复数的加法与减法

1 / 7 复数的加法与减法 复数的加法与减法教学目标 (1)把握复数加法与减法运算法则 ,能熟练地进行加、减法运算 ; (2)理解并把握复数加法与减法的几何意义 ,会用平行四边形法则和三角形法则解决一些简单的问题 ; (3)能初步运用复平面两点间的距离公式解决有关问题 ; (4)通过学习平行四边形法则和三角形法 ,培养学生的数形结合的数学思想 ; (5)通过本节内容的学习 ,培养学生良好思维品质 (思维的严谨性 ,深刻性 ,灵活性等 ). 教学建议 一、知识结构 二、重点、难点分析 本节的重点是复数加法法则。难点是复数 加减法的几何意义。复数加法法则是教材首先规定的法则 ,它是复数加减法运算的基础 ,对于这个规定的合理性 ,在教学过程中要加以重视。复数加减法的几何意义的难点在于复数加减法转化为向量加减法 ,以它为根据来解决某些平面图形的问题 ,学生对这一点不轻易接受。 三、教学建议 (1)在复数的加法与减法中 ,重点是加法 .教材首先规定了复2 / 7 数的加法法则 .对于这个规定 ,应通过下面几个方面 ,使学生逐步理解这个规定的合理性 : 当时 ,与实数加法法则一致 ; 验证实数加法运算律在复数集中仍然成立 ; 符合向量加法的平行四边形法则 . (2)复数 加法的向量运算讲解设 ,画出向量 ,后 ,提问向量加法的平行四边形法则 ,并让学生自己画出和向量 (即合向量 ),画出向量后 ,问与它对应的复数是什么 ,即求点 Z 的坐标 oR与 RZ(证法如教材所示 ). (3)向学生介绍复数加法的三角形法则 .讲过复数加法可按向量加法的平行四边形法则来进行后 ,可以指出向量加法还可按三角形法则来进行 :如教材中图 8-5(2)所示 ,求与的和 ,可以看作是求与的和 .这时先画出第一个向量 ,再以的终点为起点画出第二个向量 ,那么 ,由第一个向量起点 o指向第二个向量终点 Z 的向量 ,就是这两个向量的和向量 . (4)向学生指出复数加法的三角形法则的好处 .向学生介绍一下向量加法的三角形法则是有好处的 :例如讲到当与在同一直线上时 ,求它们的和 ,用三角形法则来解释 ,可能比 “ 画一个压扁的平行四边形 ” 来解释轻易理解一些 ;讲复数减法的几何意义时 ,用三角形法则也较平行四边形法则更为方便 . (5)讲解了教材例 2 后 ,应强调 (注重 :这里是起点 ,是终点 )就是同复数 -对应的向量 .点 ,之间的距离就是向量的模 ,也就是复数 -的模 ,即 . 3 / 7 例如 ,起点对应复数 -1、终点对应复数的那个向量 (如图 ),可用来表示 .因而点与 ()点间的距离就是复数的模 ,它等于。 教学设计示例 复数的减法及其几何意义 教学目标 1.理解并把握复数减法法则和它的几何意义 . 2.渗透转化 ,数形结合等数学思想和方法 ,提高分析、解决问题能力 . 3.培养学生良好思维品质 (思维的严谨性 ,深刻性 ,灵活性等 ). 教学重点和难点 重点 :复数减法法则 . 难点 :对复数减法几何意义理解和应用 . 教学过程设计 (一 )引入新课 上节课我们学习了复数加法法则及其几何意义 ,今天我们研究的课题是复数减法及其几何意义 .(板书课题 :复数减法及其几何意义 ) (二 )复数减法 复数减法是加法逆运算 ,那么复数减法法则为 (i)(i)=()()i, 1.复数减法法则 (1)规定 :复数减法是加法逆运算 ; 4 / 7 (2)法则 :(i)(i)=()()i(,R). 把 (i)(i)看成 (i)(1)(i)如何推导这个法则 . (i)(i)=(i)(1)(i)=(i)(i)=()()i. 推导的想法和依据把减法运算转化为加法运算 . 推导 :设 (i)(i)=i(,R). 即复数 i为复数 i减去复数 i的差 .由规定 ,得 (i)(i)=i,依据加法法则 ,得 ()()i=i,依据复数相等定义 ,得 故 (i)(i)=()()i.这样推导每一步都有合理依据 . 我们得到了复数减法法则 ,两个复数的差仍是复数 .是唯一确定的复数 . 复数的加 (减 )法与多项式加 (减 )法是类似的 .就是把复数的实部与实部 , 虚 部 与 虚 部 分 别 相 加 ( 减 ), 即(i)(i)=()()i. (三 )复数减法几何意义 我们有了做复数减法的依据 复数减法法则 ,那么复数减法的几何意义是什么 ? 设 z=i(,R),z1=i(,R), 对应向量分别为 ,如图 由于复数减法是加法的逆运算 , 设 z=()()i, 所以zz1=z2,z2z1=z,由复数加法几何意义 ,以为一条对角线 ,1 为一条边画平行四边形 ,那么这个平行四边形的另一边 2 所表示的向量 oZ2就与复数 zz1的差 ()()i 对应 ,如图 . 在这个平行四边形中与 zz1差对应的向量是只有向量 2 吗 ? 5 / 7 还有 .因为 oZ2Z1Z,所以向量 ,也与 zz1 差对应 .向量是以 Z1为起点 ,Z为终点的向量 . 能概括一下复数减法几何意义是 :两个复数的差 zz1 与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应 . (四 )应用举例 在直角坐标系中标 Z1(2,5),连接 oZ1,向量 1与多数 z1对应 ,标点 Z2(3,2),Z2 关于 x 轴对称点 Z2(3,2),向量 2 与复数对应 ,连接 ,向量与的差对应 (如图 ). 例 2 根据复数的几何意义及向量表示 ,求复平面内两点间的距离公式 . 解 :设复平面内的任意两点 Z1,Z2分别表示复数 z1,z2,那么Z1Z2 就是复数对应的向量 ,点之间的距离就是向量的模 ,即复数 z2z1 的模 .假如用 d 表示点 Z1,Z2 之间的距离 ,那么d=|z2z1|. 例 3 在复平面内 ,满足下列复数形式方程的动点 Z 的轨迹是什么 . (1)|z1i|=|z2i|; 方程左式可以看成 |z(1i)|,是复数 Z 与复数 1i差的模 . 几何意义是是动点 Z 与定点 (1,1)间的距离 .方程右式 也可以写成 |z(2i)|,是复数 z 与复数 2i差的模 ,也就是动点 Z 与定点 (2,1)间距离 .这个方程表示的是到两点 (1,1),(2,1)距离相等的点的轨迹方程 ,这个动点轨迹是以点 (1,1),(2,1)6 / 7 为端点的线段的垂直平分线 . (2)|zi|zi|=4; 方程可以看成 |z(i)|zi|=4,表示的是到两个定点 (0,1)和(0,1)距离和等于 4的动点轨迹 .满足方程的动点轨迹是椭圆 . (3)|z2|z2|=1. 这个方程可以写成 |z(2)|z2|=1,所以表示到两个定点(2,0),(2,0)距离差等 于 1 的点的轨迹 ,这个轨迹是双曲线 .是双曲线右支 . 由 z1z2 几何意义 ,将 z1z2 取模得到复平面内两点间距离公式 d=|z1z2|,由此得到线段垂直平分线 ,椭圆、双曲线等复数方程 .使有些曲线方程形式变得更为简捷 .且反映曲线的本质特征 . 例 4 设动点 Z 与复数 z=i对应 ,定点 P 与复数 p=i 对应 .求 (1)复平面内圆的方程 ; 解 :设定点 P 为圆心 ,r为半径 ,如图 由圆的定义 ,得复平面内圆的方程 |zp|=r. (2)复平面内满足不等式 |zp|r(rR) 的点 Z 的集合是什么图形 ? 解 :复平面内满足不等式 |zp|r(rR) 的点的集合是以 P为圆心 ,r 为半径的圆面部分 (不包括周界 ).利用复平面内两点间距离公式 ,可以用复数解决解析几何中某些曲线方程 .不等式等问题 . 7 / 7 (五 )小结 我们通过推导得到复数减法法则 ,并进一步得到了复数减法几何意义 ,应用复数减法几何意义和复平面内两点间距离公式 ,可以用复数研究解析几何问题 ,不等式以及最值问题 . (六 )布置作业 P193 习题二十七 :2,3,8,9. 探究活动 复数等式的几何意义 复数等式在复平面上表示以为圆心 ,以 1 为半径的圆。请再举三个复数等式并说明它们在复 平面上的几何意义。 分析与解