垂直于弦的直径（一）

1 / 6 垂直于弦的直径（一） 教学目标： 1、使学生通过观察实验理解圆的轴对称性； 2、掌握垂径定理，理解垂径定理的推证过程； 3、能初步应用垂径定理进行计算和证明 4、进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力 教学重点： 垂径定理及应用 教学难点： 垂径定理的证明 教学过程： 一、新课引入： 请同学们回答下列问题： 1、如果一个图形沿着一条直线折叠，直线的两旁的部分能够互相重 合，那么这个图形叫做 _；那么这条直线叫做 _ 2、等腰三角形是轴对称图形吗？ 3、 “ 圆 ” 是不是轴对称图形？它的对称轴是什么？ 教师利用提问 1， 2的形式，复习轴对称图形的概念提问 3的目的是引出本节课的第一个知识点 在学生回答后，引导学生观察电脑演示将圆对折的情形教师讲解将圆沿着一条直径对折，你观察到了什么情况？这时2 / 6 学生回答，教师板书 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴 接着电脑继续演示，教师 讲解： 由图 7-9（ 1）中 cD为 o 的直径；变到图 7-9（ 2）中在 o上任意取一点 A；再变到图 7-9（ 3）从点 A 作直径 cD 的垂线交 o 于另一个交点 B这时我们可以看出图（ 3）中的点B 与点 A 是否是对称点呢？ A、 B 是关于什么对称教师进一步提出当直径 cD 垂直于弦 AB，将能得到什么结论呢？这就是本节学习的内容 “7 3 垂直于弦的直径（一） ” 教师这样引入课题的目的，使学生从认识上初步完成实验 观察 感性 理性的认识过程逐步学会从实践中引入、从现象中抽象、从事实中概括，从而激发 学生的学习动机 二、新课讲解： 为了使学生进一步通过实验的观察，很快地概括出本课的教学内容，由图 7-9（ 1）可知 cD 所在直线是 o 的对称轴；到图 7-9（ 2）从 o 上取一点 A，过点 A 作直径 cD 的垂线交o 于点 B，得到图 7-9（ 3），这时沿着 cD 折叠，引导学生观察重合部分，学生纷纷猜想结论通过实验 观察 猜想获得感性认识这个实验结论是否正确，还需要证明学生带着一种好奇心，积极主动参与到证明这个结论中去学生回答证明过程，教师板书 3 / 6 已知：在 o 中， cD是直径， AB 是弦， cDAB ，垂足为 E 求证： AE=EB， =， = 证明：连结 oA， oB，则 oA=oB又 cDAB ， 直线 cD是等腰 oAB 的对称轴，又是 o 的对称轴所以沿着直径 cD折叠时， cD 两侧的两个半圆重合， A 点和 B 点重合， AE 和 BE重合，、分别和、重合因此， AE=BE， =， =从而得到圆的一条重要性质 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条 垂径定理是由演示实验 观察 感性 理性的全过程为了使学生能够真正理解垂径定理，引导学生分析垂径定理的题 设和结论，加深对定理的认识并强化用数学表达式表示出来： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧 2 1 3 4 5 把直径化分为（ 1）；把垂直于弦化分为（ 2）；把平分弦化为（ 3）；平分优弧化为（ 4）；平分劣弧化分为（ 5） 为了运用的方便，不易出现错误，将原定理叙述为：（ 1）过圆心；（ 2）垂直于弦；（ 3）平分弦；（ 4）平分弦所对的优弧；（ 5）平分弦所对的劣弧这样做目的是加深对定理的理解，4 / 6 突出重点，分散难点，避免学生记混 接着为了巩固垂径定理，引导学生完成下面两道题 例 1 如图 7-10，已知在 o 中，弦 AB 的长为 8cm，圆心 o到 AB的距离为 3cm，求 o 的半径 教师分析：要求 o 的半径，连结 oA，只要求出 oA 的长就可以了，因为已知条件点 o到 AB的距离为 3cm，所以作 oEAB于 E， 学生回答，教师板书计算过程 解：连结 oA，作 oEAB ，垂足为 E oEAB ， AE=EB AB=8cm ， AE=4cm 又 oE=3cm ， 在 RtAoE 中， o 的半径为 5cm 教师强调：从例 1 可以知道作 “ 弦心距 ” 是很重要的一条辅助线，弦心距的作用就是平分弦，平分弦所对的弧，它和直径一样 求圆的半径问题，要和弦心距，弦的一半和半径构造出一个直角三角形，和勾股定理联系起来 5 / 6 例 2 已知：如图 7-11，在以 o 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB交小圆于 c、 D 两点求证 Ac=BD 例 2 由学生分析证明思路，学生板书证明过程师生共同参与评价 练习 1：教材 P 78中 1 题 练习 2：教材 P 78中 2 题 练习 1， 2 两道题教师把题打在幻灯片上，由学生上黑板分析思路，学生之间展开评价这样做给学生充分的表现机会，不是老师牵着学生走，而是学生通过积极思维主动获得知识 最后找两名同学上黑板写出证明过程，其它同学在练习本上完成每小组派一名学生辅导有问题的学生，使不同层次的学生共同提高 三、课堂小结： 小结由学生完成，教师进一步强调 1本节课学习的知识点 （ 1）圆的 轴对称性； （ 2）垂径定理及应用 2方法上主要学习了 （ 1）垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距等问题的方法，构造直角三角形 6 / 6 （ 2）在圆中解决与弦有关问题经