函数总结大全

1 / 43 函数总结大全 一次函数 一、定义与定义式： 自变量 x 和因变量 y 有如下关系： y=kx+b 则此时称 y是 x的一次函数。 特别地，当 b=0时， y是 x 的正比例函数。 即： y=kx 二、一次函数的 性质： 的变化值与对应的 x 的变化值成正比例，比值为 k 即： y=kx+b 2 / 43 2.当 x=0 时， b为函数在 y轴上的截距。 三、一次函数的图像及性质： 1作法与图形：通过如下 3个步骤 列表； 描点； 连线，可以作出一次函数的图像 一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道 2 点，并连成直线即可。 2性质：在一次函数上的任意一点 P，都满足等式： y=kx+b。一次函数与 y轴交点的坐标总是正比例函数的图像总是过原点。 3 k， b与函数图像所在象限： 当 k 0时，直线必通过一、三象限， y随 x 的增大而增大； 当 k 0时，直线必通过二、四象限， y随 x 的增大而减小。 当 b 0时，直线必通过一、二象限； 3 / 43 当 b=0时，直线通过原点 当 b 0时，直线必通过三、四象限。 特别地，当 b=O时，直线通过原点 O 表示的是正比例函数的图像。 这时，当 k 0时，直线只通过一、三象限；当 k 0 时，直线只通过二、四象限。 四、确定一次函 数的表达式： 已知点 A； B，请确定过点 A、 B的一次函数的表达式。 设一次函数的表达式为 y=kx+b。 因为在一次函数上的任意一点 P，都满足等式 y=kx+b。所以可以列出 2个方程： y1=kx1+b 和 y2=kx2+b 解这个二元一次方程，得到 k， b的值。 4 / 43 最后得到一次函数的表达式。 五、一次函数在生活中的应用： 1.当时间 t一定，距离 s 是速度 v 的一次函数。 s=vt。 2.当水池抽水速度 f 一定 ，水池中水量 g 是抽水时间 t的一次函数。设水池中原有水量 S。 g=S-ft。 六、常用公式： 1.求函数图像的 k 值： 二次函数 I.定义与定义表达式 一 般地，自变量 x 和因变量 y之间存在如下关系： y=ax +bx+c 5 / 43 则称 y 为 x的二次函数。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 II.二次函数的三种表达式 一般式： y=ax +bx+c 顶点式： y=a(x-h) +k 抛物线的 顶点 P 交点式： y=a(x-x?)(x-x ?) 仅限于与 x轴有交点 A 和 B的抛物线 注：在 3 种形式的互相转化中，有如下关系 : h=-b/2a k=(4ac-b )/4a x?,x?=(-bb -4ac)/2a III.二次函数的图像 在平面直角坐标系中作出二次函数 y=x 的图像， 可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。 IV.抛物线的性质 6 / 43 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = -b/2a。 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点 P。 特别地，当 b=0时，抛物线的对称轴是 y 轴 2.抛物线有一个顶点 P，坐标为 P ( -b/2a ， (4ac-b )/4a ) 当 -b/2a=0 时， P在 y 轴上；当 = b -4ac=0 时， P 在 x 轴上。 3.二次项系数 a决定抛物线的开口方向和大小。 当 a 0时，抛物线向上开口；当 a 0 时，抛物线向下开口。 一次函数 一、定义与定义式： 7 / 43 自变量 x 和因变量 y 有如下关系： y=kx+b 则此时称 y是 x的一次函数。 特别地，当 b=0时， y是 x 的正比例函数。 即： y=kx 二、一次函数的性质： 的变化值与对应的 x 的变化值成正比例，比值为 k 即： y=kx+b 2.当 x=0 时， b为函数在 y轴上的截距。 三、一次函数的图像及性质： 1作法与图形：通过如下 3个步骤 8 / 43 列表； 描点； 连线，可以作出一次函数的图像 一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道 2 点，并连成直线即可。 2性质：在一次函数上 的任意一点 P，都满足等式： y=kx+b。一次函数与 y轴交点的坐标总是正比例函数的图像总是过原点。 3 k， b与函数图像所在象限： 当 k 0时，直线必通过一、三象限， y随 x 的增大而增大 ； 当 k 0时，直线必通过二、四象限， y随 x 的增大而减小。 当 b 0时，直线必通过一、二象限； 当 b=0时，直线通过原点 9 / 43 当 b 0时，直线必通过三、四象限。 特别地，当 b=O时，直线通过原点 O 表示的是正比例函数的图像。 这时，当 k 0时， 直线只通过一、三象限；当 k 0 时，直线只通过二、四象限。 四、确定一次函数的表达式： 已知点 A； B，请确定过点 A、 B的一次函数的表达式。 设一次函数的表达式为 y=kx+b。 因为在一次函数上的任意一点 P，都满足等式 y=kx+b。所以可以列出 2个方程： y1=kx1+b ? 和 y2=kx2+b ? 解这个二元一次方程，得到 k， b的值。 最后得到一次函数的表达式。 五、一次函数在生活中的应用： 10 / 43 1.当时间 t一 定，距离 s 是速度 v 的一次函数。 s=vt。 2.当水池抽水速度 f 一定，水池中水量 g 是抽水时间 t的一次函数。设水池中原有水量 S。 g=S-ft。 六、常用公式： 1.求函数图像的 k 值： 七，二次函数 I.定义与定义表达式 一般地，自变量 x 和因变量 y之间存在如下关系： y=ax +bx+c 则称 y 为 x的二次函数。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 11 / 43 II.二次函数的三种表达式 一般式： y=ax +bx+c 顶点式： y=a(x-h) +k 抛物线的顶点 P 交点式： y=a(x-x?)(x-x ?) 仅限于与 x轴有交点 A 和 B的抛物线 注：在 3 种形式的互相转化中，有如下关系 : h=-b/2a k=(4ac-b )/4a x?,x?=(-bb -4ac)/2a III.二次函数的图像 在平面直角坐标系中作出二次函数 y=x 的图像， 可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。 IV.抛物线的性质 12 / 43 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = -b/2a。 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点 P。 特别地，当 b=0时，抛物线的对称轴是 y 轴 2.抛物线有一个顶点 P，坐标为 P ( -b/2a ， (4ac-b )/4a ) 当 -b/2a=0 时， P在 y 轴上；当 = b -4ac=0 时， P 在 x 轴上。 3.二次项系数 a决定抛物线的开口方向和大小。 当 a 0时，抛物线向上开口；当 a 0 时，抛物线向下开口。 |a|越大，则抛物线的开口越小。 4.一次项系数 b和二次项系数 a共同决定对称轴的位置。 13 / 43 当 a 与 b 同号时，对称轴在 y轴左； 当 a 与 b 异号时，对称轴在 y轴右。 5.常数项 c决定抛物线与 y轴交点。 抛物线与 y轴交于 6.抛物线与 x轴交点个数 = b -4ac 0时，抛物线与 x轴有 2个交点。 = b -4ac=0时，抛物线与 x轴有 1个交点。 (2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式： y=a(x-h)+k(a0) (3)当题给条件为已知图象与 x 轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式： y=a(x-x?)(x-x?)(a0) 7二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为14 / 43 复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现 八，反比例函数 形如 y k x(k为常数且 k0) 的函数，叫做反比例函数。 自变量 x 的取值范围是不等于 0的一切实数。 反比例函数图像性质： 反比例函数的图像为双曲线。 由于反比例函数属于奇函数，有 f(-x)=-f(x),图像关于原点对称。 另外，从反比例函数的解析式可以得出，在反比例函数的图像上任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为 k 。 如图，上面给出了 k 分别为正和负时的函数图像。 15 / 43 当 K 0时，反比例函数图像经过一，三象限，是减函数 当 K 0时，反比例函数图像经过二，四象限，是增函数 九，反比例函数图像只能无限趋向于坐标轴，无法和坐标轴相交。 知识点： 1.过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为 | k |。 2.对于双曲线 y k x ，若在分母上加减任意一个实数 (即 y k m为常数 )，就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。 对数函数 对数函数的一般形式为 ，它实际上就 是指数函数 的反函数。因此指数函数里对于 a的规定，同样适用于对数函数。 右图给出对于不同大小 a 所表示的函数图形： 16 / 43 可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线 y=x 的对称图形，因为它们互为反函数。 对数函数的定义域为大于 0的实数集合。 对数函数的值域为全部实数集合。 函数总是通过这点。 a 大于 1 时，为单调递增函数，并且上凸； a 小 于 1 大于 0时，函数为单调递减函数，并且下凹。 显然对数函数无界。 十，指数函数 指数函数的一般形式为 ，从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道，要想使得 x能够取整个实数集合 为定义域，则只有使得 如图所示为 a的不同大小影响函数图形的情况。 17 / 43 可以看到： 指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是 a大于0，对于 a 不大于 0 的情况，则必然使得函数 的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。 指数函数的值域为大于 0 的实数集合。 函数图形都是下凹的。 a 大于 1，则指数函数单调递增； a 小于 1大于 0，则为单调递减的。 可以看到一个显然的规律，就是当 a 从 0 趋向于无穷大的过程中，函数的曲线从分别接近于 Y 轴与 X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于 Y 轴的正半轴与 X 轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线 y=1是从递减到递增的一个过渡位置。 函数总是在某一个方向上无限趋向于 X轴 ,永不相交。 18 / 43 函数总是通过这点。 显然指数函数无界。 奇偶性 注图：为奇函数为偶函数 1定义 一般地，对于函数 f(x) 如果对于函数定 义域内的任意一个 x，都有 f(-x)= f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数。 如果对于函数定义域内的任意一个 x，都有 f(-x)=f(x)，那么函数 f(x)就叫做偶函数。 如果对于函数定义域内的任意一个 x， f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数 f(x)既是奇函 数又是偶函数，称为既奇又偶函数。 19 / 43 如果对于函数定义域内的任意一个 x， f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数 f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。 说明： 奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言 奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇函数。 判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义 2奇偶函数图像的特征： 定理 奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图象关于 y 轴或轴对称图形。 f(x)为奇函数 f(x)的图像关于原点对称 点 奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单20 / 43 调递增。 偶函数 在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。 3. 奇偶函数运算 (1) . 两个偶函数相加所得的和为偶函数 . (2) . 两个奇函数相加所得的和为奇函数 . (3) . 一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函 数 . (4) . 两个偶函数相乘所得的积为偶函数 . (5) . 两个奇函数相乘所得的积为偶函数 . (6) . 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数 . 定义域 21 / 43 设 A,B 是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f:A-B 为集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y=f(x),x属于集合 A。其中， x 叫作自变量，x 的取值范围 A叫作函数的定义域； 值域 名称定义 函数中，应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域 ,在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合 一次函数 一、定义与定义式： 自变量 x 和因变量 y 有如下关系： y=kx+b 22 / 43 则此时称 y是 x的一次函数。 特别地，当 b=0时， y是 x 的正比例函数。 即： y=kx 二、一次函数的性质： 的变化值与对应的 x 的变化值成正比例，比值为 k 即： y=kx+b 2.当 x=0 时， b为函数在 y轴上的截距。 三、一次函数的图像及性质： 1作法与图形：通过如下 3个步骤 列表； 描点； 23 / 43 连线，可以作出一次函数的图像 一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道 2 点，并连成直线即可。 足等式： y=kx+b。一次函数与 y轴交点的坐标总是正比例函数的图像总是过原点。 3 k， b与函数图像所在象限： 当 k 0时，直线必通过一、三象限， y随 x 的增大而增大； 当 k 0时，直线必通过二、四象限， y随 x 的增大而减小。 当 b 0时，直线必通过一、二象限； 当 b=0时，直线通过原点 当 b 0时，直线必通过三、四象限。 特别地，当 b=O时，直线通过原点 O 表示的是正比例函数的图像。 这时，当 k 0时，直线只通过一、三象限； 当 k 0 时，直线只通过二、四象限。 24 / 43 四、确定一次函数的表达式： 已知点 A； B，请确定过点 A、 B的一次函数的表达式。 设一次函数的表达式为 y=kx+b。 式 y=kx+b。所以可以列出 2 个方程： y1=kx1+b 和 y2=kx2+b 解这个二元一次方程，得到 k， b的值。 最后得到一次函数的表达式。 五、一次函数在生活中的应用： 1.当时间 t一定，距离 s 是速度 v 的一次函数。 s=vt。 2.当水池抽水速度 f 一定，水池中水量 g 是抽水时间 t的一次函数。设水池中原有水量 S。 g=S-ft。 六、常用公式： 25 / 43 1.求函数图像的 k 值： 二次函数 I.定义与定义表达式 一般地，自变量 x 和因变量 y之间存在如下关系： y=ax +bx+c 则称 y 为 x的二次函数。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 II.二次函数的三种表达式 一般式： y=ax +bx+c 顶点式： y=a(x-h) +k 抛物线的顶点 P 交点式： y=a(x-x?)(x-x ?) 仅 限于与 x轴有交点 A 和 B26 / 43 的抛物线 注：在 3 种形式的互相转化中，有如下关系 : h=-b/2a k=(4ac-b )/4a x?,x?=(-bb -4ac)/2a III.二次函数的图像 在平面直角坐标系中作出二次函数 y=x 的图像， 可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。 IV.抛物线的性质 1.抛物线是轴对称图形。对称 轴为直线 x = -b/2a。 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点 P。 特别地，当 b=0时，抛物线的对称轴是 y 轴 2.抛物线有一个顶点 P，坐标为 27 / 43 P ( -b/2a ， (4ac-b )/4a ) 当 -b/2a=0 时， P在 y 轴上； 当 = b -4ac=0 时， P 在 x 轴上。 3.二次项系数 a决定抛物线的开口方向和大小。 当 a 0时，抛物线向上开口；当 a 0 时，抛物线向下开口。 |a|越大，则抛物线的开口越小。 4.一次项系数 b和二次项系数 a共同决定对称轴的位置。 当 a 与 b 同号时，对称轴在 y轴左； 当 a 与 b 异号时，对称轴在 y轴右。 5.常数项 c决定抛物线与 y轴交点。 抛物线与 y轴交于 6.抛物线与 x轴交点个数 28 / 43 = b -4ac 0时，抛物线与 x轴有 2个交点。 = b -4ac=0时，抛物线与 x轴有 1个交点。 = b -4ac 0时，抛物线与 x轴没有交点。 X的取值是虚数 V.二次函数与 一元二次方程 特别地，二次函数 y=ax +bx+c， 当 y=0 时，二次函数为关于 x 的一元二次方程， 即ax +bx+c=0 此时，函数图像与 x 轴有无交点即方程有无实数根。 一次函数 一、定义与定义式： 29 / 43 自变量 x 和因变量 y 有如下关系： y=kx+b 则此时称 y是 x的一次函数。 特别地，当 b=0时， y是 x 的正比例函数。 即： y=kx 二、一次函数的性质： 的变化值与对应的 x 的变化值成正比例，比值为 k 即： y=kx+b 2.当 x=0 时， b为函数在 y轴上的截距。 三、一次函数的图像及性质： 1作法与图形：通过如下 3个步骤 30 / 43 列表； 描点； 连线，可以作出一次函数的图像 一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道 2 点，并连成直线即可。 2性质：在一次函数上的任意一点 P，都满足等式： y=kx+b。 一次函数与 y轴交点的坐标总是正比例函数的图像总是过原点。 3 k， b与函数图像所在象限： 当 k 0时，直线必通过一、三象限， y随 x 的增大而增大； 当 k 0时，直线必通过二、四象限， y随 x 的增大而减小。 当 b 0时，直线必通过一、二象限； 当 b=0时，直线通过原点 31 / 43 当 b 0时，直线必通过三、四象限。 特别地，当 b=0时，直线通过原点 O 表示的是正比例函数的图像。 这时，当 k 0时，直线只通过一、三象限；当 k 0 时，直线只通过二、四象限。 四、确定一次函数的表达式： 已知点 A； B，请确定过点 A、 B的一次函数的表达式。 设一次函数的表达式为 y=kx+b。 因为在一次函数上的任意一点 P，都满足等式 y=kx+b。所以可以列出 2个方程： y1=kx1+b 和 y2=kx2+b 解这个二元一次方程，得到 k， b的值。 最后得到一次函数的表达式。 五、一次函数在生活中的应用： 32 / 43 1.当时间 t一定，距离 s 是速度 v 的一次函数。 s=vt。 2.当水池抽水速度 f 一定，水池中水量 g 是 抽水时间 t的一次函数。设水池中原有水量 S。 g=S-ft。 六、常用公式： 1.求函数图像的 k 值： 二次函数 I.定义与定义表达式 一般地，自变量 x 和因变量 y之间存在如下关系： y=ax +bx+c 则称 y 为 x的二次函数。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 33 / 43 II.二次函数的三种表达式 一般式： y=ax +bx+c 顶点式： y=a(x-h) +k 抛物线的顶点 P 交点式： y=a(x-x?)(x-x ?) 仅限于与 x轴有交点 A 和 B的抛物线 注：在 3 种形式的互相转化中，有如下关系 : h=-b/2a k=(4ac-b )/4a x?,x?=(-bb -4ac)/2a III.二次函数的图像 在平面直角坐标系中作出二次函数 y=x 的图像， 可以看出，二次函数的图像是一条 抛物线。 IV.抛物线的性质 34 / 43 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = -b/2a。 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点 P。 特别地，当 b=0时，抛物线的对称轴是 y 轴 2.抛物线有一个顶点 P，坐标为 P ( -b/2a ， (4ac-b )/4a ) 当 -b/2a=0 时， P在 y 轴上；当 = b -4ac=0 时， P 在 x 轴上。 3.二次项系数 a决定抛物线的开口方向和大小。 当 a 0时，抛物线 向上开口；当 a 0 时，抛物线向下开口。 |a|越大，则抛物线的开口越小。 4.一次项系数 b和二次项系数 a共同决定对称轴的位置。 35 / 43 当 a 与 b 同号时，对称轴在 y轴左； 当 a 与 b 异号时，对称轴在 y轴右。 5.常数项 c决定抛物线与 y轴交点。 抛物线与 y轴交于 6.抛物线与 x轴交点个数 = b -4ac 0时，抛物线与 x轴有 2个交点。 = b -4ac=0时，抛物线与 x轴有 1个交点。 变量与函数 变量和常量 在一 个变化过程中，数值发生变化的量，我们称之为变量，而数值始终保持不变的量，我们称之为常量。 函数 36 / 43 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值， y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x是自变量， y是 x的函数。如果当 x?a时 y?b，那么 b叫做当自变量的值为 a时的函数值。 自变量取值范围的确定方法 1、 自变量的取值范围必须使解析式有意义。 当解析式为整式时，自变量的取值范围是全体实数；当解析式为分数形式时，自变量的取值范围是使分母不为 0 的所有实数；当解析式中含有二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数大于等于 0 的所有实数。 2、自变量的取值范围必须使实际问题有意义。 函数的图像 一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象 描点法画函数图形的一般步骤 37 / 43 第一步：列表； 第二步：描点； 第三步：连线。 函数的表示方法 列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。 解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。 图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。 正比例函数 一般地， ?形如 y=?kx?的函数， ?叫做正比例函数，其中 k叫38 / 43 做比例系数也就是说，形如 y=?kx+b，且 b0 的函数是正比例函数。 正比例函数图象和性质 一般地，正比例函数 y=kx 的图象是一条经过原点和的直线我们称它为直线 y=kx.?当 k0 时，直线 y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随 x的增大 y 也增大；当 k 解析式： y=kx 必过点：、 (3) (4) (5) 走向： k0 时，图像经过一、三象限； k0， y 随 x 的增大而增大； k 正比例函数解析式的确定 待定系数法 1. 设出含有待定系数的函数解析式 y=kx 2. 把已知条件代入解析式，得到关于 k的一元一次方程 3. 解方程，求出系数 k 4. 将 k的值代回解析式 一次函数 一次函数 一般地，形如 y=kx+b(k、 b是常数， k?0)函数，叫做一次函39 / 43 数 . 当 b=0时， y=kx b 即 y=kx，所以正比例函数是一种特殊的一次函数 一次函数的图象及性质 一次函数 y=kx+b 的图象是经过和