数学与应用数学毕业论文-一元多项式最大公因式的解法.doc

学生毕业设计（论文）题 目一元多项式最大公因式的解法作 者院 (系)数学与应用数学系专 业数学与应用数学指导教师答辩日期2010年 5 月 28 日榆林学院本科毕业设计（论文）摘 要探讨求一元多项式最大公因式方法的问题.主要研究在掌握求一元多项式最大公因式的一些常用方法的基础上，去探讨更为简捷的求最大公因式的方法.首先利用艾森斯坦判别法作为前提，判断所求最大公因式的多项式是否互素，接着对艾森斯坦判别法进行了更深的探索：如果存在不可约多项式，那么所求最大公因式是为1；若不互素，则利用本文所介绍的矩阵变换法去求解，并且较常用方法来说，用矩阵的初等变换运算更为快捷准确，最后对所有方法进行归纳总结以及评价.关键词：一元多项式，最大公因式，艾森斯坦判别法，初等变换目 录摘 要IABSTRACTII1 引言12 最大公因式概念及相关性质12.1最大公因式12.2一元多项式最大公因式的相关性质13介绍求一元多项式最大公因式的方法1 3.1辗转相除法33.2矩阵的初等变换54结束语7参考文献8致 谢9I榆林学院本科毕业设计（论文）1引言在求一元多项式最大公因式的方法的问题上，各种高等代数教材中已经做了许多介绍，但是在我们的实际应用或解题过程中，这些方法存在着运算复杂，计算量大等缺点.所以，探讨求多项式最大公因式新方法的问题就显得尤为重要.这里我们对求一元多项式最大公因式的问题做研究总结.2最大公因式概念以及相关的性质2.1最大公因式设是一个数域，是上的一元多项式环.定义1 令和是的两个多项式，若的一个多项式同时整除和，那么叫做和的一个公因式.定义2 设是多项式和的一个公因式，若是能被和的每一个公因式整除，那么叫做和的一个最大公因式.定义3 如果的两个多项式除零次多项式外不再有其他的公因式, 我们就说这两个多项式互素.2.2一元多项式最大公因式的相关性质定理1 的任意两个多项式和一定有最大公因式.除一个零次因式外，和的最大公因式是唯一确定的，这就是说，若是和的一个最大公因式，那么数域的任何一个不为零的数与的乘积而且当和不全为零多项式时，只有这样的乘积是和的最大公因式.定理2 的两个多项式和互素的充分且必要条件是：在中可以求得多项式和使：，即和的最大公因式是1.3介绍求一元多项式最大公因式的方法 在介绍求一元多项式最大公因式方法之前，首先引入以下一个判别法：定理3（艾森斯坦判别法）：设= 是一个整系数多项式，如果有一个素数，使得；,；.那么在有理数域上是不可约的. 我们可以应用艾森斯坦判别法容易证明一个事实，那就是：在有理数域上存在任意次数的不可约多项式. 所以，当我们求个一元多项式的最大公因式时可先将一元多项式进行可约性的判别， 如果出现某一个一元多项式通过艾森斯坦判别法得出它是不可约的， 或者其中某些多项式都是不可约多项式，那么，我们就很容易得出这些一元多项式的最大公因式是1， 即它们之间彼此互素. 但是 ，应用艾森斯坦判别法时应注意以下几点： 若找不到相应的素数，则整系数多项式可能可约，也可能不可约. 任意次数的不可约多项式都是存在的. 一些整系数多项式不能直接用艾森斯坦判别法来判断是否可约, 但做变形后可用该方法来判断.艾森斯坦判别法的等价形式：定理4 设是一个整系数多项式,若能找到一个素数使得 ； ； .那么多项式在有理数域上不可约.证明 反证法假设多项式在有理数域上可约，则可分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积：令，并且 .由此得到：因为 ，是素数，所以 或，但，即 与不能同时成立. 不妨假定 ，,则的系数不能全被整除，否则的系数将被整除，这与题设矛盾.令的系数中第一个不能被整除的系数是.考察等式 其中（当时，令）已知 ，因为 而 ，则 ，这与矛盾，则在有理域上不可约.说明：艾森斯坦判别法以及它的等价形式只局限于判别多项式的不可约性 ，即使是这样，有时应用起来还是较困难，因为有些多项式不能直接应用艾森斯坦判别法或它的等价形式作出判断，需要对它实施变换，但变换又不是一个简单的过程.另外，还有的多项式，因为它是可约的，就不能用以上方法判别. 所以，当我们在求多项式的最大公因式时，遇到不能利用艾森斯坦判别法以及它的等价形式来判断多项式不可约的情况时，即不能得出多项式是互素的关系时，我们也可以用下面几种方法：3.1.辗转相除法：辗转相除法是求两个多项式的最大公因式的常用方法，在每次作除法时用的是带余除法.但是，按照文献 1 2 3中的介绍，辗转相除法求最大公因式时，往往会出现较为复杂的分数运算，为了运算的简化，我们可以用一个非零常数去乘被除式或者除式.这种方法不仅在.辗转相除法的开始可以用，而且在.辗转相除法的过程中也可以用，对于计算结果并无影响这是由于： 有：， 另外，为了简化计算，在辗转相除的过程中，若遇到两个多项式的次数相同时，可以任取一个做除式，另一个做被除式.举例说明上述观点：例1 设， 求解 把先乘以3，再用来除 乘以-3 乘以 从而=3.2矩阵的初等变换法：我们知道，在数域上的所有次数不大于的一元多项式构成的多项式空间（对数乘和多项式加法封闭）与所有元有序数组形成的向量空间（对数乘和加法封闭）是同构的，即存在一个同构映射： 所以多项式就记为两个多项式 与的首项系数为1的最大公因式记为，由多项式的基本性质有：（1） = ；（2） = ，；（3） =，；（4） 设的常数项不为0，则=.由以上性质我们发现它与矩阵的初等变换的性质很类似，所以用矩阵表示多项式和的最大公因式，则由性质（1）、（2）、（3）知对矩阵经过行变换后，两多项式的最大公因式不变，由（4）知：当时，的最大公因式与的最大公因式是相同的.定义4 若阶矩阵的第行第列元素是零，替换即表示将矩阵的第行元素逐个向右退一位的变换，例如：现在，可以通过对上述矩阵进行初等行变换及替换S，使得其中某行都是零或只有一个非零数，进而很快求出它们的最大公因式.规定：例2 设，试求它们的最大公因式：解 对矩阵施行初等行变换 故例3 试求它们的最大公因式.解 对矩阵施行初等行变换及替换 所以上述方法是对多项式在PN+1上建立的同构映射所形成的矩阵进行初等变换，最终求得最大公因式的方法，所以总体上来，这种方法对于求多个多项式尤为简便不易出错.4结束语本文就如何求最大公因式的问题进行了深入的讨论，并且介绍了几种求最大公因式的方法，现总结如下：当我们待求若干个一元多项式的最大公因式时，第一步：利用艾森斯坦判别法以及它的等价形式对给出的一元多项式进行不可约性的判别，若其中有一个或者若干个多项式都是不可约的，那么就可以直接得出其最大公因式为1. 第二步：如果利用艾森斯坦判别法以及它的等价形式无法判别出一元多项式是否不可约时，利用辗转相除法或矩阵的初等变换法： （1）辗转相除法：求最大公因式的一般方法，当在求（2）个一元多项式的最大公因式时，每次是对两个多项式求最大公因式，因此要多次对两个多项式运用此方法，由此产生了计算过程复杂，用算量大等缺点.所以，辗转相除法适用于求两个多项式的最大公因式，较为方便. （2）矩阵的初等变换法：此方法，主要适用于求多个一元多项式的最大公因式，可以快速准确的求出结果，较为简捷.也许本文的讨论还不是很全面，文中还有许多不足道之处，有待继续研究. 参考文献 1：张禾瑞,郝炳新.高等代数第四版M.高等教育出版社,1999；38-80.2：北京大学数学系几何与代数教研室代数小组M.高等代数第三版.高等教育出版社;2003;12-29.3：邱森,高等代数M.武汉大学出版社,2008;435-468.4：沈文选,矩阵初等应用M.湖南科学技术出版社；1996;71-106.5：青海师专学报；2008；09-10.6：湖南理工学院学报（自然科学版）；2004；12-25.说这种方法优于辗转相除法.致 谢本论文在写作过程中得到冯爱萍老师的悉心指导，冯老师多次询问论文写作进程，并为我指点迷津，帮助我开拓写作思路，精心点拨. 冯老师一丝不苟的作风