二次函数图像总结

1 / 38 二次函数图像总结 第 5 讲 二次函数的图象和性质 一、知识点回顾 1. 二次函数解析式的几种形式： 2 一般式： y?ax?bx?c 2 顶点式： y?a(x?h)?k，其中为顶 点坐标。 y?a(x?x1)(x?x2)， 交点式：其中 x1， x2是抛物线与x 轴交点的横坐标， 2 / 38 2 即一元二次方程 ax?bx?c?0 的两个根，且 a0 ，。 ( 转 载于 : 海达 范文 网 : 二 次 函 数 图 像 总 结 ) 2 y?ax?bx?c 的图象 2. 二次函数 2y?ax?bx?c的图象是对称轴平行于 y轴的抛物 二次函数 线，几个不同的二次函数，如果 a 相同，那么抛物线的开口方向，开口大小完全相同，只是位置不同。 22 y?a(x?h)?ky?ax 任意抛物线可以由抛物线经过适当的平移得到， 移动规律可简记为： 左加右减，上加下减 ，具体平移方法如下表所示。 3 / 38 22 y?ax?bx?cy?a(x?h)?k 的形式，然 在画的图象时，可以先配方成 后将 y?ax 的图象上左平移得到所求图象，即平移法；也可用描 22 点法：也是将 y?ax?bx?c 配成 y?a(x?h)?k 的形式，这样可以确定开口方 2 向，对称轴及顶点坐标。然后取图象与 y 轴的交点，及此点关于对称轴对称的点；如果图象与 x 轴有两个交点，就直接取这两个点， 就行了；如果图象与 x轴只有一个交点或无交点，那应该在对称轴两侧取对称点，一般画图象找 5个点。 4 / 38 4. 求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法 22 配方法：将解析式 y?ax?bx?c 化为 y?a(x?h)?k 的形式，顶点坐标 为，对称轴为直线 x?h，若 a 0， y 有最小值，当 x h时，y 最小值 ?k；若 a 0， y 有最大值，当 x h时， y最大值 ?k。 b4ac?b2 ?， 4a） 公式法：直接利用顶点坐标公式满 足 f 1， f 1，且 f 的最大值是 8，试求 f。 解答： 法一：利用二次函数的一般式方程 设 f ax2 bx c，由题意 5 / 38 故得 f 4x2 4x 7。 法二：利用二次函数的顶点式方程 设 f a2 n 由 f f 可知其对称轴方程为又由 f 的最大值是 8 可知，a ，故 m ； 故。 法三：利用二次函数的零点式方程 由 f 1， f 1 可知 f 1 的两根为 2 和 1，故可设 F f 1 a。又由 f 的最大值是 8可知 F的最大值是 9，从而解得 a 4 或 0。 所以 f 4x2 4x 7。 说明： 求函数解析式一般采用待定系数法，即先按照需要设出函数方程，然后再代入求待定系数。 6 / 38 考点二 二次函数的图像变换 例 2.已知 t为常数，函数 在区间 0， 3上的 最大值为 2，则 t 。 解答：作出的图像， I、若所有点都在 x轴上方，则 ymax f 2 可解得 t 1； II、若图像有部分在 x 轴下方，把 x轴下方的部分对称地翻折到 x 轴上方即可得到 的图像，则 ymax f 或 ymax f，解得 t 3 或 t 1，经检验， t 1。综上所述， t 1。 考点三 二次函数的图像的应用 例 3.已知函数 f 4x2 mx 5 在区间 2， 上是增函数，则 f 的范围是 7 / 38 A. f25 B. f 25 C. f25 D. f25 解答 ：函数 f 4x2 mx 5在区间 2， ）上是增函数，则区间 2， ）必在对称轴的右侧，从而 选 A。 说明：解决此类问题结合函数图像显得直观。 考点四 二次函数的 性质的应用 例 4.设 的定义域是 n， n 1，试判断 的值 ，故 f 9 m25 。 域中共有多少个整数？ 分析：可以先求出值域，再研究其中可能有多少个整数。 8 / 38 解答： 的对称轴为 ，因为 n是自然数，故 ， 所以函数在 n， n 1上是增函数。故 故知：值域中共有 2n 2 个整数。 说明：本题利用了函数的单调性，很快求出了函数的值域，这是求函数值域的一个重要方法。 考点五 二次函数的最值 例 5.试求函数 分析：本题需就对称轴 1 ， 2， 在区间 1， 3上的最值。 与区间的相对位置关系进行分类讨论： 9 / 38 3。 有两个正实根； 有一个正实根，一个负实根。 解答：设，由方程有两个正实根，结合图像可知： 二次函数的图象和性质知识点总结 一、知识点回顾 1. 二次函数解析式的几种形式： 2 一般式： y?ax?bx?c 2 顶点式： y?a(x?h)?k，其中为顶点坐 10 / 38 标。 交点式： y?a(x?x1)(x?x2)，其中 x1， x2是抛物线与 x轴交点的横坐标，即 2 一元二次方程 ax?bx?c?0的两个根，且 a0 ，。 2 y?ax?bx?c 的图象 2. 二次函数 2y?ax?bx?c的图象是对称轴平行于 y 轴的抛物线， 二次函数 几个不同的二次函数，如果 a相同，那么抛物线的开口方向，开口大小 完全相同，只是位置不同。 22 11 / 38 y?a(x?h)?ky?ax 任意抛物线可以由抛物线经过适当的平移得到，移动 规律可简记为： 左加右减，上加下减 ，具体平移方法如下表所示。 22 y?ax?bx?cy?a(x?h)?k 的形式，然后将 在画的图象时，可以先配方成 y?ax2 的图象上左平移得到所求图象，即平移法；也可用描点法： 22 也是将 y?ax?bx?c 配成 y?a(x?h)?k 的形式，这样可以确定开口方向，对 称轴及顶点坐标。然后取图象与 y 轴的交点，及此点关于对称轴对称的点；如果图象与 x轴有两个交点，就直接取这两12 / 38 个点， 就行了；如果图象与 x轴只有一个交点或无交点，那应该在对称轴两侧取对称点，一般画图象找 5个点。 4. 求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法 22 配方法：将解析式 y?ax?bx?c 化为 y?a(x?h)?k 的形式，顶点坐标为，对称轴为直线 x?h，若 a 0， y 有最小值，当x h时， y最小值 ?k；若 a 0， y 有最大值，当 x h 时， y最大值 ?k。 b4ac?b2 ?， 4a） 公式法：直接利用顶点坐标公式满足 f 1， f 1，且 f 的最 大值是 8，试求 f。 13 / 38 解答： 法一：利用二次函 数的一般式方程 设 f ax2 bx c，由题意 故得 f 4x2 4x 7。 法二：利用二次函数的顶点式方程 设 f a2 n 由 f f 可知其对称轴方程为又由 f 的最大值是 8 可知，a 。 ，故 m ； 法三：利用二次函数的零点式方程 由 f 1， f 1 可知 f 1 的两根为 2 和 1，故可设 F f 1 a。又由 f 的最大值是 8可知 F的最大值是 9，从而解得 a 4 或 0。 14 / 38 2 所以 f 4x 4x 7。 说明： 求函数解析式一般采用待定系数法，即先按照需要设出函数方程，然后再代入求待定系数。 考点二二次函数的图像变换 例 2.已知 t为常数，函数 在区间 0， 3上的 最大值为 2，则 t。 解答：作出的图像， I、若所有点都在 x轴上方，则 ymax f 2 可解得 t 1； II、若图像有部分在 x 轴下方，把 x轴下方的部分对称地翻折到 x 轴上方即可得到 的图像，则 ymax f 或 ymax f，解得 t 3 或 t 1，经检验， t 1。综上所述， t 1。 15 / 38 考点三二次函数的图像的应用 例 3.已知函数 f 4x2 mx 5 在区间 2， 上是增函数，则 f 的范围是 A. f25 B. f 25 C. f25 D. f25 解答：函数 f 4x2 mx 5在 区间 2， ）上是增函数，则区间 2， ）必在对称轴的右侧，从而选 A。 ，故 f 9 m25 。 说明：解决此类问题结合函数图像显得直观。 考点四二次函数的性质的应用 例 4.设 的定义域是 n， n 1，试判断 的值 16 / 38 域中共有多少个整数？ 分析：可以先求出值域，再研究其中可能有多少个整数。 解答： 的对称轴为 ，因为 n是自然数，故 ， 所以函数在 n， n 1上是增函数。故 故知：值域中共有 2n 2 个整数。 说明：本题利用了函数的单调性，很快求出了函数的值域，这是求函数值域的一个重要方法。 考点五二次函数的最值 例 5.试求函数在区间 1， 3上的最值。 17 / 38 分析：本题需就对称轴 1 ， 2， 与区间的相对位置关系进行分类讨论： 3。 平移 m 个单位， y?ax2?bx?c 变成 y?ax2?bx?c?m y?ax?bx?c 沿轴平移：向左平移 m 个单位， y?ax?bx?c 变成 2 2 y?a(x?m)2?b(x?m)?c 三、二次函数 y?a?x?h?k 与 y?ax2?bx?c 的比较 从解析式上看， y?a?x?h?k 与 y?ax2?bx?c 是两种不同的表18 / 38 达形式，后者通过配 b?4ac?b2b4ac?b2? 方可以得到前者，即 y?a?x?，其中 h?， k? 2a?4a2a4a? 2 2 2 四、二次函数 y?ax2?bx?c 图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数 y?ax2?bx?c 化为顶点式 y?a(x?h)2?k，确定 其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图 .一般我们 c?、以及 ?0， c?关于对称轴对称的点 ?2h， c?、选取的五点为：顶点、与 y轴的交点 ?0， 19 / 38 0?， ?x2， 0?. 与 x 轴的交点 ?x1， 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 x轴的交点，与 y轴的交点 . 五、二次函数 y?ax2?bx?c 的性质 ?b4ac?b2?b 1. 当 a?0 时，抛物线开口向上，对称轴为 x?，顶点坐标为 ? 2a4a2a? 当 x? bbb 时， y随 x 的增大而减小；当 x?时， y 随 x的增大而增大；当 x?2a2a2a 20 / 38 4ac?b2 时， y有 最小值 4a ?b4ac?b2?b 2. 当 a?0 时，抛物线开口向下，对称轴为 x?，顶点坐标为 ?当 2a4a2a? x? bbb 时， y随 x 的增大而增大；当 x?时， y 随 x的增大而减小；当 x?时， y2a2a2a 4ac?b2 21 / 38 有最大值 4a 六、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式： y?ax2?bx?c； 2. 顶点式： y?a(x?h)2?k； 3. 两根式： y?a(x?x1)(x?x2). 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写 成交点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即 b2?4ac?0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化 . 七、二次 函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数 a 22 / 38 二次函数 y?ax2?bx?c 中， a作为二次项系数，显然 a?0 当 a?0时，抛物线开口向上， a 的值越大，开口越小， 反之 a 的值越小，开口越大； 当 a?0 时，抛物线开口向下， a 的值越小，开口越小，反之 a的值越大，开口越大 总结起来， a 决定了抛物线开口的大小和方向， a 的正负决定开口方向， a的大小决定开口的大小 2. 一次项系数 b 在二次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴 在 a?0 的前提下， 当 b?0时， ?当 b?0 时， ?当 b?0时， ? b ?0，即抛物线的对称轴在 y 轴左侧； 2a b ?0，即抛物线的对称轴就是 y 轴； 2a 23 / 38 b ?0，即抛物线对称轴在 y轴的右侧 2a 在 a?0的前提下，结论刚好与上述相反，即 当 b?0时， ?当 b?0时， ?当 b?0 时， ? b ?0，即抛物线的对称轴在 y 轴右侧； 2a b ?0，即抛物线的对称轴就是 y 轴； 2a b ?0，即抛物线对称轴在 y轴的左侧 2a 总结起来，在 a 确定的前提下， b 决定了抛物线对称轴的位置 24 / 38 ab的符号的判定：对称轴 x? b 在 y 轴左边则 ab?0，在 y 轴的右侧则 ab?0， 2a 概括的说就是 “ 左同右异 ” 总结： 3. 常数项 c 当 c?0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正； 当 c?0 时，抛物线与 y轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为 0； 当 c?0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负 总结起来， c决定了抛物线与 y 轴交点的位置 b， c 都确定，那么这条抛物线就是 唯一确定的 总之，只要 a， 二次函数解析式的确定： 25 / 38 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解 题简便一般来说，有如下几种情况： 1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与 x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式 八、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于 x 轴对称 y?a2x?bx?关于 cx 轴对称后，得到的解析式是 y?ax2?bx?c； y?a?x?h?k关于 x轴对称后，得到的解析式是 y?a?x?h?k； 2. 关于 y轴对称 26 / 38 x?bx?关于 cy 轴对称后，得到的解析式是 y?ax2?bx?c； y?a2 22 y?a?x?h?k关于 y 轴对称后，得到的解析式是 y?a?x?h?k； 22 3. 关于原点对称 y?a2x?bx?关于原点对称后，得到的解析式是 cy?ax2?bx?c； y?a?x?h?关于原点对称后，得到的解析式是 ky?a?x?h?k； 4. 关于顶点对称 2 2 b2 y?ax?bx?关于顶点对称后，得到的解析式是cy?ax?bx?c?； 27 / 38 2a 2 2 y?a?x?h?k关于顶点对称后，得到的解析式是 y?a?x?h?k 5. 关于点 ?m， n?对称 n?对称后，得到的解析式是 y?a?x?h?2m?2n?k y?a?x?h?k关于点 ?m， 2 2 22 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 a永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适28 / 38 的形式，习惯上是先确定原抛物线的顶点坐标及开口方向，再 确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式 二次函数图像参考： 2 y=3(x+4)2 y=3x 2 2 2-3 十一、 y=-2x2 29 / 38 y=-2(x-3)2 专题讲解 二次函数的图象 知识点回顾： 1. 二次函数解析式的几种形式： 一般式： y?ax2?bx?c 2 y?a(x?h)?k，其中为顶点坐标。 交点式： y?a(x?x1)(x?x2)，其中 x1， x2是抛物线与 x轴交点的横坐标，即一元二次方程 ax2?bx?c?0 的两个根，且a0 ，。 2. 二次函数 y?ax2?bx?c的图象 30 / 38 y?ax2?bx?c的图象是对称轴平行于 二次函数 y 轴的抛物线，几个不同的二次函数，如果 a 相同，那么抛物线的开口方向，开口大小完全相同，只是位置不同。 任意抛物线 y?a(x?h)2?k 可以由抛物线 y?ax2 经过适当 的平移得到，移动规律可简记为： 左加右减，上加下减 ，具体平移方法如下表所示。 在画 y?ax2?bx?c的图象时，可以先配方成 y?a(x?h)2?k 的形式，然后将 y?ax2的图象上左平移得到所求图 31 / 38 2 象，即平移法；也可用描点法：也是将 y?ax?bx?c 配成 y?a(x?h)2?k 的形式，这样可以确定开口方向，对称轴及顶点坐 标。然后取图象与 y 轴的交点，及此点 关于对称轴对称的点；如果图象与 x轴有两个交点，就直接取这两个点，就行了；如果图象与 x轴只有一个交点或无交点，那应该在对称轴两侧取对称点，一般画图象找 5 个点。 3. 二次函数的性质 4. 求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法 配方法：将解析式 y?ax2?bx?c化为 y?a(x?h)2?k 的形式， 顶点坐标为，对称轴为直线 x?h，若 a 0， y有最小值， 32 / 38 y 最小值 ?ky 最大值 ?k 当 x h 时，；若 a 0， y 有最大值，当 x h时，。 b4ac?b2 ?， 4a 公式法：直接利用顶点坐标公式，求其顶 点；对称轴是直线，若 有最大值， b4ac?b2 a?0， y 有最小值，当 x?时， y最小值 ?； 2a4a若 a?0， yb4ac?b2 x?时， y最大值 ? 2a4a当 33 / 38 5. 抛物线与 x轴交点情况： 对于抛物线 y?ax2?bx?c(a0) 当 ?b2?4ac?0 时，抛物线与 x 轴有两个交 点，反之也成立。 当 ?b2?4ac?0 时，抛物线与 x 轴有一个交点，反之也成立，此交点即为顶点。 当 ?b2?4ac?0 时，抛物线与 x轴无交点，反之也成立。 二次函数的图像和性质 1.二次函数的图像与性质： 2.抛物线的平移法则： 2 抛物线 y?ax?k的图像是由抛物线 y?ax的图像平移 k个单位而得到 34 / 38