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特征方程在高中数学中的应用探究 在近几年的高考中通过数列的递推公式求通项公式，已经成为热门考点，简单的题目一般的学生都能得分，可是有些难点的却成了高考中的难题。比如用特征方程法解决的这一类问题，为了更好的掌握特征方程在中学数学中的应用，本文以几个典型的例题为载体，用特征方程法帮助更多的学生走出困境。 中国论文网 /4/view-12747662.htm特别值得注意的是，2008年高考广东的文科数学和理科数学都是以数列作为压轴题。这两个压轴题的关键就是通项公式的求解。这两个题通项公式的求解方法很多，用一般的方法需要很强的构造能力，而用数学竞赛中的特征方程法求解是比较快捷的。 一、数列的特征方程简介 1、数列的一阶特征方程（an=pan-1+q型） 在数列 中，a1已知，且 时，an=pan-1+q（p，q是常数）， （1）当p=1时，数列 为等差数列； （2）当p=0时，数列 为常数数列； （3）当 时，数列 为等比数列； （4）当 时，称x=px+q是数列 的一阶特征方程，其根 叫做特征方程的特征根， 这时数列 的通项公式为：an=（a1-x）pn-1+x； 注；此类问题在中学的解决方法，我们常用待定系数法来解决，属于简单题型，不再叙述。 2、数列的二阶特征方程（an+2=pan+1+qan型） 在数列 中，a1与a2已知，且an+2=pan+1+qan（p，q是常数），则称x2=px+q是数列 的二阶特征方程，其根x1，x2叫做特征方程的特征根。 （1） 时，有 ； （2）当 时，有 ； 其中c1，c2，d由a1，a2代入an后确定。 例1、设数列 满足 求数列 的通项公式。 解：数列 相应的特征方程为 ，特征根为 可设。 又由a1=1，a2=2于是 3、一次分式递推数列 在数列 中，a1已知且对于 都有 （其中p、q、r、 ，且 ），称方程 为数列 的特征方程. （1）当特征方程有两个相同的特征根 时， （i）若 则数列 为常数数列 （ii）若 则数列 为等差数列。 （2）当特征方程有两个相异的特征根 时，则数列 为等比数列。 二、特征方程的应用举例（主要针对第三种特征方程） 例2、已知数列 满足性质： 解：由特征方程 变形得 故特征方程有两个相异的根，则有 变式练习：已知数列 满足：对于 解：（简单介绍）作特征方程 特征方程有两个相同的特征根x=5 例3、（2008年高考陕西卷数学第22题） 已知数列 的首项 （1）求 的通项公式； （2）证明：对任意的 （3）证明： 解：其中数列 的通项公式的求解如下： 数列 相应的特征方程为 ，特征根为 所以数列 为等比数列， 可见，用特征方程法求特定类型的递推数列的通项公式是非常方便快捷的，对于基础较好的学生，该方法可以是一个很有益的补充。而对于普通的学生，则只需要记住方法，也
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