C 220 D 02 0 P 00a M 010 N 210 200 00a 020 MN平面PADMN平面PMN平面PMN平面PAD2求PA的长答案 010 直线PC与平面PBA成角的正弦值为cos n 即a 2即PA 23求二面角P-MN-Q的余弦值答案PMQ即为二面角PMNQ的平面角而PM MQ MD cosPMQ 二面角P-MN-Q的余弦值为命题角度 3求二面角的大小1典型例题在四棱锥V-ABCD中底面ABCD是正方形侧面VAD是正三角形平面VAD底面ABCD如图11-121证明AB平面VAD2求二面角A-VD-B的大小考场错解2过V作VOAD于O由已知平面VAD底面ABCDVO底面ABCD以OAOV分别为xz轴建立空间坐标系则分别算出VAD与VBD的法向量n1 010n2 1-1cos n1n2 -二面角A-VD-B的大小为专家把脉 认为两平面的法微量是的夹角等于二面角的大小这是错误的实际上法向量的夹角与二面角的平面角相等或互补本题中A-VD-B为一锐二面角对症下药1平面VAD平面ABCDABAD根据两面垂直的性质和AB平面VAD2过V作VOAD于O由平面VAD平面ABCD得VO底面ABCD可以建立如衅11-13所示的空间直角坐标系设正方形的边长为1则A00B10C-10D-00V 00 由1知 010为平面VAD的一个法向量-1-10设n xyz 为平面VDB的一个法向量由n得xy 0令x 1得y -1z -cos n 又由图形知二面角A-VD-B为锐二面角二面角A-VB-B的大小为arccos2典型例题如图11-14已知三棱锥P-ABC中EF分别是ACAB的中点ABCPEF都是正三角形PFAB1证明PC平面PAB2求二面角P-AB-C的平面角的余弦值3若点PABC在一个表面积为12的球面上求ABC的边长考场错解 以EBECEP分别为x轴y轴z轴建立空间坐标系专家把脉 坐标系建立错误实际上BEECPEEC都可以证得但PE与EB不垂直本题用穿间向量来解没有用传统方法来解方便建立坐标系错误或不知息样建立坐标系的穿间向量中的常见错误对症下药 F为AB中点PFABPA PB又PEF为正三角形PE PF在PAE与PAF中PE PFAE AFPAEPAFPEA PEF 90又E为AC中点PA PCPA PB PCP在底面ABC上的射影为正ABC的中心建立如图11-14所示的空间坐标系设底面ABC的边长为2a则PA PB PC aPO P00aC00A0C00B01由知PCPA同理PCBPPC平面PAB2由1知 为平面PAB的一个法向量 00为平面ABC的一个法向量cos 又由图形知P-AB-C的平面角的余弦值为3由已知球半径为又PAPBPC两两互相垂直PA2BP2PC2 22得PA 2AB 2即正三角形的边长为2专家会诊利用空间向量求二面角先求两平面的法向量利用向量的夹角公式求出两法现量的夹角二面角的平面角与法向量的夹角相等或互补具体是哪一种一般有两种判断方法1根据图形判断二面角是锐角还是钝角2根据两法向量的方向判断实际上很多求二面角的题目还是传统方法如三垂线定理作出二面角的平面角简单或传统方法与空间向量相结合来解考场思维训练1 如图在三棱锥P-OAC中OPOAOC两两互相垂直且OP OA 1OC 2B为OC的中点1求异面直线PC与AB所成角的余弦值答案 02-1 -110 cos PC与AB所成角的余弦值为2求点C到平面PAB的距离答案 -110 设n1 xyz 为平面PAB的一个法向量则x-z 0x-y 0令x 1得n1 111 为平面PAB的一个法向量 0-10 d C到平面PAB的距离为3求二面角C-PA-B的大小用反余弦表示答案 10-1 设n2 xyz 为平面PAC的一个法向量由2y-x 0x-z 0令x 1得n2 11 为平面PAC的一个法向量cosn1n2 又由图形知C-PA-B为锐二面角 C-PA-B的大小为2 如图所示四棱锥P-ABCD的底面是正方形PA底面ABCDPA AD 2点MN分别在棱PDPC上且PC平面AMN1求证AMPD答案AMPD 2求二面角P-AM-N的大小答案的比为N M 011 22-2 为平面AMN的一个法向量 20 0 为平面PAM的一个法向量且cos PAMN的大小为arc cos 3求直线CD与平面AMN所成角的大小答案CD与平面AMN所成