初一上册数学知识点总结

1 / 75 初一上册数学知识点总结 第一章：有理数及其运算 知识要求： 1、在具体情境中，理解有理数及其运算的意义； 2、能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小。 3、借助数轴理解相反数与绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值。 4、经历探索有理数运算法则和运算律的过程；掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算；理 解有理数的运算律，并能利用运算律简化运算，及能运用有理数及其运算律解决简单的实际问题。 知识重点： 绝对值的概念和有理数的运算是本章的重点。 2 / 75 知识难点： 绝对值的概念及有关计算，有理数的大小比较，及有理数的运算是本章的难点。 考点： 绝对值的有关概念和计算，有理数的有关概念及混合运算是考试的重点对象。 知识点： 一、有理数的基础知识 1、三个重要的定义 正数：像 1、这样大于 0 的数叫做正数；负 数：在正数前面加上 “ ” 号，表示比 0 小的数叫做负数； 0 即不是正数也不是负数， 0 是一个具有特殊意义的数字， 0 是正数和负数的分界，不是表示不存在或无实际意义。 3 / 75 概念剖析： 判断一个数是否是正数或负数，不能用数的前面加不加 “+”“ ” 去判断，要 严格按照 “ 大于 0 的数叫做正数； 0 小的数叫做负 数 ” 去识别。 正数和负数的应用：正数和负数通常表示具有相反意义的量。 所有正整数组成正整数集合；所有负整数组成负整数集合；正整数、 0、负整数 统称为整数，正整数、 0、 负整数组成整数集合； 常常有温差、时差、高度差 (海拔差 )等等差之说，其算法为高温减低温等等； 例 1 下列说法正确的是 ( ) A、一个数前面有 “ ” 号，这个 数就是负数； B、非负数就是正数； 4 / 75 C、一个数前面没有 “ ” 号，这个数就是正数； D、 0既不是正数也不是负数； 例 2 把下列各数填在相应的大括号中 8， 正整数集合 ? 31， 0， ?， ?6， ?， 43 ? 整数集合 ? ? 负整数集合 ? ? 正分数集合 ? 例 3 如果向南走 50 米记为是 ?50 米，那么向北走 782 米记为是 _, 0 米的意义是 _。 例 4 对某种盒装牛奶进行质量检测，一盒装牛奶超出标准质量 2 克 ， 记 作 +2 克 ， 那 么 ?5 克 表 示_ 知识窗口：正数和负数通常表示具有相反意义的量，一个记为正数，另一个就记为负数，我 们习惯上把向东、向北、上升、盈利、运进、增加、收入、高于海平面等等规定为 5 / 75 正，把相反意义的量规定为负。 例 5 若 a?0 ，则 a 是 ；若 a?0，则 a是 ；若 a?b，则 a?b 是 ；若 a?b，则 a?b是 ； 2、有理数的概念及分类 整数和分数统称为有理数。 有理数的分类如下： 按定义分类： 按性质符号分类： ?正整数 ?正整数正有理数 ?整数 0?正分数 ?负整数有理数 ?有理数 ?0?负整数正分数 ?分数 ?负有理数 ?负分数 ?负分数 ? 概念剖析： 整数和分数统称为有理数，也就是说如果一个数是有理数，则它就一定可以化 6 / 75 成整数或分数； 正有理数和 0又称为非负有理数，负有理数和 0 又称为非正有理数 整数和分数都可以化成小数部分为 0或小数部分不为 0的小数，但并不是所有小 数都是有理数，只有有限小数和无限循环小数是有理数； 例 6 若 a 为无限不循环小数且 a?0， b 是 a 的小数部分，则a?b 是 A、无理数 B、整数 C、有理数 D、不能确定 例 7 若 a为有理数，则 a 不可能是 A、整数 B、整数和分数 C、 q(p?0) D、 ? p 3、数轴 7 / 75 标有原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴。 数轴有三要素：原点、正方向、单位长度。画一条水平直线，在直线上取一点表示 0，选取某一 长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。在数轴上所表示的数，右边的数总比左边的数大，即从数轴的左边到右边所对应的数逐渐变大，所以正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于负数。 概念剖析： 画数轴时数轴的三要素原点、正方向、单位长度缺一不可； 数轴的方向不一定都是水平 向右的，数轴的方向可以是任意的方向； 数轴上的单位长度没有明确的长度，但单位长度与单位长度要保持相等； 有理数在数轴上都能找到点与之对应，一般地，设 a是一个正数，则数轴上表示 数 a 的点在原点的右边，与原点的距离是 a个单位长度；表8 / 75 示数 ?a的点在原点的 左边，与原点的距离是 a 个单位长度。 在数轴上求任意两点 a、 b 的距离 L,则有公式 L?a?b 或L?b?a，这两个公 式选择那个都一样。 例 8 在数轴上表示数 3 的点到表示数 a 的点之间的距离是10，则数 a? ；若在数轴上表示数 3 的点到表示数 a 的点之间的距离是 b，则数 a? 。 例 9 a,b两数在数轴上的位置如图，则下列正确的是 A、 a+b 0 B、 ab 0 C、 a 0 D、 a?b ?0 b 9 / 75 例 10 下列数轴画正确的是 0 ?1 A B 1 C D 4、相反数 如果两个数只有符号不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数。 0 的相反数是 0，互为相反的两个数，在数轴上位于原点的两则，并且与原点的距离相等。 概念剖析： “ 如果两个数只有符号不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数 ” ，不要茫 然的认为 “ 如果两个数符号不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数 ” 。 很显然，数 a的相反数是 ?a，即 a 与 ?a互为相反数。要把它与倒 数区分开。 互为相反数的两个数在数轴上对应的点一个在原点的左边，一个在原点的右边， 且离原点的距离相等，也就是说它们关于原点对称。 10 / 75 在数轴上离某点的距离等于 a的点有两个。 ab?1(ab?0)或 ?1(ab?0)； ba 求一个数的相反数，只要在这个数的前面加上 “ ” 即可；例如 a?b的相反数 是 b?a； 如果数 a 和数 b互为相反数，则 a+b=0； 例 11 下列说法正确的是 A、若两个数互为相反数，则这两个数一定是一个正数，一个负数； B、如果两个数互为相反数，则它们的商为 -1； C、如果 a+b=0，则数 a和数 b互为相反数； D、互为相反数的两个数一定不相等； 例 12 求出下列各数的相反数 11 / 75 a2 a?1 a?b 3c 4 3 5 例 13 化简下列各数的符号 ?(?) ?(?1) ?(?2)? ? 知识窗口： 一个数前面加上 “ ” 号，该 数就成了它的相反数； 一个数前面的符号确定方法：奇数个负号相当于一个负号，偶数个负号相当于 一个正号，而与正号的个数无关。 5、绝对值 数轴上表示数 a的点与原点的距离叫做数 a的绝对值。 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的距离。 12 / 75 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身； 0 的绝对值是 0；一个负数的绝对值是它的 相反数，可用字母 a 表示如下： (a?0)?a?a?0(a?0) ?a(a?0)? 两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 概念剖析： “ 一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的距离 ” ，而距离是非负，也就是说任何一个数的绝对值都是非负数，即 a?0。 互为相反数的两个数离原点的距离相等，也就是说互为相反数的两个数绝对值 相等。 例 14 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数是 ( ) A、互为相反数 B、相等 C、积为 0 D、13 / 75 互为相反数或相等 例 15 已知 ab0,试求 |a|b|ab|?的值。 abab 例 16 若 |x|=-x，则 x是 _数； 例 17 若 +3+y 2=0 ，则 a A、 a?b B、 ?1 C、 a?b?0 D、不能确定 b0、 ? 二、有理数的运算 1、有理数的加法 有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并 把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反的两个数相加得 0；一个数同 0相加，仍得这个数。 例 20 计算下列各式 ?2 +7 ?5? 14 / 75 ?+? 12? 33 有理数加法的运算律： 加法的交换律 ： a+b=b+a；加法的结合律： ( a+b ) +c = a + (b +c) 知识窗口：用加法的运算律进行简便运算的基本思路是：先把互为相反数的数相加；把同分母的分数先相加；把符号相同的数先相加；把相加得整数的数先相加。 例 21 计算下列各式 (?7)?(?3)?(?8)?(?10)?2 ?3112?( ?3)?(?11)?(?) 483 2、有理数的减法 有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。 有理数减法常见的错误：顾此失彼，没有顾到结果的符号；15 / 75 仍用小学计算 的习惯，不把 减法变加法；只改变运算符号，不改变减数的符号，没有把减数变成相反数。 有理数加减混合运算步骤：先把减法变成加法，再按有理数加法法则进行运算； 概念剖析：减法是加法的逆运算，用法则 “ 减去一个数等于加上这个数的相反数 ” 即可转化。 转化后它满足加法法则和运算律。 例 22 计算： ?7?11?9?5 例 23 月球表面的温 度中午是 101C，半夜是 ?153C，中午比半夜高多少度？ 例 24 已知 m 是 6 的相反数， n 比 m 的相反数小 5，求 n 比m 大多少？ 3、有理数的乘法 16 / 75 有理数乘法的法则：两个有理 数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与 0相乘都得 0。 有理数乘法的运算律：交换律： ab=ba；结合律： (ab)c=a(bc)；交换律： a(b+c)=ab+ac。 倒数的定义：乘积是 1的两个有理数互为倒数，即 ab=1，那么 a 和 b 互为倒数；倒数也可以看成是把分子分母的位置颠倒过来。 概念剖析： “ 两个有理数相乘，同号得正，异号得负 ” 不要误认为成 “ 同号得正，异号得 负 ” 多个有理数相乘时，积的符号确定规律：多个有理数相乘，若有一个因数为 0， 则积为 0；几个都不为 0 的因数相乘，积的符号由负因数的个数来决定，当负因数 的个数为奇数时，积为负；当负因数的个数为偶数时，积为17 / 75 正。 有理数乘法的计算步骤：先确定积的符 号，再求各因数绝对值的积。 例 25 计算下列各式： oo 17111?1) 78462 55424?(?5) (?)?2?(?)?(?2)?(?7) 4 999925 (?)?1?(?)?(?) (?12)?( 4、有理数的除法 有理数的除法法则：除以一个数，等于乘上这个数的倒数，0 不能做除数。这个法则可以把除法转化为乘法；除法法则也可以看成是：两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除， 0除以任何一个不等于 0 的数都等于 0。 概念剖析： 除法是乘法的逆运算，用法则 “ 除以一个数，等于乘上这个数的倒数 ” 即可转 18 / 75 化，转化后它满足乘法法则和运算律。 倒数的求法： 求一个整数的倒数，直接可写成这个数分之一，即 a 的倒数为 1n(a?0)；求一个真分数和假分数的倒数，只要将分子、分母颠倒一下即可，即 am m 的倒数为；求一个带分数的倒数，应先将带分数化为假分数，再求其倒数；求 n 一个小数的倒数，应先将小数化为分数，再求其倒数。注意：0 没有倒数。 例 25 倒数是其本身的数有 _； 例 26 计算下列各式： ?1?(?8) (?5)?71 81 (?48)?(?6) 2 5、有理数的乘方 19 / 75 有理数的乘方的定义：求几个相同因数 a 的运算叫做乘方，乘方是一种运算，是几个相同的因数的特殊乘法运算，记做“a” 其中 a 叫做底数，表示相同的因数， n 叫做 指数，表 n 荣升教育 -初中数学一对一辅导中心 初一数学知识点 代数初步知识 1. 代数式：用运算符号 3 连接数及字母的式子称为代数式 2.几个重要的代数式： a 与 b 的平方差是： a-b ； a 与 b 差的平方是： ； 若 a、 b、 c 是正整数，则两位整数是： 10a+b ,则三位整数是： 100a+10b+c； 若 m、 n 是整数，则被 5 除商 m 余 n 的数是： 5m+n ；偶数是： 2n ，奇数是： 2n+1；三个连续整数 20 / 75 是： n-1、 n、 n+1 ； 2 2 2 有理数 1.有理数： (1)凡能写成 q (p,q 为整数且 p?0)形式的数，都是有理数 .正整数、 0、负整数统称整数；正分数、负分数 p 统称分数；整数和分数统称有理数 .注意： 0即不是正数，也不是负数； -a 不一定是负数， +a也不一定是正数； ?不是有理数； 21 / 75 ?正整数 ?正整数 ?整数 ?零 ?正有理数 ?正分数 ? ?(2)有理数的分类 : 有理数 ?零 有理数 ?负整数 ?负整数 ?正分数 ?分数 ?负有理数 ? ?负分数 ?负分数 ? (3)注意：有理数中， 1、 0、 -1 是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性； (4)自然数 ? 0 和正整数； a 0 ? a 是正数； a 0 ? a 是负数； a0 ? a 是正数或 0 ? a是非负数； a 0 ? a 是负数或 0 ? a 是非正数 . 2数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线 . 3相反数： 22 / 75 (1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数； 0 的相反数还是 0； (2)注意： a-b+c 的相反数是-a+b-c； a-b的相反数是 b-a； a+b 的相反数是 -a-b； - 1 - 荣升教育 -初中数学一对一辅导中心 (3)相反数的和为 0 ? a+b=0 ? a、 b 互为相反数 . 4.绝对值： (1)正数的绝对值是其本身， 0的绝对值是 0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； ?a(a?0) a(a?0)? (2) 绝对值可表示为： a?0(a?0)或 a?a(a?0) ；绝对值的问题经常分类讨论； 23 / 75 ?a(a?0) (3) aa ?1?a?0 ； aa ?1?a?0； ab?a . b (4) |a|是重要的非负数，即 |a|0 ；注意： |a|2|b|=|a2b|, 5.有理数比大小：正数的绝对值越大，这个数越大；正数永远比 0大，负数永远比 0 小；正数 大于一切负数；两个负数比大小，绝对值大的反而小；数轴24 / 75 上的两个数，右边的数总比左边的数大；大数 -小数 0，小数 -大数 0. 1 6.互为倒数：乘积为 1 的两个数互为倒数；注意： 0 没有倒数；若 a0 ，那么 a 的倒数是；倒数是本身的 a 数是 1 ；若 ab=1? a、 b互为倒数；若 ab=-1? a、 b 互为负倒数 . 7. 有理数 加法法则： 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 一个数与 0相加，仍得这个数 . 8有理数加法的运算律： 加法的交换律： a+b=b+a ；加法的结合律： +c=a+. 9有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+. 10 有理数乘法法则： 25 / 75 两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘； 任何数同零相乘都得零； - 2 - 荣升教育 -初中数学一对一辅导中心 几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为 零，积的符号由负因式的个数决定 . 11 有理数乘法的运算律： 乘法的交换律： ab=ba；乘法的结合律： c=a； 乘法的分配律： a=ab+ac . 12有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，即无意义 . 13有理数乘方的法则： 正数的任何次幂都是正数； 负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当 n 为正奇数时 : (-a)=-a 或 (a -b)=-(b-a) , 当 n 为正偶数时 : (-a) =a或 (a-b)=(b-a) . 14乘方的定义： 26 / 75 求相同因式积的运算，叫做乘方； 乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂； a是重要的非负数，即 a0 ；若 a+|b|=0 ? a=0,b=0； 15科学记数法：把一个大于 10的数记成 a310的形式，其中 a 是整数数位只有一位的数 ，这种记数法叫 科学记数法 . 16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位 . 17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数 止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字 . 18.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减；注意：怎样算简单，怎样算准确，是数学计算的最重要的原则 . 19.特殊值法：是用符合题目要求的数代入，并验证题设成立而进行猜想的一种方法 ,但不能用于证明 . 27 / 75 n 2 2 2 n n n n n n n 28 / 75 n a 整式的加减 1单项式：在代数式中，若只含有乘法运算。或虽含有除法运算，但除式中不含字母的一类代数式叫单项式 . 2单项式的系数与次数：单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数；系数不 - 3 - 荣升教育 -初中数学一对一辅导中心 为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数 . 3多项式：几个单项式的和叫多项式 . 4多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多项式里，次数29 / 75 最高项的次数叫多项式的次数；注意： ax+bx+c和 x+px+q是常见的两个二次三项式 . 5整式：凡不含有除法运算，或虽含有除法运算但除式中不含字母的代数式叫整式 . 整式分类为：整式 ? 2 2 ?单项式 ?多项式 . 6同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项 . 7合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变 . 8去括号法则：去括号时，若括号前边是 “+” 号，括号里的各项都 不变号；若括号前边是 “ -” 号，括号里的各项都要变号 . 30 / 75 9整式的加减：整式的加减，实际上是在去括号的基础上，把多项式的同类项合并 . 10.多项式的升幂和降幂排列：把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大排列起来，叫做按这个字母的升幂排列 .注意：多项式计算的最后结果一般应该进行升幂排 列 . 一元一次方程 1等式的性质： 等式性质 1：等式两边都加上同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式； 等式性质 2：等式两边都乘以同一个不为零的数，所得结果仍是等式 . 2方程：含未知数的等式，叫方程 . 3方程的解：使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解；注意： “ 方程的解就 能代入 ” ！ 4一元一次方程：只含有一个未知数，且未知数的次数是 1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程 . 7一元一次方程的标准形式： ax+b=0. 8一元一次方程的最简形式： ax=b. 31 / 75 - 4 - 荣升教育 -初中数学一对一辅导中心 9一元一次方程一般步骤：整理方程 。去分母 ?去括号 ?移项 ? 合并同类项 ? 系数化为 1 ? . 10列方程解应用题的常用公式： 周长、面积、体积问题： C圆 =2R ， S圆 =R ， C长方形 =2(a+b)，S 长方形 =ab， C正方形 =4a， 2 S 正方形 =a2， S 环形 =(R2 -r2),V 长方体 =abc ， V 正方体=a3， V 圆柱 =R2h ， V 圆锥 =1R2h. 3 习题： 1、若 x?2,则 x?x?2?(y?3)2?0,则 x? 32 / 75 y 2比较 ?1,?1,1 的大小： ； ? 2 34 111 ?， ?； ?。 233 2 1115313 ?2?(?1)XX； 3计算： ?2?24?(?)； ? 16?(?4)?1； 2241268 33 / 75 2 ?27?27?(?)?(?9)； 15?15?(?5)?(?5)； 13 22 ?10?(?10)? ?1?1?3? - 5 - 2 11 ?(?10)； 22 11299 34 / 75 ； ?2(?3)?(?2)?(?1)?2 23 初一数学的知识点 有理数 1.有理数： (1)凡能写成 形式的数，都是有理数 .正整数、 0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数 .注意： 0 即不是正数，也不是负数； -a不一定是负数， +a也不一定是正数； p 不是有理数； (2)有理数的分类 : (3)注意：有理数中， 1、 0、 -1 是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性； 35 / 75 (4)自然数 ?:0 和正整数； a 0 , a 是正数； a 0 , a 是负数； a0 , a 是正数或 0 , a是非负数； a 0 , a 是负数或 0 , a 是非正数 . 2数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线 . 3相反数： (1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数； 0的相反数还是 0； (2)注意： a-b+c 的相反数是 -a+b-c； a-b的相反数是 b-a；a+b的相反数是 -a-b； (3)相反数的和为 0 , a+b=0 , a、 b互为相反数 . 4.绝对值： (1)正数的绝对值是其本身， 0的绝对值是 0，负数的绝对值36 / 75 是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； (2) 绝对 值可表示为： 或 ；绝对值的问题经常分类讨论； (3) |a| 是 重 要 的 非 负 数 ， 即 |a|0 ；注意：|a|b|=|ab|, . 5.有理数比大小：正数的绝对值越大，这个数越大；正数永远比 0大，负数永远比 0 小；正数大于一切负数；两个负数比大小，绝对值大的反而小；数轴上的两个数， 右边的数总比左边的数大；大数 -小数 0，小数 -大数 0. 6.互为倒数：乘积为 1 的两个数互为倒数；注意： 0 没有倒数；若 a0 ，那么 的倒数是 ；倒数是本身的数是 1 ；若ab=1? a、 b互为倒数；若 ab=-1, a、 b互为负倒数 . 7. 有理数加法法则： 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减37 / 75 去较小的绝对值； 校区地址：东城市场后门对面 810 超市左侧 电话：08393316386 一个数与 0相加，仍得这个数 . 8有理数加法的运算律： 加法的交换律： a+b=b+a ；加法的结合律： +c=a+. 9有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即 a-b=a+. 10 有理数乘法法则： 两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘； 任何数同零相乘都得零； 几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定 . 11 有理数乘法的运算律： 38 / 75 乘法的交换律： ab=ba；乘法的结合律： c=a； 乘法的分配律： a=ab+ac . 12有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数， . 13有理数乘方的法则： 正数的任何次幂都是正数； 负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当 n 为正奇数时 : (-a)n=-an 或 (a -b)n=-(b-a)n , 当 n 为正偶数时 : (-a)n =an 或 (a-b)n=(b-a)n . 14乘方的定义： 求相同因式积的运算，叫做乘方； 乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂； 39 / 75 a2是重要的非负数，即 a20 ；若 a2+|b|=0 , a=0,b=0； 据规律 底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动二位 . 15科学记数法：把一个大于 10的数记成 a10n 的形式，其中 a是整数数位只 有一位的数，这种记数法叫科学记数法 . 16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位 . 17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字 . 18.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减；注意：怎样算简单，怎样算准确，是数学计算的最重要的原则 . 19.特殊值法：是用符合题目要求的数代入，并验证题设成立而进行猜想的一种方法 ,但不能用于证明 . 校区地址：东城市场后门对面 810 超 市左侧 电话：08393316386 40 / 75 整式的加减 1单项式：在代数式中，若只含有乘法运算。或虽含有除法运算，但除式中不含字母的一类代数式叫单项式 . 2单项式的系数与次数：单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数；系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数 . 3多项式：几个单项式的和叫多项式 . 4多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数；注意： ax2+bx+c和 x2+px+q是常见的两个二次三项式 . 5整式：凡不含有除法运算，或虽含有除法运算但除式中不含字母的代数式叫整式 . 整式分类为： . 6同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项 . 41 / 75 7合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变 . 8去括号法则：去括号时，若括号前边是 “+” 号，括号里的各项都不变号；若括号前边是 “ -” 号，括号里的各项都要变号 . 9整式的加减：整式的加减，实际上是在去括号的基础上，把多项式的同类项合并 . 10.多项式的升幂和降幂排列：把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大排列起来，叫做按这个字母的升幂排列 .注意：多项式计算的最 后结果一般应该进行升幂排列 . 一元一次方程 1等式与等量：用 “=” 号连接而成的式子叫等式 .注意：“ 等量就能代入 ” ！ 2等式的性质： 等式性质 1：等式两边都加上同一个数或同一个整式，所得42 / 75 结果仍是等式； 等式性质 2：等式两边都乘以同一个不为零的数，所得结果仍是等式 . 3方程：含未知数的等式，叫方程 . 4方程的解：使等式左右两边相等的未 知数的值叫方程的解；注意： “ 方程的解就能代入 ” ！ 5移项：改变符号后，把方程的项从一边移到另一边叫移项 .移项的依据是等式性质 1. 6一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是 1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程 . 7一元一次方程的标准形式： ax+b=0. 8一元一次方程的最简形式： ax=b. 校区地址：东城市场后门对面 810 超市左侧 电话：08393316386 43 / 75 9一元一次方程解法的一般步骤： 整理方程 ? 去分母 ? 去括号 ? 移项 ? 合并同类项 ? 系数化为 1 ? . 10列一元一次方程解应用题： 读题分析法 :? 多用于 “ 和，差，倍，分问题 ” 仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如： “ 大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套 -” ，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程 . 画图分析法 : ? 多用于 “ 行程问题 ” 利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系，填入有关的代数式是获得方程的基础 . 11列方程解应用题的常用公式： 44 / 75 行程问题： 距离 =速度 时间 工程问题： 工作量 =工效 工时 比率问题： 部分 =全体 比率 顺逆流问题： 顺流速度 =静水速度 +水流速度，逆流速度 =静水速度 -水流速度； 商品价格问题： 售价 =定价 折 ，利润 =售价 -成本， ； 周长、面积、体积问题： C 圆 =2R ， S 圆 =R2 ， C 长方形=2(a+b)， S长方形 =ab， C 正方形 =4a， S 正方形 =a2， S 环形 =(R2 -r2),V 长方体 =abc ， V 正方体=a3， V 圆柱 =R2h ， V 圆锥 = R2h. 校区地址：东城市场后门对面 810 超市左侧 电话：08393316386 提 分 数 学 45 / 75 提分数学七年级上知识清单 第一章 有理数 一正数和负数 正数和负数的概念 负数：比 0小的数 正数：比 0 大的数 0既不是正数，也不是负数 注意： 字母 a可以表示任意数，当 a表示正数时， -a 是负数；当 a表示负数时， -a 是正数；当 a表示 0时， -a 仍是 0。 正数有时也可以在前面加 “+” ，有时 “+” 省略不写。所以省略 “+” 的正数的符号是正号。 2.具有相反意义的量 若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如： 46 / 75 零上 8 表示为： +8 ；零下 8 表示为： -8 支出与收入 ;增加与减少 ;盈利与亏损 ;北与南 ;东与西 ;涨与跌 ;增长与降低等等是相对相反量，它们计数： 比原先多了的数 ,增加增长了的数一般记为正数 ;相反，比原先少了的数，减少降低了的数一般记为负数。 表示的意义 0 表示 “ 没有 ” ，如教室里有 0 个人，就是说教室里没有人； 0 是正数和负数的分界线， 0既不是正数，也不是负数。 二有理数 1.有理数的概念 正整数、 0、负整数统称为整数 正分数和负分数 统称为分数 正整数， 0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。 47 / 75 理解：只有能化成分数的数才是有理数。 是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。 有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。 注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8?也是偶数， -1,-3,-5?也是奇数。 2. (1)凡能写成 q(p,q为整数且 p?0)形式的数，都是有理数 .正整数、 0、负整数统称整数；正分数、负 p 分数统称分数；整数和分数统称有理数 .注意： 0 即不是正数，也不是负数； -a不一定是负数， +a 也不一定是正数； ?不是有理数； - 1 - 提 分 数 学 ?正整数 ?正有理数 ?正分数 ?(2)有理数的分类 : 按正、负分类 : 有理数 ?零 48 / 75 ?负整数 ?负有理数 ?负分数 ? ?正整数 ?整数 ?零 ? 按有理数的意义来分 :有理数 ?负整数 ?正分数 ?分数 ?负分数 ? 总结： 正整数、 0 统称为非负整数 负整数、 0统称为非正整数 正有理数、 0统称为非负有理数 负有理数、 0统称为非正有理数 (3)注意：有理数中， 1、 0、 -1 是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数 分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性； (4)自然数 ? 0 和正整数； a 0 ? a 是正数； a 0 ? a 是负数； 49 / 75 a0 ? a 是正数或 0 ? a是非负数； a 0 ? a 是负数或 0 ? a 是非正数 . 三数轴 数轴的概念 规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。 注意： 数轴是一条向两端无限延伸的直线； 原点、正方向、单位长 度是数轴的三要素，三者缺一不可； 同一数轴上的单位长度要统一； 数轴的三要素都是根据实际需要规定的。 2.数轴上的点与有理数的关系 所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示， 0 用原点表示。 所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一50 / 75 一对应关系。 3.利用数轴表示两数大小 在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大； 正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于负数； 两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。 - 2 - 提 分 数 学 4.数轴上特殊的最大数 最小的自然数是 0，无最大的自然数； 最小的正整数是 1，无最大的正整数； 最大的负整数是 -1，无最小的负整数 51 / 75 可以表示什么数 a0 表示 a是正数；反之， a是正数，则 a0； a a=0 表示 a 是 0；反之， a 是 0,，则 a=0 6.数轴上点的移动规律 根据点的移动，向左移动几个单位长度则减去几，向右移动几个单位长度则加上几，从而得到所需的点的位置。 四相反数 相反数 只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数， 0的相反数是 0。 注意： 相反数是成对出现的； 相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负； 52 / 75 0 的相反数是它本身；相反数为本身的数是 0。 2.相反数的性质与判定 任何数都有相反数，且只有一个； 0 的相反数是 0； 互为相反数的两数和为 0，和为 0 的两数互为相反数，即a， b互为相反数，则 a+b=0 3.相反数的几何意义 在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点在原点两旁，并且与原点的距离相等。 0 的相反数对应原点；原点表示 0的相反数。 说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。 4.相反数的求法 求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号 “ -” 即可53 / 75 求得； 0的相反数还是 0； 求多个数的和或差的相反数是，要用括号括起来再添 “ -” ，然后化简。化简得 -5a-b）；注意： a-b+c 的相反数是 -a+b-c； a-b 的相反数是 b-a； a+b的相反数是 -a-b； 求前面带 “ -” 的单个数，也应先用括号括起来再添“ -” ，然后化简 (如： -5 的相反数是 -，化简得 5)； )相反数的和为 0 ? a+b=0 ? a、 b互为相反数 5.相反数的表示方法 - 3 - 提 分 数 学 一般地，数 a 的相反数是 -a ，其中 a 是任意有理数，可以是 正数、负数或 0。 当 a0时， -a 当 a0 当 a=0时， -a=0， 54 / 75 6.多重符号的化简 多重符号的化简规律 :“+” 号的个数不影响化简的结果，可以直接省略； “ -” 号的个数决定最后化简结果；即： “ -”的个数是奇数时，结果为负， “ -” 的个数是偶数时，结果为正。 五绝对值 绝对值的几何定义 一般地，数轴上表示数 a的点与原点的距离叫做 a的绝对值，记作 |a|。 2.绝对值的代数定义 一个正数的绝对值是它本身； 一个负数的绝对值是它的相反数； 0 的绝对值是 0. 可用字母表示为： 如果 a0，那么 |a|=a； 如果 a 可归纳为 ： a0 ， |a|=a a0 ， |a|=-a 55 / 75 3.绝对值的性质 任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。 所以， a取任何有理数，都有 |a|0 。即 (1)正数的绝对值是其本身， 0 的绝对值是 0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；绝对值是 0的数是 0.即： a=0 |a|=0； ?a(a?0)? 一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是 0.绝对值可表示为： a?0(a?0)或 ?a(a?0) (a?0)?aa? ；即： |a|0 ；绝对值的问题经常分类讨论； ?a(a?0) 任何数的绝对值都不小于原数。即： |a|a ； a a?1?a?0 ； a a?1?a?0； 56 / 75 绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。即：若|x|=a，则 x=a ； 互为相反数的两数的绝对值 相等。即： |-a|=|a|或若a+b=0，则 |a|=|b|； |a|是重要的非负数，即 - 4 - 提 分 数 学 |a|0 ；注意： |a|2|b|=|a2b|, a b?a b 绝对值相等的两数相等或互为相反数。即： |a|=|b|，则a=b或 a=-b； 若几个数的绝对值的和等于 0，则这几个数就同时为 0。即 |a|+|b|=0，则 a=0且 b=0。 4.有理数大小的比较 57 / 75 利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两 个数相比较，左边的数总比右边的数小，或者右边的数总比左边的数大 利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数。 正数的绝对值越大，这个数越大； 正数永远比 0大，负数永远比 0小； 正数大于一切负数； 大数 -小数 0，小数 -大数 0. 5.绝对值的化简 当 a0 时， |a|=a ； 当 a0 时， |a|=-a 6.已知一个数的绝对值，求这个数 一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a的点到原点的距离，一般地，绝对值为同一个正数的有理数有两个，它 们互为相58 / 75 反数，绝对值为 0 的数是 0，没有绝对值为负数的数。 六有理数的加减法 . 1.有理数的加法法则 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 互为相反数的两数相加，和为零； 一个数与 0相加，仍得这个数。 2.有理数加法的运算律 加法交换律： a+b=b+a 加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c) 在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律： 59 / 75 互为相反数的两个数先相加 “ 相反数结合法 ” ； - 5 - 正数和负数 正数和负数的概念 负数：比 0小的数 正数：比 0 大的数 0既不是正数，也不是负数 注意： 字母 a可以表示任意数，当 a表示正数时， -a 是负数；当 a表示负数时， -a 是正数；当 a表示 0时， -a 仍是 0。 正数有时也可以在前面加 “+” ，有时 “+” 省略不写。所以省略 “+” 的正数的符号是正号。 2.具有相反意义的量 若正数表示某种意义的量 ，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如