课程设计（论文）-双线性变换法设计数字低通滤波器.doc

燕 山 大 学 课 程 设 计 说 明 书燕山大学课 程 设 计 说 明 书题目： 双线性变换法设计数字低通滤波器 学院（系）： 电气工程学院 年级专业： 10级精仪1班 学 号： 100103020083 学生姓名： 白清 指导教师： 刘永红 教师职称： 副教授 电气工程学院课程设计任务书课程名称： 数字信号处理课程设计 基层教学单位：仪器科学与工程系 指导教师： 学号100103020083学生姓名白清（专业）班级 10精仪一班设计题目12、 双线性变换法设计数字低通滤波器设计技术参数给定技术指标为：，采样频率。设计要求设计Butterworth低通滤波器，用双线性变换法转换成数字滤波器。(buttord,buttap,butter,bilinear)参考资料数字信号处理方面资料MATLAB方面资料周次前半周后半周应完成内容收集消化资料、学习MATLAB软件，进行相关参数计算编写仿真程序、调试指导教师签字基层教学单位主任签字说明：1、此表一式四份，系、指导教师、学生各一份，报送院教务科一份。 2、学生那份任务书要求装订到课程设计报告前面。电气工程学院 教务科目录第一章 绪论.4第二章 双线性法设计低通滤波器步骤.5 2.1 设计步骤.5 2.2 双线性变换数字低通滤波器流程图.6第三章 设计原理.7 3.1 巴特沃斯模拟低通滤波器的原理及设计.7 3.1.1 巴特沃斯滤波器原理.7 3.1.2 巴特沃斯滤波器设计步骤.8 3.2 双线性变换法原理及转换关系分析.9 3.2.1 双线性变换法的基本原理.103.2.2 转换关系分析.11第四章 MATLAB中仿真命令介绍.14第五章 仿真及结果显示.15 5.1 仿真程序.15 5.2 仿真结果.16 5.3 仿真图.17第六章 结果分析.18第七章 心得体会.19参考文献.20第一章 绪论数字滤波器是对数字信号实现滤波的线性时不变系统。数字滤波实质上是一种运算过程，实现对信号的运算处理。输入数字信号（数字序列）通过特定的运算转变为输出的数字序列，因此，数字滤波器本质上是一个完成特定运算的数字计算过程，也可以理解为是一台计算机。描述离散系统输出与输入关系的卷积和差分方程只是给数字信号滤波器提供运算规则，使其按照这个规则完成对输入数据的处理。时域离散系统的频域特性:,其中、分别是数字滤波器的输出序列和输入序列的频域特性（或称为频谱特性）,是数字滤波器的单位取样响应的频谱，又称为数字滤波器的频域响应。输入序列的频谱经过滤波后,因此，只要按照输入信号频谱的特点和处理信号的目的， 适当选择，使得滤波后的满足设计的要求，这就是数字滤波器的滤波原理。数字滤波器根据其冲激响应函数的时域特性，可分为两种，即无限长冲激响应(IIR)数字滤波器和有限长冲激响应(FIR)数字滤波器。IIR 数字滤波器的特征是，具有无限持续时间冲激响应，需要用递归模型来实现，其差分方程为： 系统函数为：计IIR滤波器的任务就是寻求一个物理上可实现的系统函数H(z)，使其频率响应H(z)满足所希望得到的频域指标，即符合给定的通带截止频率、阻带截止频率、通带衰减系数和阻带衰减系数。第二章 双线性法设计低通滤波器步骤2.1设计步骤MATLAB中设计IIR数字滤波器的具体步骤如下：(1) 把给出的模拟滤波器的性能指标转换为数字低通滤波器的性能指标；(2) 将数字低通滤波器的性能指标转换模拟滤波器的性能指标；(3) 根据转换后的性能指标，通过滤波器结束选择函数，来确定滤波器的最小阶数n和固有频率wn；(4) 由最小阶数n得到巴特沃斯模拟低通滤波器原型；(5) 模拟低通滤波器到模拟低通滤波器的转换；(6) 运用双线性变换法把模拟滤波器转换成数字滤波器。2.2双线性变换数字低通滤波器流程图第三章 设计原理3.1 巴特沃斯模拟低通滤波器的原理及设计 3.1.1 巴特沃斯滤波器原理巴特沃斯滤波器的特点是同频带内的频率响应曲线最为平坦，没有起伏，而在组频带则逐渐下降为零。在振幅的对数对角频率的波特图上，从某一边界见频率开始，振幅随着角频率的增加而逐渐减少，趋向于负无穷大。一阶巴特沃斯滤波器的衰减率为每倍频20分贝，二阶巴特沃斯滤波器的衰减率为每倍频12分贝，三阶的衰减率为每分贝18分贝，如此类推，巴特沃斯滤波器的振幅对角频率单调下降，并且滤波器的结束越高，在组频带振幅衰减速度越快，其他滤波器高阶的振幅对角频率图和低阶数的振幅对角频率有不同的形状。 图2.3 三阶巴特沃斯滤波器极点分布图上述函数的特点是等距离分布在半径为的圆上，如下图所示为三阶巴特沃斯滤波器极点分布图：因此，极点用下式表示为 (2-15) 的表示式： (2-16)为了使设计公式和图表统一，将频率归一化。巴特沃斯滤波器采用3dB截止频率归一化，归一化后的系统函数为 (2-17)令,称为归一化频率，称为归一化复变量，这样巴特沃斯滤波器的归一化低通原型系统函数为 (2-18)式中，为归一化极点，用下式表示: (2-19)巴特沃斯滤波器的设计实质上就是根据设计指标求阶数N和3 dB截止频率c的过程。 3.1.2 巴特沃斯滤波器设计步骤1)根据技术指标和得到阶数N和截止频率。当时，；当时，；由上两个方程对N和求解得：因此或者2）系统函数 所以 =，k=0,12N-1 根据上式求出归一化极点。 将归一化极点代入式，得到归一化传输函数。 3）将去归一化。将代入得到实际滤波器传输函数。3.2 双线性变换法原理及转换关系分析 3.2.1双线性变换法的基本原理由于从平面到平面的映射具有多值性，使得设计出来的数字滤波器不可避免的出现频谱混迭现象。为了克服脉冲响应不变法可能产生的频谱混叠效应的缺点，我们使用一种新的变换双线性变换。双线性变换法可认为是基于对微分方程的积分，利用对积分的数值逼近的思想 。仿真滤波器的传递函数为 （2-1）将展开为部份分式的形式，并假设无重复几点，则 （2-2）那么，对于上述函数所表达的数字信号处理系统来讲，其仿真输入和模拟输出有如下关系利用差分方程来代替导数，即 （2-3）同时令这样，便可将上面的微分方程写为对应的差分方程形式 （2-4）两边分别取变换，可得 （2-5）这样，通过上述过程，就可得到双线性变换中的基本关系，如下所示 （2-6） （2-7）所谓的双线性变换，仅是指变换公式中与的关系无论是分子部份还是分母部份都是线性的。3.2.2 转换关系分析双线性变换法采用非线性频率压缩方法，将整个频域轴上的频率范围压缩到-/T/T之间，再用z=转换到z平面上。也就是说，第一步现将整个S平面压缩映射到S1平面的-/T/T一条横带里；第二步再通过标准变换关系将此横带变换到整个z平面上去。这样就使S平面与Z平面建立了一一对应的单值关系，消除了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象，映射关系如图所示。 /T 0 0 -1 0 1 -/T 图2.1双线性变换法的映射情况为了将S平面的整个虚轴压缩到轴上的-/T到/T段上，可以通过以上的正切的变换实现 =2/Ttan(T/2) （2-8） 式中，T仍是采样间隔。当由-/T经过0变化到/T时，由-经过0变化到+，也即映射了整个轴。将上式（1-1）写成 （2-9）将此关系解析延拓到整个S平面和，令=s, =S1,则得S (2-10)再将S1平面通过以下标准变换关系映射到Z平面：z= （2-11）从而得到S平面和Z平面的单值映射关系为; (2-12) (2-13)式（1-5）和式（1-6）是S平面与Z平面之间的单值映射关系，这种变换都是两个线性函数之比，因此成为双线性变换。依靠双线性变换是建立起来s平面和z平面的单值映射关系，由上式我们可以得到模拟频率和数字频率之间的关系： （2-14）从上式可知，当时，终止在折叠频率=处，整个轴是单值地对应于单位元的一周。因此双线性变换法不同于脉冲响应不变法，它不存在频率混淆问题。由于S平面的左半平面映射到Z平面的单位圆内，S平面的右半平面映射到Z平面的单位圆外，S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆上。因此，稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得到的数字滤波器也一定是稳定的。但是，它的频率变换关系是非线性畸变。这种非线性即便可以通过预畸变来校正。用双线性变换设计数字滤波器时，一般总是先将数字滤波器的各临界频率经式（1-7）的频率预畸变，求得相应参考模拟滤波器的各临界频率，然后设计参考模拟滤波器的传递函数，最后通过双线性变换公式球的数字滤波器的传递函数。这样通过双线性变换，正好将这些频率点映射到我们所需要的位置上。图2.2双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射下面我们利用模拟滤波器设计IIR数字低通滤波器的步骤。a)确定数字低通滤波器的技术指标：同代截止频率、同代衰减、阻带截止频率、阻带衰减。b)将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标。采用双线性变换法，便捷频率的转换关系为 c)按照模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器。d）将模拟滤波器系统函数Ha(S)从s平面转换到z平面，得到数字低通滤波器系统反函数Ha(z)。H(z)=Ha（S）|第四章 MATLAB仿真命令介绍1） 确定滤波阶数函数buttord 格式：N,Wn=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs) 其中N：满足指标的最低滤波器的阶数; Wn:：巴特沃斯自然频率 Rp：通带最大衰减 Rs：阻带最小衰减 Wp、Ws归一化的通带和阻带的边缘频率。2）确定模拟低通滤波器原型函数buttap 格式：Z,P,K=buttap(N) 其中N：满足指标的最低滤皮器阶数 Z：N阶归一化原型巴特沃斯模拟低通模拟滤波器的零点 P：N阶归一化巴特沃斯巴特沃斯模拟低通模拟滤波器的极点 K：N阶归一化原型巴特沃斯模拟低通模拟滤波器的增益 3）双线性变换函数bilinear 格式：NUMd,DENd=bilinear(NUM,DEN,Fs) 其中NUM：s域转移函数分子系数按幂递减方式排列的行向量 DEN：s域转移函数分母系数按幂递减排列的行向量 Fs:采样频率 NUMd:z域转移分子系数按幂递减方式排列的行向量 DENd：z域转移分母系数按幂递减方式排列的行向量4）绘制幅频特性曲线函数freqz 格式一：H，W=freqz(B,A,N) N: 频点数目，参数N好选用2的整数次幂，以便使用FFT进行快速运算，N的缺省值为512。 W：数字滤波器的N点的频率向量，计算所得的N个频率点均匀的分布在0，上 H：与W相对应的N点的频率响应向量，计算所得的N个频率点均匀的分布在0，上， H：与W相对应的N点频率响应向量 A：，是滤波器系数，即滤波器形式如下： 格式二：freqz(B,A,N) 直接绘制频率响应图，而且返回任何值。 格式三：H=freqz（B,A,W）返回W向量中指定的频率范围内的频率响应。其中，W以弧度为单位在0，范围内。 格式四：H，F=freqz(B,A,N,Fs) 对在0，Fs/2上等间隔采样N点，采样点频率及相应的响应值分别记录在F和H中。5）将零极点增益滤波器转换为系统函数形式zp2tf 格式：Bp,Ap=zp2tf(z,p,k)6）低通到低通模拟滤波器变换函数lp2lp 格式：b,a=lp2lp(Bp,Ap,Wn) 第五章 仿真及结果显示 5.1 仿真程序 fs=1000;%采样频率 fp=100; fst=300; wp=2*pi*fp/fs;%数字通带截止频率 ws=2*pi*fst/fs;%数字阻带截止频率 Rp=3;%通带最大衰减系数 Rs=20;%阻带最大衰减系数 Ts=1/fs;%采样周期 m=256;%采样点数 Wp=2/Ts*tan(wp/2);%模拟通带截止频率 Ws=2/Ts*tan(ws/2);%模拟阻带截止频率 N,Wn=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,s)；%选择模拟巴特沃斯低通滤波器的最小阶数 z,p,k=buttap(N);%创建巴特沃斯模拟低通滤波器 Bp,Ap=zp2tf(z,p,k);%由零点、极点、增益确定传输函数的分子与分母的系数 b,a=lp2lp(Bp,Ap,Wn);%模拟低通滤波器到模拟低通滤波器的转换 Figure（1）； bz,az=bilinear(b,a,fs)；%用双线性变换法实现模拟低通滤波器到数字低通 滤波器的转换 freqz(bz,az,m,fs) %得到模拟滤波器的m点复频响应 figure(2); freqs(bz,az,m) %得到数字滤波器的m点复频响应5.2 仿真结果N = 2Wn = 872.6903Bp = 0 0 1Ap = 1.0000 1.4142 1.0000bz = 0.1053 0.2107 0.1053az = 1.0000 -0.8958 0.3172N = 2Wn = 872.6903Bp = 0 0 1Ap = 1.0000 1.4142 1.0000bz = 0.1053 0.2107 0.1053az = 1.0000 -0.8958 0.31725.3仿真图图5.1模拟滤波器的幅频、相频响应图形图5.2数字滤波器的幅频、相频响应图形第六章 结果分析本次设计的数字低通滤波器采用巴特沃兹滤波器使用双线性变换法，避免的出现频谱