数学与应用数学本科毕业论文-构造辅助函数的几种基本方法.doc

分类号分类号 O141.3 编编 号号 2012010201 毕业论文 题题 目目 构造辅助函数的几种基本方法 学学 院院 数学与统计学院 姓姓 名名 专专 业业 数学与应用数学 学学 号号 研研究究类类型型 基础研究 指指导导教教师师 提提交交日日期期 2012 年 5 月 25 日 原原创创性性声声明明 本本人人郑郑重重声声明明：本本人人所所呈呈交交的的论论文文是是在在指指导导教教师师的的指指导导下下 独独立立进进行行研研究究所所取取得得的的成成果果。学学位位论论文文中中凡凡是是引引用用他他人人已已经经发发 表表或或未未经经发发表表的的成成果果、数数据据、观观点点等等均均已已明明确确注注明明出出处处。除除文文 中中已已经经注注明明引引用用的的内内容容外外，不不包包含含任任何何其其他他个个人人或或集集体体已已经经发发 表表或或撰撰写写过过的的科科研研成成果果。 本本声声明明的的法法律律责责任任由由本本人人承承担担。 论论文文作作者者签签名名： 年年 月月 日日 论论文文指指导导教教师师签签名名： 构造辅助函数的几种基本方法构造辅助函数的几种基本方法 （天水师范学院 数学与统计学院 甘肃 天水 741000） 摘 要 本文首先列举出了构造辅助函数的几种较常见的方法，然后重点介绍了微分方 程法与积分因子法构造辅助函数的过程.通过比较说明用常微分方程中的方法构造辅助 函数的可取性和重要性,相对来说,这是一种具有一定规律可循，可解决更为一般的命 题的方法. 关键词 常微分方程;原函数;辅助函数 分类号 O141.3 Several Basic Methods of Constructing Auxiliary Function ZHU Xiaopeng (School of Mathematics and Statistics, Tianshui Normal University, Tianshui, Gansu 741000) Abstract This paper lists several common method of constructing auxiliary function at the first. And then focuses on the process of the differential equation method and the integral factor method of constructing auxiliary functions. By comparison, using the method of ordinary differential equations explained the desirability and importance of constructed the auxiliary function. Relatively speaking, it has some certain rules to follow, and to solve more general propositions. Key Words ordinary differential equation; original function; auxiliary function 目目 录录 引言 .1 1 常见的几种构造辅助函数的方法 .1 1.1 利用凑原函数的方法来构造辅助函数.1 1.2 利用几何方法构造辅助函数 .2 1.2.1 罗尔中值定理.2 1.2.2 拉格朗日中值定理 .3 1.3 利用常数值法构造辅助函数 .4 2 利用微分方程中的方法构造辅助函数 .5 2.1 用微分方程法构造辅助函数.5 2.1.1 知识预备.5 2.1.2 原理.7 2.2 用积分因子法构造辅助函数.9 2.2.1 知识预备.9 2.2.2 原理.10 3 结论 .11 参考文献 .12 致谢 .13 数学与统计学院 2012 届毕业论文 1 构造辅助函数的几种基本方法构造辅助函数的几种基本方法 引言 我们知道,辅助函数的构造方法多种多样,遇到问题时一般应具体问题具体分析.构 造一个合理的辅助函数,能架起一座连接条件和结论的桥梁,使问题变难为易.但通常却 没有一种较为一般的方法可循.我在常微分方程的学习过程中发现利用微分方程法和用 积分因子法求解一阶线性微分方程的一些方法往往可以用来构造辅助函数.如 ,等形式,通常都能解决.而且用常微分方程中的方( )( )0f xfx ( )( ) ( )0fxg x f x 法经常能够解决一些结构较复杂,难以化成变量分离或者常数部分分离,需要通过求解 微分方程得到原函数的题目. 1 常见的几种构造辅助函数的方法 1.1 利用凑原函数的方法来构造辅助函数 微分中值定理在积分学中的地位十分重要，它研究函数导数的中值特征，在利用 微分中值定理(特别是罗尔定理)求解介值或者零点问题时,证明的结论往往是某一函数 的导函数的零点,故可由不定积分求其原函数作为辅助函数. 若要证拉格朗日定理的结论,只需证明 ( )() ( )( )0fbaf bf a 观察可知有一个原函数,( )() ( )( )fbaf bf a ,( )( )() ( )( )xf x baf bf a x 又,此时在上满足罗尔定理.故,( )( )( )( )abbf aaf b( )x, a b( )0 即 .( )() ( )( )0fbaf bf a 因此可作为证明拉格朗日定理的辅助函数.( )x 由原函数构造辅助函数的一般步骤是 1.将结论中的(或)换成;xx 2.通过恒等变形,使其成为容易的积分; 数学与统计学院 2012 届毕业论文 2 3.用观察法或凑微分法求出一个原函数; 4.移项,使得等式的一端为 0,那么另一端即为所求的辅助函数. 例例 1 1 设在上连续，在上可导，证明:存在使得( )f x, a b, a b0ab, a b .( )( )ln( ) b f bf af a 证明证明 将要证明的结论中的换成,变为可以看出其x 1 ( )( )ln( )0 a f bf afx xb 左边的一个原函数为,故得辅助函数 ( )( )lnln( ) a f bf axf x b ( ) ( )( )lnln( ) a G xf bf axf x b 又因为在上连续,在内可导( )G x, a b, a b ( )( )( )ln( )lnG bG af baf ab 根据罗尔定理,则存在一点,使得, a b ( )0f 即 .( )( )ln( ) b f bf af a 1.2 利用几何方法构造辅助函数 不同于初等数学,高等数学中的一个基本公式、概念和定理的表述形式往往都非常 抽象,但是却通常具有特殊的几何背景，如定积分的几何意义是曲边梯形的面积,函数 在某点的导数值的几何意义即为曲线对应该点处的切线斜率;下面我们就利用微分中值 定理的一些几何意义来构造辅助函数. 1.2.1 罗尔中值定理 若函数满足以下条件 f x （1）在闭区间上连续; f x, a b （2）在开区间上可导; f x, a b （3）;( )( )f af b 数学与统计学院 2012 届毕业论文 3 则在内至少存在一点,使得, a b .( )0f 罗尔定理的几何意义: 在每一点都可导的一段连续函数上,如果曲线的两端点的高 度相等,那么在内至少能找到一点,使,表明曲线至少有一点的切线斜, a b 0fx 率为 0,从而切线平行于割线 AB,也就平行于 x 轴,即至少存在一条水平切线. 1.2.2 拉格朗日中值定理 若函数满足以下条件 f x （1）在闭区间上连续; f x, a b （2）在开区间上可导; f x, a b 则在内至少存在一点,使得, a b . ( )( ) ( ) f bf a f ba 拉格朗日中值的几何意义: 在满足定理条件的曲线上至少存在一点( )yf x ,该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线.( ,( )pf 对比两个定理的几何意义可以发现,只要把罗尔定理中的图形绕某点旋转一定角度,即 可得到拉格朗日定理中的几何图形.旋转过程中弧上的任一点到弧的距离( ,( )p x f x 不变,故得到.显然在上适合罗尔定理的条件,故在| ( )|x|( )|( )( )xf xf a( )x, a b 拉格朗日定理中,曲线上的任一点到弧所引的垂线段长度同样满足 f x( ,( )p x f x( )x 罗尔定理. 设,则所在直线方程为 ( )( )f bf a k ba AB ( )()yf ak xa 即 ( )0kxyf aka 则到直线的距离为( ,( )p x f xAB 数学与统计学院 2012 届毕业论文 4 2 ( )( ) ( ) 1 kxf xf aka x k 可证得在上连续, 内可导,又因为,故在上满( )x, a b, a b( )( )0ab( )x, a b 足罗尔定理. 所以至少存在一点,使得,又因为, a b( )0 2 ( ) ( ) 1 kfx k 故 ,( )0kf( )fk 即 ( )( ) ( ) f bf a f ba 所以可引入作为辅助函数来证明拉格朗日中值定理. 2 ( )( ) ( ) 1 kxf xf aka x k 1.3 利用常数值法构造辅助函数 除以上我们介绍的两种方法常用来构造辅助函数外，我们还经常用到常数值法，k 该方法适用于常数部分可分离出的命题.其一般的步骤如下 1.把常数部分令为;k 2.进行恒等变形,使等式一边为和构成的代数式,另一边为和构成的代数a( )f ab( )f b 式. 3.观察关于端点的表达式是否为对称式,如果是,把改为,函数值改为,则ax( )f a( )f x 交换变量后的端点表达式就是所求辅助函数. 例例 2 2 设在上存在, ,试证:至少存在一个,使得( )fx , a bacb, a b . ( )( )( )1 ( ) ()()()()()()2 f af cf b f ab acca cbba bc 分析 令 ( )( )( ) ()()()()()() f af cf b k ab acca cbba bc 则 数学与统计学院 2012 届毕业论文 5 () ( )() ( )() ( )()()()ab f cbc f aca f bk ac ab bc 该式为关于端点, 的轮换式， （即式子不变）.令,得abc( , , )( , , )a b cb c abx .( )() ( )() ( )() ( )()()()F xxc f aax f cca f xk ax ac xc 证明证明 显然在上是存在的,且有( )Fx, a b ( )() ( )() ( )() ( )()()()0F aac f aaa f cca f ak aa ac ac ( )() ( )() ( )() ( )()()()0F bbc f aab f cca f bk ab ac bc ( )() ( )() ( )() ( )()()()0F ccc f aac f cca f ck ac ac cc 则有,使得,.故存在使 1 ( , )a c 2 ( , )c b 1 ( )0F 2 ()0F 12 ( ,)( , )a b 即,则( )0F ( )2fk . ( )( )( )1 ( ) ()()()()()()2 f af cf b f ab acca cbba bc 2 利用微分方程中的方法构造辅助函数 2.1 用微分方程法构造辅助函数 2.1.1 预备知识 设一阶微分方程 (1)( , )( , )0M x y dxN x y dy 此处设,是在某矩形区域内,连续函数，并且有连续的一阶偏导数.( , )M x y( , )N x yxy 若(1)的左边是某个二元函数的全微分,则有( , )u x y (2) ( , )( , )( , )M x y dxN x y dydu x y uu dxdy xy 那么称(1)为恰当微分方程.容易验证,(1)的通解就是,这是 是任意常数.( , )u x ycc 由(2)得到 数学与统计学院 2012 届毕业论文 6 (3) u M x (4) u N y 将(3), (4)分别对,求偏导,得到yx , 2u M y xy 2u N x yx 又由于,的连续性,可得 M y N x 22 uu y xx y 即 . (5) MN yx 我们可以证明方程(1)满足(5),且能找到函数,使它同时适合(3)和(4).由(3)出发,把u 看作参数,求解得到y (6)( , )( )uM x y dxy 这里是的任意可微函数,现在来选择使也满足(4). ( )yy( )yu ( ) ( , ) udy M x y dxN yydy 即 (7) ( ) ( , ) dy NM x y dx dyy 现在要证明(7)式右边与无关,只需求的偏导数使其恒为零即可.xx ( , )( , ) ( , ) 0 N NM x y dxM x y dx xyxxy N M x y dx xyx NM xy 数学与统计学院 2012 届毕业论文 7 满足分析,说明与无关.x 现在对(7)积分,得到 (8)( )( , )yNM x y dx dy y 把(8)式代入(6)式得到 ( , )( , )uM x y dxNM x y dx dy y 故恰当微分方程(1)的通解就是 ( , )( , )M x y dxNM x y dx dyc y 这里 为任意常数.c 2.1.2 原理原理 如遇到求证存在,使之类的问题时,可求解微分方程, a b( )( ,( )ff 得其通解,则可构造辅助函数为( , )yx y ( , )G x yc .( )( ,( )F xG x f x 定理定理 设是方程的通解,令,若在可( , )u x yc( , )yx y ( )( ,( )F xu x f x( )f x, a b 导，且，则存在使得( )( )F aF b, a b .( )( ,( )ff 证明证明 由是方程的通解,所以,得,故( , )u x yc( , )yx y 0 xy uu y x y u y u .( , ) x y u yx y u 又因为在上满足罗尔定理,故存在,使得,即( )( ,( )F xu x f x , a b, a b( )0F ( ,( )( ,( )( )0 xy ufuff 故 . ( ,( ) ( )( ,( ) ( ,( ) x y uf ff uf 数学与统计学院 2012 届毕业论文 8 由以上定理可得出下面两个结论: 结论结论 1 1 若要证明的结论是的形式,可将换成,令,得到( )( ,( )ff x( )yf x 微分方程,若解得其通解为,则可构造辅助函数,( , )yx y ( , )u x yc( )( ,( )F xu x f x 然后再验证满足罗尔定理即可.( )F x 例例 3 3 设在上连续,在内可导,试证:存在,使得( )f x , a b( , )a b, a b . ( )( ) ( )( ) bf baf a ff ba 证明证明 将换成,令,得微分方程x( )yf x ( )( ) ( )( ) bf baf a f xxfx ba 求得其通解为 , ( )( ) ( ) bf baf a xf xxc ba 所以有辅助函数 . ( )( ) ( )( ) bf baf a F xxf xx ba 故我们构造辅助函数 , ( )( ) ( )( ) bf baf a F xxf xx ba 易知在上连续,在内可导,并且.说明满足罗尔定理,则存( )F x , a b( , )a b( )( )0F aF b 在,使,即, a b( )0F . ( )( ) ( )( ) bf baf a ff ba 结论结论 2 2 若要证明的结论是的形式,则将换成,令 ( ) ( ( ), ( ) ( ) f fg g x ,( )yf x( )zg x 得到方程,若解得其通解为,则可构造辅助函数( , ) dy y z dz ( , )u y zc ,再验证是否满足罗尔定理即可.( )( ( ), ( )F xu f x g x( )F x 例例 4 4 设函数,在上连续,在内可导,( )f x( )g x , a b( , )a b ,( )( )0f af b( )( )0g ag b 数学与统计学院 2012 届毕业论文 9 求证:存在,使, a b .( )( )( ( )( ) 1)fgfg 证明证明 根据结论 2 可得到微分方程，求得其通解为，于是1 dy yz dz () z yz ec 有辅助函数 ( ) ( )( ( )( ) g x F xf xg x e 由题设知在上连续,在内可导,且,说明满足罗尔定理,存( )F x , a b( , )a b( )( )0F aF b 在,使得,即, a b( )0F .( )( )( ( )( ) 1)fgfg 2.2 用积分因子法构造辅助函数 2.2.1 预备知识 如果存在连续可微函数,使得( , )0 x y( , )( , )( , )( , )0 x y M x y dxx y N x y dy 成为一恰当微分方程,即存在函数 ,使得,v( , )( , )( , )( , )x y M x y dxx y N x y dydv 那么就称为方程(1)的积分因子.( , )x y 定理定理 是微分方程的积分因子的充要条件是( , )x y( , )( , )0M x y dxN x y dy , ()()MN yx 即 .() MN NM xyyx 特别若,则微分方程(1)有积分因子,( ) MN yx x N ( )x dx e 若,则微分方程(1)有积分因子.( ) MN yx x M ( )x dy e 如一阶线性微分方程 数学与统计学院 2012 届毕业论文 10 ( )( ) dy P x yQ x dx 相应的齐次方程 ( )0 dy P x y dx 令积分因子,则有 ( )P x dx e .( )( ) ( ) dyd xP x yx y dxdx 2.2.2 原理原理 寻求使得两边积分得,将 换成的函数,则,( )0u x ( )( )( )0u x F xG x( )cG xcx( )x( )( )xG x 就是要构造的辅助函数. 若要证明的结论是的形式,把换成,令,得到微( )( ) ( )( )fpfqx( )yf x 分方程,变形为( )( )yp x yq x ,( ( )( )0p x yq x dxdy 这里 ,( )( )Mp x yq x1N 1 ()( ) yx MNp x N 则积分因子,使为全微分方程,通解为 ( )p x dx e ( ( )( )0p x yq x dxdy , ( )( ) ( )( ) p x dxp x dx f x eq x edxc 故可构造辅助函数 ( )( ) ( )( )( ) p x dxp x dx F xf x eq x edx 再验证满足罗尔定理即可.( )F x 例例 5 5 设在可导,求证:存在,使得( )f x1,21,2 .2 (1)(2)( )( )ffff 证明证明 令,要证明在存在零点,就是要证明2 (1)(2)ffk( )( )xfxf xk (1,2) 在存在零点,也就是要证 ( ) ( ) f xk fx xx (1,2) ( ) ( )( ) f xk xfx xx 数学与统计学院 2012 届毕业论文 11 在存在零点,其中即在存在零点.我们构造辅助函(1,2) 1 1 ( ) dx x xe x 1 ( ) k f x xx (1,2) 数则在可导;又 1 ( ) ( )F xf xk x ( )F x1,2 , 11 (2)(1) (2) (1) (2)2 (1)0 22 FFfkfkffk 由罗尔定理, 存在, ,也就是1,2( )0F , 22 11 ( )( )0 k ff 即 .( )( )0ffk 3 结论 以上先给了几种我们常见的辅助函数的构造方法,又重点介绍了用常微分方程中的 方法来构造辅助函数,通过几种方法的举例比较,可以看出用微分方程和积分因子法构 造辅助函数具有一定