数学与应用数学本科毕业论文-矩阵的特征值与特征向量的应用.doc

安徽大学本科毕业论文题目：矩阵的特征值与特征向量的应用学生姓名： 学号：学院：数学科学学院 专业：数学与应用数学入学时间：2007年9月导师姓名： 职位：副教授导师所在单位：安徽大学数学科学学院摘 要 矩阵的特征值与特征向量是数学中的古老而重要的问题，在很多学科领域中有着广泛的应用。本文首先介绍了矩阵的特征值与特征向量的概念和基本性质，其次主要讨论特征值与特征向量在高等数学、图论、微分方程等领域中的应用，并举例加以说明。关键词：特征值；特征向量；矩阵；稳定性 Abstract This article describes some theories of eigenvalues and eigenvectors of the matrix, based on these theories we do some promotions, and discusses the applications of eigenvalues and eigenvectors of matrix through their propositions and nature.Key words: eigenvalue; eigenvector; matrix; stability 目 录第一章 引 言1第二章 矩阵的特征值与特征向量22.1 一般矩阵22.1.1 特征值与特征向量22.1.2特征值与特征向量的性质22.2特殊矩阵类52.2.1 Hermite矩阵的特征值52.2.2 M矩阵的特征值6第三章 矩阵的特征值与特征向量的应用73.1 在高等数学中的应用73.2 在图论中的应用93.3在数论中的应用103.4 在微分方程与稳定性分析中的应用123.4.1 在微分方程中的应用123.4.2 在Lyapunov稳定性中的应用15结束语：17参考文献：18致 谢19第一章 引 言本文旨在探讨矩阵的特征值与特征向量在数学其他领域中的应用，我们知道，在有限维线性空间中，取了一组基之后，线性变换就可以用矩阵来表示。为了利用矩阵来研究线性变换，对于每个给定的线性变换，我们希望能找到一组基使得它的矩阵具有最简单的形式。在适当的选择基之后，一个线性变换的矩阵可以化成什么样的简单形式。为了这个目的，先介绍特征值和特征向量的概念，它们对于线性变换的研究具有基本的重要性。物理、力学、工程技术中的许多问题在数学上都归结为求矩阵的特征值与特征向量。由特征方程求特征值是比较困难的，而在现有的教材和参考资料由特征方程求特征值总要解带参数的行列式，且只有先求出特征值方可由方程组求特征向量。一些文章给出了只需通过行变换即可同步求出特征值及特征向量的新方法，但仍未摆脱带参数行列式的计算问题。本文对矩阵特征值与特征向量相关问题进行系统的归纳，还讨论了特征值与特征向量的反问题。特征值问题的实用性论述可能使许多人都感兴趣，其中包括设计工程师、理论物理学家、经典应用数学家以及那些旨在矩阵领域进行研究的数值分析家。工程技术中的一些问题，如振动问题和稳定性问题，常可归结为求一个方正的特征值和特征向量的问题，数学中诸如方阵的对角化及解微分方程组的问题，也都要用到特征值的理论。故其应用之广泛可见一斑。第二章 矩阵的特征值与特征向量2.1 一般矩阵2.1.1 特征值与特征向量定义2.1【1】 设,若，使得 （2.1）成立，则称为的特征值，为的对应特征值的特征向量。将式(2.1)改写成 这表明特征向量是齐次线性方程组 的非零解，由线性方程组的理论知，为的特征值的充分必要条件是行列式 （2.2）式（2.2）称为矩阵的特征方程，特征方程的根就是的特征值。多项式称为的特征多项式，而矩阵称为的特征矩阵。2.1.2特征值与特征向量的性质性质2.1【1】 设，则 （2.3）其中为矩阵的迹。 事实上，在 的展开式中，只有一项是主对角线上元素的连乘积，即 （2.4）而展开式中其余各项至多包含（n-2）个主对角线上的元素，所以特征多项式中含的n次与（n-1）次的项只能在对角线上元素的连乘积，即式（2.4）中出现，它们是 在特征多项式中，令，即可得它的常数项为 因此，若只写出特征多项式的前两项与常数项，则有式（2.3）。 因为为n次多项式，由代数学基本定理知道，在复数域上可作如下因式分解：式中：为的互异零点，从而是的互异特征值；为特征值的重数，称为的代数重数，也说为的重特征值，。特别地，时，也称作单特征值。于是有：性质2.2【1】 n阶矩阵有且仅有n个特征值，其中m重特征值以m个计。应指出，5次或5次以上的多项式方程一般没有公式求解的。所以对于阶数较大的矩阵，实际上求特征值是非常困难的，因而就要研究特征值的各种近似求法。性质2.3【1】 设 为的n个特征值（未必互异），则 显然当且仅当具有零特征值。设用表示以的元素的共轭复数为元素组成的矩阵，而称为的元素的共轭转置矩阵。容易验证矩阵的共轭转置运算具有下列性质：（1）（2）（3）（4）（5）（6）如果可逆，则。性质2.4【1】 设为n阶矩阵的特征值，则（1）也是矩阵的特征值；（2）为矩阵的特征值；（3）若非奇异，为矩阵的特征值。性质2.5【1】 设，为的特征值，为相应的特征向量，又m次多项式,则是的特征值，仍为的属于的特征向量。如果，则有。注2.1【1】 的特征向量不一定是的特征向量。例如，取 则 易得矩阵的0特征值对应的线性无关的特征向量为，而矩阵的0特征值对应的线性无关的特征向量为，显然，不是的特征向量，因。下面在考察矩阵的特征向量。对于不同特征值对应的特征向量之间的关系，可由下面的性质给出。性质2.6【1】 设为矩阵的互异特征值，对应的特征向量分别为，则必线性无关。推论2.1【1】 设为矩阵的互异特征值，若分别为属于的线性无关的特征向量，则也线性无关。性质2.7【1】 设，则的任一特征值的几何重数不超过其代数重数。注2.2【1】 如果矩阵的特征值为单特征值，则。2.2特殊矩阵类2.2.1 Hermite矩阵的特征值Hermite矩阵是实对称矩阵在复矩阵情形的推广，它们的特征值有很好的性质。用Hn表示n阶Hermite矩阵的集合，这是R上的一个向量空间。对于，我们总是将它的特征值按降序排列并记为。定理2.1【2】（极小极大原理，Courant-Fischer）设，。则 ，这里是的子空间，是欧式范数。注2.3【2】 定理1.1的两个重要的特殊情形是 。定理2.2【2】（Cauchy分隔定理）设的特征值是。是的一个m阶主子矩阵，的特征值是。则 定理2.3【2】（Weyl） 设，则对于， 。下面的推论描述一个Hermite矩阵变成另一个Hermite矩阵时特征值变化的估计，这类结果称为扰动定理。 推论2.1【2】（Weyl） 设，则 下面的结果是定理1.3的直接推论（A=B+(A-B)）,也可以从极小极大表示看出。 推论2.2【2】（Weyl单调性原理）设，若,则 定理2.4【2】 设有分解，其中则 2.2.2 M矩阵的特征值定理2.5【3】 设为矩阵，则为矩阵的充要条件是的实特征值（如果有的话）都为正。推论2.3【3】 设，则为矩阵的充要条件是存在，使可表示为（其中，且）。定理2.63】 设，则为矩阵的充要条件是为矩阵且的实特征值（如果有的话）都为正。定理2.7【3】 矩阵的任意主子矩阵的实特征值为正值的充要条件是对任意非负对角线矩阵D，A+D非奇异。例1 设有3阶矩阵，对任意非负对角矩阵由，故有，于是由定理1.7知，矩阵的任意主子矩阵的实特征值为正。定理2.8【3】 若存在实对称正定矩阵，使为对称正定矩阵，则实矩阵的特征值的实部都为正值。例2 试证明正定矩阵的特征值实部都为正。证 设为正定矩阵，则，取其转置，两式相加得，由此知为正定矩阵，又显然对称，故为对称正定矩阵，把写成，则由定理1.8知，的特征值实部都为正。 第三章 矩阵的特征值与特征向量的应用工程技术中的一些问题，如振动和稳定性问题，常可归结为求一个方阵的特征值和特征向量的问题，数学中诸如方阵的对角化及解微分方程组的问题，也都要用到特征值与特征向量的理论。故其应用之广泛可见一斑，现说明矩阵的特征值和特征向量在数学内部其他领域的应用。3.1 在高等数学中的应用第一章介绍了特征值与特征向量的相关内容和性质，下面举例它们在高等数学中的应用计算。 1.特征值与特征向量例14 对n阶矩阵、试证与必有相同的特征值。证 对2n阶矩阵作分块初等变换，有，故,即.因与有相同的特征方程，故特征值全同。2.矩阵相似性之判断例25 设，求的特征值和特征向量，并说明是否与对角矩阵相似。解 ，故的特征值（2重）。对于特征值，解方程组 得基础解系 对于特征值，解方程组 得基础解系 。由于基础解系含解向量的个数与对应特征值的重数相同，或由于3阶方阵有3个线性无关的特征向量，故与对角阵相似。3.Jordan标准形问题例36 求矩阵的Jordan标准形： 解 先求。因此，的初等因子是，的若尔当标准形是 4.二次型的正定问题例44 设为实对称矩阵，且，问是否为正定矩阵。解 设为的特征值，则满足。即。从而此方程的实根仅有。又实对称矩阵的特征值均为实数，所以的特征值均为1，故是正定矩阵。3.2 在图论中的应用“友谊定理”说：如果在一群人中任何两个人都恰好有一个共同的朋友，那么有一个人是每个人的朋友。“恰好有一个”就是有且只有一个。这个结果用图（无向图）论的语言可以叙述成下面的定理。 定理3.12（Erdos-Renyi-sos7） 如果在图中任何两个不同的顶点都恰好有一个共同的邻居，那么有一个顶点与其他所有顶点都相连。 证明 至少有3个顶点，否则只有一个顶点从而定理平凡的成立。我们首先证明两个顶点若不邻接则它们的度数相同。用记与邻接的顶点的集合。定义映射，对于定义为与共同的邻居。，因为与不邻接。显然为双射，这就证明了和的度数相同。 假设定理的结论不成立。设有一个顶点的度数为,我们将证明所有顶点的度数都为。设是度数为的顶点的集合，是度数不为的顶点的集合。假如不为空集，则由第一段的结论，中的每个顶点都与中的每个顶点相邻接。如果或是单点集，那么那个顶点与的所有其他顶点相邻接，这与假设矛盾。所以和都不是单点集，但是在此情形，中有两个顶点在中有两个共同的邻居，这与定理的假设矛盾。因此，为空集，的所有顶点的度数是，即是-正则的。 现在证明的顶点的个数。我们用两种方法来算的长度为2的路的条数。一方面有假设。另一方面对于每个顶点，恰好有条长度为2的路以为中间点，因此。由得。 给出，这两种情形定理显然成立。下面假设。 设是的邻接矩阵，用记元素全为1的阶矩阵，则。由定理的条件及是-正则的事实得 .因为的特征值是(1重)和0(n-1重)，的特征值是(1重)和(n-1重)。由谱映射定理，的特征值是(1重)和。设有个特征值等于，有个特征值等于。则由的特征值之和等于它的迹得 。所以，且 。可见是有理数，从而是整数（为有理数为整数）。从 知整除。于是。这就得出因而。这与假设矛盾。这就证明了结论不成立是错的。 这个定理的前半部分取自文献8，后半部分取自文献7。3.3在数论中的应用 本节取自Li和Lutzer的论文9,除了末尾的例子。 一个复数称为代数数，如果它是某个系数为有理数的非零多项式的跟。显然，如果是个代数数，则存在唯一的一个首项系数为1的不可约有理系数多项式以为跟。的次数定义为的次数。代数数论中的一个基本事实是下面的定理。 定理3.22 代数数的集合构成一个域。在通常的数论书和代数书中，这个定理都是用域扩张或者模来证明的。现在我们用矩阵的特征值给出一个明确的构造性的证明。证明 我们只需要证明如果，为代数数且，则都是代数数。设和分别是次和次的首项系数为1的有理系数多项式使得，设和分别是和的伙伴矩阵。则和分别是和的特征值。由张量积的性质，分别是的特征值，从而分别是这三个矩阵的特征多项式的根。因为这三个矩阵是有理矩阵，它们的特征多项式都是有理系数多项式。因为，我们只需要证明是代数数。设。不妨设。否则对于某个适当的正整数考虑。令。直接验证可知从上面的证明我们得到下面的推论。推论3.12 设和是次数分别为和的代数数且，则代数数的次数都不超过。一个复数称为代数数，如果它是某个首项系数为1的整系数多项式的根。定理2.1的证明也给出下面定理的证明。定理3.22 代数整数的集合构成一个环。例1 书10的第257页说：“我们知道是代数数，但是如何找到一个明确的有理系数多项式满足当然是不完全明显的。”利用上面得矩阵证明，我们很容易找到这样一个是的根，是的根，和的伙伴矩阵分别是 ， 。则矩阵的特征多项式 就满足。3.4 在微分方程与稳定性分析中的应用 3.4.1 在微分方程中的应用在数学或工程技术中，经常要研究一阶微分方程组： ， ， 。 若记 上述方程组可写为 当时称为常系数的，称为齐次的，称为非齐次的。 首先我们讨论最简形的齐次常系数方程 （3.1）很容易看出齐次方程（3.1）的原始解的形式为。这里和x（0）是的相应的特征值和特征向量，且它们扮演着重要角色。更一般，我们看到方程（3.1）的解的形式如下： ， （3.2）其中是一个n维向量，它的分量是t的多项式。为了便计，我们记为 （3.3） 式（3.2）是方程（3.1）的解，当且仅当 。由定义我们有 （3.4）由于为t的（k-1）次多项式向量，即有 。从假设我们发现，与式（3.4）比较，。两边再用作用，获得，即为的关于特征值的特征向量。现在比较的（k-2）阶导数，即有 。两边再乘，得，依次比较可得 。形成一个Jordan链。 性质 由文献11中式（7-2）、式（7-3）定义的函数是方程（3.1）的一个解的充要条件是构成的特征值的一个Jordan链。 定理3.3.【11】 设，是的不同特征值，为它们的代数重数，为的特征多项式，如果的Jordan链为 ，那么方程（3.1）的解是n维向量值函数 的线性组合。例1 求解： 解 的特征向量为，的特征向量为。相应的Jordan链 ，通解为，为任意常数。例2 设，,且与的特征值的实部为负数，则有惟一解，由给定，。 解 由与的特征值的实部为负数，可知积分存在，且有。令 （3.5）由于 ， ,且 ,故 为的解。因为 。所以 由文献3第六章可知解是惟一的。即 的解为 。3.4.2 在Lyapunov稳定性中的应用 线性系统 （3.6） 定义3.1【11】 (3.6)的零解在lyapunov意义下是稳定的，当且仅当，当时，。 定义 3.2【11】 (3.6)所描述的系统在lyapunov意义下是稳定的，并且对任意状态出发的运动，有 ，则称（3.6）的零解是渐近稳定的。定理3.4【11】 若是常数阵，则方程组（3.6）的零解是渐近稳定的充要条件是的所有特征值都有负实部。证明 由解的结构，可以直接证明。定理3.5【11】 若是常数阵，则方程组（3.6）的零解是稳定的充要条件是的所有特征值都有非正的实部，并且实部为零的特征值所对应的Jordan块是一阶的。例3 当为半正定阵时方程的零解是稳定的。解 -为半负定阵，它的特征值全为负实数，由定理3.5可知：的零解是稳定的。例4 设为正定阵，则方程的零解是渐近稳定的解 -的特征值都是负数，由定理3.4，可知的零解是渐近稳定的。例5 设为实的反对称阵，则方程的零解是稳定的。解 由于为反对称阵，则的特征值是纯虚数和零，即的特征值的实部为零，且相似于对角阵，即的所有特征值的Jordan小块为一阶的，由定理3.5可知的零解是稳定的。例6 判断方程组的零解稳定性。解 特征方程为 Hurwitz矩阵为 ，主子式。由Hurwitz定理，所有特征值的实部全为负数，由定理3.4可知，此方程组的零解是渐近稳定的。结束语：矩阵的特征值和特征向量有许多具体的应用，依据上面所讨论的，可以方便地判断矩阵的相似性、Jordan标准形问题、二次型正定问题等。并简单的介绍了特征值与特征向量在图论、数论、微分方程中的部分应用。依据上面所述，我们明了：特征值与特征向量的一些命题和性质给我们探讨数学的其他学科带来了很大的方便。 研究矩阵的特征值与特征向量的应用，意义就在于我们要找到一种方法，使我们能够快速的找出矩阵的特征值和特征向量，及在解决一些复杂问题方面比如图论中的问题有较其他方法更为方便实用的地方。特征值与特征向量是一个古老的理论，其应用领域也是十分广泛，这就需要我们不断的努力，来发掘矩阵的特征值与特征向量的应用领域。参考文献：1 朱元国，饶玲，严涛，张军，李成宝。矩阵分析与计算。北京：国防工业出版社2 詹兴致