二次函数之面积问题(教师版).doc

草 演他山之石可以攻玉 学海无涯扬帆起航二次函数之面积问题预习指南一、填写下列有关一次函数之面积问题的内容1. 坐标系中处理面积问题，要寻找并利用_的线，通常有以下三种思路：_（规则图形）；_（分割求和、补形作差）；_（例：同底等高）2. 坐标系中面积问题的处理方法举例 割补求面积（铅垂法）： 在图形附近标注出来，这两个面积公式是如何推导的.转化求面积：如图，满足SABP=SABC的点P都在直线l1，l2上二、借助上面填写的内容，做下面的小题如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(-1，3)，B(3，-2)，则AOB的面积为_（铅垂法）做完题目后思考回答下列问题： 用补形作差的方法表达斜放置的AOB的面积，跟铅垂法对比工作量之间的差别，哪个更简单？ 铅垂法的本质是割补法求面积，对于这种三定点的题目，除了用竖直的线分割之外，还可以用水平的线分割，在图中标上字母，列出计算式子 三、以下内容是我们已经学过的，检测一下1 已知二次函数与x轴的交点坐标，求函数解析式，设_式最简便2 坐标系中表达横平竖直的线段长的口诀是_，_3 函数特征与几何特征互转的两种手段：由几何特征表达_，代入_求解由函数表达式设出_点坐标，借助_求解四、建议按照下面三个要求去做： 预习时用铅笔，将计算、演草都保留在讲义上； 预习时间控制在一个小时，每题10-15分钟； 每天预习时，看知识点睛做题，思路受阻时（某个点做了2-3分钟）再看知识点睛，再做题（再做2-3分钟），如果还不行就放弃，课堂重点听讲。五、小结 二次函数之面积问题（讲义）一、知识点睛1. 二次函数之面积问题的处理思路分析目标图形的点、线、图形特征；依据特征、原则对图形进行割补、转化；设计方案，求解、验证面积问题的处理思路：公式、割补、转化坐标系背景下问题处理原则：_，_2. 二次函数之面积问题的常见模型割补求面积铅垂法： 转化法借助平行线转化：若SABP=SABQ，若SABP=SABQ，当P，Q在AB同侧时，当P，Q在AB异侧时，PQABAB平分PQ二、精讲精练1. 如图，抛物线经过A(-1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点（1）求抛物线的解析式（2）点M是直线BC上方抛物线上的点（不与B，C重合），过点M作MNy轴交线段BC于点N，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示MN的长（3）在（2）的条件下，连接MB，MC，是否存在点M，使四边形OBMC的面积最大？若存在，求出点M的坐标及四边形OBMC的最大面积；若不存在，请说明理由2. 如图，抛物线与直线交于A，C两点，其中C点坐标为(2，t)（1）若P是直线AC上方抛物线上的一个动点，求APC面积的最大值（2）在直线AC下方的抛物线上，是否存在点G，使得？如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由3. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与直线交于点A和点C(2，-3).（1）若点M在抛物线上，且以点M，A，C以及另一点N为顶点的平行四边形ACNM的面积为12，求M，N两点的坐标（2）在（1）的条件下，若点Q是x轴下方抛物线上的一动点，当QMN的面积最大时，请求出QMN的最大面积及此时点Q的坐标4. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，连接PB（1）抛物线上是否存在异于点P的一点Q，使QMB与PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由（2）在第一象限对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使RMP与RMB的面积相等？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由5. 如图，已知抛物线与x轴交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C(0，-3)（1）求抛物线的解析式（2）如图，已知点H(0，-1)在x轴下方的抛物线上是否存在点D，使得SABH =SABD？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由在抛物线上是否存在点G（点G在y轴的左侧），使得SGHC =SGHA？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由三、回顾与思考_ 二次函数之面积问题（随堂测试）1. 如图，二次函数的图象与一次函数的图象交于A，B两点，已知点A的横坐标为-1，点B的横坐标为2（1）设C是直线OB下方的抛物线上一点，当四边形OABC的面积最大时，求点C的坐标及四边形OABC的最大面积（2）抛物线上是否存在点P，使得ABP与ABO的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由二次函数之面积问题（作业）例：如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(-2，2)，点B的坐标为(6，6)，抛物线经过A，O，B三点，连接OA，OB，AB，线段AB交y轴于点E（1）求点E的坐标及抛物线的函数解析式（2）点F为线段OB上的一个动点（不与点O，B重合），直线EF与抛物线交于M，N两点（点N在y轴右侧），连接ON，BN当点F在线段OB上运动时，求BON面积的最大值，并求出此时点N的坐标；当SENO=SENB时，求此时点F和点N的坐标【思路分析】1. 读题标注，研究背景图形已知A，O，B三点坐标，可以求得抛物线解析式；要求点E坐标，点E为直线AB与y轴的交点，求得AB的解析式即可求得点E坐标2. 梳理条件，整合信息，设计方案求解（2）问：1) 整合信息，分析特征：由所求入手分析，目标为SBON的最大值，发现O，B为定点，N为动点且点N的运动范围受F影响，可判断点N在直线OB下方的抛物线上运动，即0xN6；抛物线解析式已知，可以用一个未知数设出点N的坐标2) 设计方案：注意到三条线段都是斜放置的线段，需要借助横平竖直的线段来表达，所以考虑利用铅垂法来表达SBON（2）问：1) 整合信息，分析特征：由所求入手分析，目标为SENO=SENBE，B，O为定点，N为动点且点N的运动范围受F影响，可判断点N在直线OB下方的抛物线上运动，即0xN6；观察两个三角形，发现有公共边EN，考虑把面积相等的问题转化为高相等的问题来处理，借助同底等高模型解决问题2) 设计方案：考虑两个三角形在同侧和异侧的两种情况，注意到N点的运动范围，则只有在异侧的情况，要想让两个三角形的高相等，只需让EN经过OB的中点即可，即F在OB的中点位置，确定EN后，联立求解点N的坐标1. 如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(-2，2)，点B的坐标为(6，6)，抛物线经过A，O，B三点，连接OA，OB（1）求抛物线的函数解析式（2）若N是直线OB下方的抛物线上一点，当BON的面积最大时，求点N的坐标及BON的最大面积（3）若P是直线OB上方的抛物线上一点，当BOP的面积与（2）中BON的最大面积相等时，求点P的坐标2. 如图，已知二次函数的图象经过A(1，0)，B(5，0)，C(0，5)三点（1）求二次函数的解析式（2）过点C的直线与二次函数的图象交于点E(4，n)，求CEB的面积（3）抛物线上是否存在点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由3. 如图，直线与抛物线交于A，B两点，C是抛物线的顶点（1）在直线AB上方的抛物线上是否存在点P，使得ABP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由（2）抛物线上是否存在异于点C的一点Q，使得ABQ与ABC的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由（3）若点M在抛物线上，且以点M，A，B以及另一点N为顶点的平行四边形ABNM的面积为240，求M，N两点的坐标学生做题前请先回答以下问题问题1：坐标系背景下问题的处理原则是什么？问题2：坐标系中处理面积问题的思路有哪些？问题3：具有什么样特征的三角形在表达面积时会使用铅垂法？问题4：铅垂法的具体做法是什么？问题5：如何利用铅垂法表达三角形的面积？二次函数之面积问题（铅垂法）（一）一、单选题(共7道，每道12分)1.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，点P是直线AC下方抛物线上的点（不与A，C重合），连接PA，PC，设点P的横坐标为m，PAC的面积为S，则S与m之间的函数关系式为_，当m=_时，S有最大值( )A.，5 B.，C.，5 D.，2.如图，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，当PAC的面积最大时，点P的坐标和PAC的最大面积分别为( )A.B.C.D.3.如图，一次函数与y轴、x轴分别交于点A，B，抛物线过A，B两点Q为直线AB下方的抛物线上一点，设点Q的横坐标为n，QAB的面积为，则与n之间的函数关系式为( )A.B.C.D.4.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点（点B在点C的左侧）点P是第二象限内抛物线上的点，PAC的面积为S，设点P的横坐标为m，则S与m之间的函数关系式为( )A.B.C.D.5.如图，已知二次函数的图象上一点A，其横坐标为-2，直线过点A并绕着点A旋转，与抛物线的另一个交点是B，点B的横坐标m满足，连接OA，OB，则当AOB的面积最大时，点B的坐标为( )A.B.C.D.6.如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，则当四边形CDBF的面积最大时，点E的坐标以及四边形CDBF的最大面积分别是( )A.B.C.D.7.如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接BC若点P为线段BC上的一点（不与B，C重合），PMy轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，则当BCM的面积最大时，BPN的周长为( )A.B.C.D.学生做题前请先回答以下问题问题1：坐标系背景下问题的处理原则是什么？问题2：坐标系中处理面积问题的思路有哪些？问题3：具有什么样特征的三角形在表达面积时会使用铅垂法？问题4：如图，ACP是任意斜放置的三角形，过P作铅垂的线交AC于点M，设PM=a，AC的水平距离为h求证：问题5：试题3中，要求ABC的面积用哪一种方式处理比较简单？你是怎么求的？问题6：试题4中，四边形PDCB的面积你是如何考虑的？二次函数之面积问题（铅垂法）（二）一、单选题(共5道，每道20分)1.如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点CM为抛物线上一动点，且在第三象限，若存在点M使得，则此时点M的横坐标为( )A.B.C.D.2.如图，已知直线与抛物线交于A（-4，-2），B（6，3）两点，抛物线与y轴的交点为C在抛物线上存在点P使得PAC的面积是ABC面积的，此时点P的坐标为( )A.B.C.D.3.如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点分别为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90，得到COD设点P是过C，D，B三点的抛物线上的一点，且在第一象限，若四边形PDCB的面积是COD面积的4倍，则点P的坐标为( )A.B.C.D.4.如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点CD为线段BC的中点，P为x轴下方的抛物线上任一点，以BC为边作平行四边形CBPQ设平行四边形CBPQ的面积为，ABD的面积为，若，则点P的坐标为( )A.B.C.D.5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点O，B，点A，P为抛物线上的点，点A的横坐标为1，点P的横坐标为m（），过点P作x轴的垂线，交直线AB于点D，线段OD把AOB分成两个三角形，若其中一个三角形的面积与四边形DBPO的面积之比为2：3，则点P的横坐标为( )A.B.C.D.学生做题前请先回答以下问题问题1：具有什么样的特征图形在表达面积时可采用铅垂法？问题2：铅垂法的具体的做法？并结合第3题具体说明问题3：结合下面图形，说明的推导过程问题4：平行四边形存在性（两定两动）问题的处理思路是什么？问题5：判断第4题属于什么问题，分析过程中哪个部分用到了铅垂的思想？二次函数之面积问题（铅垂法）（三）一、单选题(共5道，每道20分)1.如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，把AOB沿y轴翻折，点A落到点C，过点B的抛物线与直线BC交于点在直线BD上方的抛物线上有一动点P，过点P作PH垂直于x轴，交直线BD于点H，当四边形BOHP是平行四边形时，动点P的坐标为( )A.B.C.D.2.如图，抛物线与x轴交于两点，过点A作直线ACx轴，交直线于点C；点A关于直线的对称点为点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段于点M（）若四边形PACM为平行四边形，则点P的坐标为( )A.B.C.D.3.（上接第2题）（2）连接，则的面积最大值为( )A.4 B.16 C.8 D.32 4.如图，抛物线与x轴交于点，交y轴于点直线过点A且与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点是D（1）设点P是抛物线上一动点（不与点A、D重合），过点P作y轴的平行线，交直线AD于点M，作DEy轴于点E若以P，M，E，C为顶点的四边形是以EC为边的平行四边形，则点P的坐标为( )A.B.C.D.5.（上接第4题）（2）连接BD.设点P是直线BD上方抛物线上一动点（不与点B，D重合），则四边形ABPD面积的最大值为( )A.4 B.16 C.32 D.36 学生做题前请先回答以下问题问题1：坐标系背景下问题的处理原则是什么？问题2：坐标系中处理面积问题的思路有哪些？问题3：二次函数背景下求面积的最大值及点的坐标有2种处理方法，分别是什么？问题4：（上接第3题）对比这两种方法的工作量，哪一种方法更为简单？二次函数之面积问题（转化法）（一） 一、单选题(共3道，每道33分)1.(用两种方法分析)如图，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线交y轴于点A，交x轴于B，C两点(点B在点C的左侧)，已知点A的坐标为已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，则当PAC的面积最大时，动点P的坐标为( )A.B.C.D.2.(用两种方法分析)已知直线与抛物线交于A，B两点，取与线段AB等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A，B两处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P将与A，B构成无数个三角形，这些三角形中存在一个面积最大的三角形，其最大面积为( )A.B.C.D.3.(用两种方法分析)在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，三点若点P为直线AB下方抛物线上的一动点，点P的横坐标为m，APB的面积为S，则当点P的坐标为_时，S取得最大值，S的最大值为_( )A.B.C.D.学生做题前请先回答以下问题问题1：对于坐标系中的面积问题，什么情况下会使用平行线转化法？问题2：结合第3题说明平行线转化法的具体操作是什么？问题3：平行线转化法的理论依据是什么？问题4：第5题解题思路中是按照转化法分析的，思考是否还存在其他的分析方法？对比使用两种方法工作量的差异二次函数之面积问题（转化法）（二）一、单选题(共5道，每道20分)1.如图，已知抛物线经过原点O和x轴上一点，抛物线的对称轴与x轴交于点D直线经过抛物线上一点且与y轴交于点CP(x，y)是抛物线上的一点，若，则所有符合条件的点P的坐标为( )A.B.C.D.2.设抛物线与x轴的交点为M，N（点M在点N的左侧），与y轴交于点F，设点M关于y轴的对称点为点E，连接EF，NF若点P是抛物线上异于点F的一点，使得NEP的面积与NEF的面积相等，则点P的坐标为( )A.B.C.D.3.如图