2016考研高数上复习知识点总结

1 / 18 2016 考研高数上复习知识点总结 从整个学科上看，高数实际上是围绕着极限、导数和积分这三种基本的运算展开的。对于每一种运算，首先要掌握它们主要的计算方法 ;熟练掌握计算方法后 ，再思考利用这种运算我们还可以解决哪些问题，比如会计算极限以后：那么就能解决函数的连续性，函数间断点的分类，导数的定义这些问题。这样一梳理，整个高数的逻辑体系就会比较清晰。 极限部分： 极限的计算方法很多，总结起来有十多种，这里我们只列出主要的：四则运算，等价无穷小替换，洛必达法则，重要极限，泰勒公式，中值定理，夹逼定理，单调有界收敛定理。每种方法具体的形式教材上都有详细的讲述，考生可以自己回顾一下，不太清晰的地方再翻到对应的章节看一看。 会计算极限之后，我们来说说直接通过极限定义的基本概念： 通过极限，我们定义了函数的连续性：函数在处连续的定义是，根据极限的定义，我们知道该定义又等价于。所以讨论2 / 18 函数的连续性就是计算极限。然后是间断点的分类，具体标准如下： 从中我们也可以看出，讨论函数间断点的分类，也仅需要计算左右极限。 再往后就是导数的定义了，函数在处可导的定义是极限存在，也可以写成极限存在。这里的极限式与前面相比要复杂一点，但本质上是一样的。最后还有可微的定义，函数在处可微的定义是存在只与有关而与 无关的常数使得时，有，其中。直接利用其定义，我 们可以证明函数在一点可导和可微是等价的，它们都强于函数在该点连续。 以上就是极限这个体系下主要的知识点。 导数部分： 导数可以通过其定义计算，比如对分段函数在分段点上的导数。但更多的时候，我们是直接通过各种求导法则来计算的。主要的求导法则有下面这些：四则运算，复合函数求导法则，反函数求导法则，变上限积分求导。其中变上限积分求导公式本质上应该是积分学的内容，但出题的时候一般是和导数3 / 18 这一块的知识点一起出的，所以我们就把它归到求导法则里面了。能熟练运用这些基本的求导法则之后，我们还需要掌握几种特殊形式的函数导数的计算：隐函数求导，参数方程求导。我们对导数的要求是不能有不会算的导数。这一部分的题目往往不难，但计算量比较大，需要考生有较高的熟练度。 然后是导数的应用。导数主要有如下几个方面的应用：切线，单调性，极值，拐点。每一部分都有一系列相关的定理，考生自行回顾一下。这中间导数与单调性的关系是核心的考点，考试在考查这一块时主要有三种考法： 求单调区间或证明单调性 ; 证明不等式 ; 讨 论方程根的个数。同时，导数与单调性的关系还是理解极值与拐点部分相关定理的基础。另外，数学三的考生还需要注意导数的经济学应用 ;数学一和数学二的考生还要掌握曲率的计算公式。 积分部分： 一元函数积分学首先可以分成不定积分和定积分，其中不定积分是计算定积分的基础。对于不定积分，我们主要掌握它4 / 18 的计算方法：第一类换元法，第二类换元法，分部积分法。这三种方法要融会贯通，掌握各种常见形式函数的积分方法。熟练掌握不定积分的计算技巧之后再来看一看定积分。定积分的定义考生需要稍微注意一下，考试对定积分的定义的要求其实就是两个方面：会用定积分的定义计算一些简单的极限 ;理解微元法 (分割、近似、求和、取极限 )。至于可积性的严格定义，考生没有必要掌握。然后是定积分这一块相关的定理和性质，这中间我们就提醒考生注意两个定理：积分中值定理和微积分基本定理。这两个定理的条件要记清楚，证明过程也要掌握，考试都直接或间接地考过。至于定积分的计算，我们主要的方法是利用牛顿 莱布尼兹公式借助不定积分进行计算，当然还可以利用一些定积分的特殊性质 (如对称区间上的积分 )。一般来说，只要不定积分的计算没问题，定积分的计算也就不成问题。定积分之后还有个广义积分，它实际上就是把积分过程和求极限的过程结合起来了。考 试对这一部分的要求不太高，只要掌握常见的广义积分收敛性的判别，再会进行一些简单的计算就可以了。 会计算积分了，再来看一看定积分的应用。定积分的应用分为几何应用和物理应用。其中几何应用包括平面图形面积的计算，简单的几何体 (主要是旋转体 )体积的计算，曲线弧长的计算，旋转曲面面积的计算。物理应用主要是一些常见物5 / 18 理量的计算，包括功，压力，质心，引力，转动惯量等。其中数学一和数学二的考生需要全部掌握 ;数学 三的考生只需掌握平面图形面积的计算，简单的几何体 (主要是旋转体 )体积的计算。这一部分题目的综合性往往比较强，对考生综合能力要求较高。 这就是高等数学整个学科从三种基本运算的角度梳理出来的主要知识点。除此之外，考生需要掌握的知识点还有多元函数微积分，它实际上是将一元函数中的极限，连续，可导，可微，积分等概念推广到了多元函数的情况，考生可以按照上面一样的思路来总结。 时间过得很快，转眼已经是 9 月底了，距离 2016 考研还有90多天了，最后冲刺复习已经开始，考研数学分为高等数学，概率论与数理统计和线性代数三个科目，高等数学不拖后腿，以下高数备考精华不可不看。 几个易混概念：连续，可导，存在原函数，可积，可微，偏导数存在他们之间的关系式怎么样的 ?存在极限，导函数连续 ，左连续，右连续，左极限，右极限，左导数，右导数，导函数的左极限，导函数的右极限。 6 / 18 罗尔定理：设函数 f(x)在闭区间 a,b上连续 (其中 a 不等于b)，在开区间 (a,b)上可导，且 f(a)=f(b)，那么至少存在一点 (a 、 b)，使得 f()=0 。罗尔定理是以法国数学家罗尔的名字命名的。罗尔定理的三个已知条件的意义，f(x) 在 a,b上连续表明曲线连同端点在内是无缝隙的曲线 ;f( x)在内 (a,b)可导表明曲线 y=f(x)在每一点处有切线存在 ;f(a)=f(b) 表明曲线的割线 (直线 AB) 平行于 x轴 ;罗尔定理的结论的直几何意义是：在 (a,b)内至少能找到一点 ，使 f()=0 ，表明曲线上至少有一点的切线斜率为 0，从而切线平行于割线 AB，与 x 轴平行。 泰勒公式展开的应用专题：我以前，以及我所有的同学，看到泰勒公式就哆嗦，因为咋一看很长很恐怖，瞬间大脑空白，身体失重的感觉 。其实在我搞明白一下几点后，原来的症状就没有了。第一：什么情况下要进行泰勒展开 ;第二：以哪一点为中心进行展开 ;第三：把谁展开 ; 第四：展开到几阶 ? 应用多次中值定理的专题：大部分的考研题，一般要考察你应用多次中值定理，最重要的就是要培养自己对这种题目的敏感度，要很快反映老师出这题考哪几个中值定理，我的敏感性是靠自己多练习综合题培养出来的。我会经常会去复习，那样我对中值定理的题目早已没有那种刚学高 数时的害7 / 18 怕之极。要想对微分中值定理这块的题目有条理的掌握，看我这个总结定会事半功倍的。 对称性，轮换性，奇偶性在积分 (重积分，线，面积分 )中的综合应用：这几乎每年必考，要么小题中考，要么大题中要用，这是必须掌握的知识，但是往往不是那么容易就靠做 3，4 个题目就能了解这知识点的应用到底有多广泛。我们做积分题，尤其多重积分和线面积分，死算也许能算出结果，但是要是能用以上性质，那可真是三下五除二搞定，这 方面的感觉相信大家有过，可是或许仅仅是昙花一现，因为你做出来了以为以后就一定会在相似的题目中用，其实不然，因为仅仅靠几道题目很大程度上不能给你留下太深刻的印象，下次轮到的时候或许就是考场上了，你可能顿时苦思冥想，最终还是选择了最傻的办法，浪费了宝贵时间。说这些其实就是说明，考场上的正常或超常发挥是建立在平时踏实做，见识广，严要求的基础上。 任何知识的积累都是长期努力的结果，都是需要我们踏踏实实来 努力的，切勿投机。考研数学学科考试内容多、知识面广、综合性强，提醒大家在复习期间掌握好适合自己的方法，并持之以恒、坚持到底，真正实现从量变到质变的飞跃。 8 / 18 高数复习在于不断总结，在练习中寻找规律。 最后，预祝广大考生考试顺利通过复习阶段取得胜利的果实 ! 第一章 函数、极限与连续 本章函数部分主要是从构建函数关系，或确定函数表达式等方面进行考查。 而极 限作为高等数学的理论基础，不仅需要准确理解它的概念、性质和存在的条件，而且要会利用各种方法求出函数 (或数列 )的极限，还要会根据题目所给的极限得到相应结论。 连续是可导与可积的重要条件，因此要熟练掌握判断函数连续性及间断点类型的方法，特别是分段函数在分段点处的连续性。 与此同时，还要了解闭区间上连续函数的相关性质 (如有界性、介值定理、零点定理、最值定理等 )，这些内容往往与其他知识点结合起来考查。 本章的知识点可以以多种形式 (如选择题、填空题、解答题均可 )考查，平均来看，本章内容在历年考研试卷中数学一、数学三大约占 10分，数学二大约占 19分。 本章重要题型主要有： 1、求极限 ;2、已知极限反求参数 ;3、无穷小阶的比较 ;4、间断点类型的判断。 9 / 18 第二章 一元函数微分学 本章按内容可以分为两部分：第一部分是导数与微分，主要涉及微分学的基本概念、可导性与可微性的讨论，以及导数和微分的计算。此部分一定要注意导数的定义，对它有一个正确的理解，包括导数概念的一些充要条件要清楚 ;同时要能熟练求一元复合函数、反函数、隐函数、由参数方程所确定函数的二阶导数。第二部分是微分中值定理及导数的应用，主要是利用导数研究函数的性态，以及利用中值定理证明或解决一些问题。这是一个比较大的内容，函数的单 调性、凹凸性以及方程根的应用都会在这块内容当中出题，这是一个难点，还有一个难点，就是关于微分中值定理，关于这一部分的证明题，需要大家掌握常见的解题思路。 有关可导性、可微性、导数和微分的计算以及导数的应用，可以结合其他知识点以任何形式出题。 而微分中值定理常用在解答题中，特别是用于证明有关中值的等式或不等式。平均来看，本章内容在历年考研试卷中数学一大约占 12分，数学二大约占 36分，数学三大约占 10 分。 本章重要题型有： 1、导数定义和几何意义 ;2、复合函数、反函数、隐函数和参数方程所确定的函数的求导 ;3、含中值10 / 18 等式或不等式的证明 ;4、利用导数研究函数的形态 (判断单调、求极值与最值、求凹凸区间与拐点 );5、方程的根的个数的讨论 ;6、渐近线 ;7、求边际和弹性 (数三 )。 第三章 一 元函数积分学 本章内容中，不定积分和定积分是积分学的基本概念，不定积分和定积分的计算是 积分学的基本计算，利用定积分表示并计算一些几何、物理、经济量是积分学的基本应用。这一部分要特别注意变限积分，它的各种性质都是我们考查的重点。变上限积分函数跟微分方程结合的一个点也可以出题的。还有定积分的应用，求平面图形面积，求旋转体的体积，一定要熟悉，要掌握好微元法。 本章对概念部分的考查主要是出现在选择题中，对运算部分的考查通常出现在填空题和解答题中，而定积分的应用和有关定积分的证明题大多出现 在解答题中。平均来看，本章内容在历年考研试卷中，数学一大约占 15 分，数学二大约占33 分，数学三大约占 20 分。 本章重要题型有： 1、不定积分、定积分和反常积分的基本运算 ;2、定积分等式或不等式的证明 ;3、变上限积分的相关问题 ;4、利用定积分求平面图形的面积和旋转体的体积。 11 / 18 第四章 向量代数与空间解析几何 (数一 ) 本章内容不是考研重点，很少直接命题。直线与平面方程是多元函数微分学的几何应用的基础，常见二次曲面的图形被应用到三重积分、曲面积分的计算中，用于确定积分区域。 以上是我们对于高数部分上册重点考点的一些总结，希望能助大家一臂之力。最后祝广大考生复习顺利，考研成功 ! 2016考研数学复习指导：高数要点总结 时间过得很快，转眼已经是 10月了，距离 2016考研还有 80多天了，最后冲刺复习已经开始，考研数学分为高等数学，概率论与数理统计和线性代数三个科目，高等数学不拖后腿，以下高数备考精华不可不看。 几个易混概念：连续，可导，存在原函数，可积，可微，偏导数存在他们之间的关系式怎么样的？存在极限，导函数连续，左连续，右连续，左极限，右极限，左导数，右导数，导函数的左极限，导函数的右极限。 罗尔定理：设函数 f 在闭区间 a,b上连续，在开区间上可导，且 f=f，那么至少存在一点 ，使得 f =0。罗尔12 / 18 定理是以法国数学家罗尔的名字命名的。罗尔定理的三个已知条件的意义， f 在 a,b上连续表明曲线连同端点在内是无缝隙的曲线； f 在内可导表明曲线 y=f 在每一点处有切线存在； f=f 表明曲线的割线 平行于 x轴；罗尔定理的结论的直几何意义是：在内至少能找到一点 ，使 f =0，表明曲线上至少有一点的切线斜率为 0，从而切线平行于割线AB，与 x 轴平 行。 泰勒公式展开的应用专题：我以前，以及我所有的同学，看到泰勒公式就哆嗦，因为咋一看很长很恐怖，瞬间大脑空白，身体失重的感觉。其实在我搞明白一下几点后，原来的症状就没有了。第一：什么情况下要进行泰勒展开；第二：以哪一点为中心进行展开；第三：把谁展开； 第四：展开到几阶？ 应用多次中值定理的专题：大部分的考研题，一般要考察你应用多次中值定理，最重要的就是要培养自己对这种题目的敏感度，要很快反映老师出这题考哪几个中值定理，我的敏感性是靠自己多练习综合题培养出来的。我会经常会去复习，那样我对中值定理的题目早已没 有那种刚学高数时的害怕之极。要想对微分中值定理这块的题目有条理的掌握，看我这个总结定会事半功倍的。 对称性，轮换性，奇偶性在积分中的综合应用：这几乎每年必考，要么小题中考，要么大题中要用，这是必须掌握的知识，但是往往不是那么容易就靠做 3， 4 个题目就能了解这知识点的应用到底有多广泛。我们做积分题，尤其多重积分和线13 / 18 面积分，死算也许能算出结果，但是要是能用以 上性质，那可真是三下五除二搞定，这方面的感觉相信大家有过，可是或许仅仅是昙花一现，因为你做出来了以为以后就一定会在相似的题目中用，其实不然，因为仅仅靠几道题目很大程度上不能给你留下太深刻的印象，下次轮到的时候或许就是考场上了，你可能顿时苦思冥想，最终还是选择了最傻的办法，浪费了宝贵时间。说这些其实就是说明，考场上的正常或超常发挥是建立在平时踏实做，见识广，严要求的基础上。 任何知识的积累都是长期努力的结果，都是需要我们踏踏实实来努力的，切勿投 机。考研数学学科考试内容多、知识面广、综合性强，提醒大家在复习期间掌握好适合自己的方法，并持之以恒、坚持到底，真正实现从量变到质变的飞跃。 高数复习在于不断总结，在练习中寻找规律。 最后，预祝广大考生考试顺利通过复习阶段取得胜利的果实！ 从整个学科上看，高数实际上是围绕着极限、导数和积分这三种基本的运算展开的。对于每一种运算，首先要掌握它们主要的计算方法 ;熟练掌握计算方法后，再思考利用这种运算我们还可以解决哪些问题，比如会计算极限以后：那么就14 / 18 能解决函数的连续性，函数间断点的分类，导数的定义这些问题。这样一梳理，整个高数的逻辑体系就会比较清晰。 极限部分： 极限的计算方法很多，总结起来有十多种，这里我们只列出主要的：四则运算，等价无穷小替换，洛必达法则，重要极限，泰勒公式，中值定理，夹逼定理，单调有界收敛定理。每种方法具体的形式教材上都有详细的讲述，考生可以自己回顾一下，不太清晰的地方再翻到对应的章节看一看。 会计算极限之后，我们来说说直接通 过极限定义的基本概念： 通过极限，我们定义了函数的连续性：函数在处连续的定义是，根据极限的定义，我们知道该定义又等价于。所以讨论函数的连续性就是计算极限。然后是间断点的分类，具体标准如下： 从中我们也可以看出，讨论函数间断点的分类，也仅需要计算左右极限。 再往后就是导数的定义了，函数在处15 / 18 可导的定义是极限存在，也可以写成极限存在。这里的极限式与前面相比要复杂一点，但本质上是一样的。最后还有可微的定义，函数在处可微的定义是存在只与有关而与 无关的常数使得时，有，其中。直接利用其定义，我们可以证明函数在一点可导和可微是等价的，它们都强于函数在该点连续。 以上就是极 限这个体系下主要的知识点。 导数部分： 导数可以通过其定义计算，比如对分段函数在分段点上的导数。但更多的时候，我们是直接通过各种求导法则来计算的。主要的求导法则有下面这些：四则运算，复合函数求导法则，反函数求导法则，变上限积分求导。其中变上限积分求导公式本质上应该是积分学的内容，但出 题的时候一般是和导数这一块的知识点一起出的，所以我们就把它归到求导法则里面了。能熟练运用这些基本的求导法则之后，我们还需要掌握几种特殊形式的函数导数的计算：隐函数求导，参数方程求导。我们对导数的要求是不能有不会算的导数。这一部分的题目往往不难，但计算量比较大，需要考生有较高的熟练度。 16 / 18 然后是导数的应用。导数主要有如下几个方面的应用：切线，单调性，极值，拐点。每一部分都有一系列相关的定理，考生自行 回顾一下。这中间导数与单调性的关系是核心的考点，考试在考查这一块时主要有三种考法： 求单调区间或证明单调性 ; 证明不等式 ; 讨 论方程根的个数。同时，导数与单调性的关系还是理解极值与拐点部分相关定理的基础。另外，数学三的考生还需要注意导数的经济学应用 ;数学一和数学二的考生还要掌握曲率的计算公式。 积分部分： 一元函数积分学首先可以分成不定积分和定积分，其中不定积分是计 算定积分的基础。对于不定积分，我们主