重庆中考抛物线25题训练试题含详细答案.doc

一解答题（共7小题）1（2013抚顺）如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D（1）求抛物线的解析式；（2）在第三象限内，F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为3，求点F的坐标；（3）点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形？直接写出所有符合条件的t值考点：二次函数综合题4946047分析：（1）先由直线AB的解析式为y=x+3，求出它与x轴的交点A、与y轴的交点B的坐标，再将A、B两点的坐标代入y=x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）设第三象限内的点F的坐标为（m，m22m+3），运用配方法求出抛物线的对称轴及顶点D的坐标，再设抛物线的对称轴与x轴交于点G，连接FG，根据SAEF=SAEG+SAFGSEFG=3，列出关于m的方程，解方程求出m的值，进而得出点F的坐标；（3）设P点坐标为（1，n）先由B、C两点坐标，运用勾股定理求出BC2=10，再分三种情况进行讨论：PBC=90，先由勾股定理得出PB2+BC2=PC2，据此列出关于n的方程，求出n的值，再计算出PD的长度，然后根据时间=路程速度，即可求出此时对应的t值；BPC=90，同可求出对应的t值；BCP=90，同可求出对应的t值解答：解：（1）y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，当y=0时，x=3，即A点坐标为（3，0），当x=0时，y=3，即B点坐标为（0，3），将A（3，0），B（0，3）代入y=x2+bx+c，得，解得，抛物线的解析式为y=x22x+3；（2）如图1，设第三象限内的点F的坐标为（m，m22m+3），则m0，m22m+30y=x22x+3=（x+1）2+4，对称轴为直线x=1，顶点D的坐标为（1，4），设抛物线的对称轴与x轴交于点G，连接FG，则G（1，0），AG=2直线AB的解析式为y=x+3，当x=1时，y=1+3=2，E点坐标为（1，2）SAEF=SAEG+SAFGSEFG=22+2（m2+2m3）2（1m）=m2+3m，以A、E、F为顶点的三角形面积为3时，m2+3m=3，解得m1=，m2=（舍去），当m=时，m22m+3=m23m+m+3=3+m+3=m=，点F的坐标为（，）；（3）设P点坐标为（1，n）B（0，3），C（1，0），BC2=12+32=10分三种情况：如图2，如果PBC=90，那么PB2+BC2=PC2，即（0+1）2+（n3）2+10=（1+1）2+（n0）2，化简整理得6n=16，解得n=，P点坐标为（1，），顶点D的坐标为（1，4），PD=4=，点P的速度为每秒1个单位长度，t1=；如图3，如果BPC=90，那么PB2+PC2=BC2，即（0+1）2+（n3）2+（1+1）2+（n0）2=10，化简整理得n23n+2=0，解得n=2或1，P点坐标为（1，2）或（1，1），顶点D的坐标为（1，4），PD=42=2或PD=41=3，点P的速度为每秒1个单位长度，t2=2，t3=3；如图4，如果BCP=90，那么BC2+PC2=PB2，即10+（1+1）2+（n0）2=（0+1）2+（n3）2，化简整理得6n=4，解得n=，P点坐标为（1，），顶点D的坐标为（1，4），PD=4+=，点P的速度为每秒1个单位长度，t4=；综上可知，当t为秒或2秒或3秒或秒时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形点评：本题考查了二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求抛物线的解析式，函数图象上点的坐标特征，抛物线的顶点坐标和三角形的面积求法，直角三角形的性质，勾股定理综合性较强，难度适中（2）中将AEF的面积表示成SAEG+SAFGSEFG，是解题的关键；（3）中由于没有明确哪一个角是直角，所以每一个点都可能是直角顶点，进行分类讨论是解题的关键2如图，直线y=x+3与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线y=x2+bx+c经过点B和点C，点A是抛物线与x轴的另一个交点（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）若点Q在抛物线的对称轴上，能使QAC的周长最小，请求出Q点的坐标；（3）在直线BC上是否存在一点P，且sPAC：SPAB=1：3？若存在，求P点的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题4946047专题：综合题；压轴题分析：（1）根据直线BC的解析式，即可求出B、C两点的坐标，将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值，从而确定该抛物线的解析式，然后将所得的解析式化为顶点坐标式，即可得到该抛物线的顶点坐标（2）由于AC的长为定值，若QAC的周长最小，那么QA+QC的值最小；已知A、B关于抛物线的对称轴对称，那么所求的点Q必为直线BC与抛物线对称轴的交点，已知了直线BC的解析式，联立抛物线的对称轴方程，即可求得点Q的坐标（3）由于PAC、PAB同高不等底，那么它们的面积比等于底长的比，即PB=3PC，设出点P点坐标P（a，a+3），因此：当P在BC延长线上，即a0时，过P作PMx轴于M，易证得BCOBPM，根据BC、PB的比例关系，即可求出PM、BM的值，从而确定P点的坐标；当P在线段BC上，即0a3时，解法同上；当P在CB延长线上，即a3时，此时PCPB，显然不符合题意，因此此种情况不成立综合上面三种情况即可求得符合条件的P点坐标解答：解：（1）直线y=x+3中，当x=0时，y=3；当y=0时，x=3；故C（0，3），B（3，0）代入抛物线的解析式中，可得：，解得；该抛物线的解析式为：y=x2+2x+3，由于y=x2+2x+3=（x1）2+4，故顶点坐标为（1，4）（4分）（2）若QAC的周长最小，那么QA+QC最小；由题意知：A、B关于抛物线的对称轴对称，所以直线BC与抛物线对称轴的交点即为所求的Q点；则有：，解得；故Q（1，2）（5分）（3）由于PAC、PAB等高，则它们的面积比等于底边的比，所以PB=3PC；设P（a，a+3），分三种情况考虑：当a0时，P点位于BC的延长线上；过P作PMx轴于M，则有：BM=PM=3a；PMx轴，COx轴，PMCO，即BCOBPM；得：=，OC=OB=3，a=1.5，PM=BM=4.5；故P（1.5，4.5）；当0a3时，P点位于线段BC上；同可求得点P（）；当a3时，P点位于CB的延长线上，此时PCPB，此种情况不成立综上所述，点P的坐标为（1.5，4.5）或（）（14分）点评：此题是二次函数的综合题，涉及到函数图象与坐标轴交点坐标的求法、二次函数解析式的确定、平面展开最短路径问题、相似三角形的判定和性质、图象面积的求法等重要知识（3）题中，能够将三角形的面积关系，转化为线段的比例关系，是解决问题的关键3（2011沈阳）如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，3），对称轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限当线段PQ=AB时，求tanCED的值；当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答考点：二次函数综合题4946047专题：压轴题分析：已知C点的坐标，即知道OC的长，可在直角三角形BOC中根据BCO的正切值求出OB的长，即可得出B点的坐标已知了AOC和BOC的面积比，由于两三角形的高相等，因此面积比就是AO与OB的比由此可求出OA的长，也就求出了A点的坐标，然后根据A、B、C三点的坐标即可用待定系数法求出抛物线的解析式解答：解：（1）抛物线的对称轴为直线x=1，b=2抛物线与y轴交于点C（0，3），c=3，抛物线的函数表达式为y=x22x3；（2）抛物线与x轴交于A、B两点，当y=0时，x22x3=0x1=1，x2=3A点在B点左侧，A（1，0），B（3，0）设过点B（3，0）、C（0，3）的直线的函数表达式为y=kx+m，则，直线BC的函数表达式为y=x3；（3）AB=4，PQ=AB，PQ=3PQy轴PQx轴，则由抛物线的对称性可得PM=，对称轴是直线x=1，P到y轴的距离是，点P的横坐标为，P（，）F（0，），FC=3OF=3=PQ垂直平分CE于点F，CE=2FC=点D在直线BC上，当x=1时，y=2，则D（1，2），过点D作DGCE于点G，DG=1，CG=1，GE=CECG=1=在RtEGD中，tanCED=P1（1，2），P2（1，） 设OE=a，则GE=2a，当CE为斜边时，则DG2=CGGE，即1=（OCOG）（2a），1=1（2a），a=1，CE=2，OF=OE+EF=2F、P的纵坐标为2，把y=2，代入抛物线的函数表达式为y=x22x3得：x=1+或1点P在第三象限P1（1，2），当CD为斜边时，DECE，OE=2，CE=1，OF=2.5，P和F的纵坐标为：，把y=，代入抛物线的函数表达式为y=x22x3得：x=1，或1+，点P在第三象限P2（1，） 综上所述：满足条件为P1（1，2），P2（1，）点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果4已知，如图1，抛物线y=ax2+bx过点A（6，3），且对称轴为直线点B为直线OA下方的抛物线上一动点，点B的横坐标为m（1）求该抛物线的解析式；（2）若OAB的面积为S求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；（3）如图2，过点B作直线BCy轴，交线段OA于点C，在抛物线的对称轴上是否存在点D，使BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点B的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题4946047专题：压轴题分析：（1）根据抛物线y=ax2+bx过点A（6，3），且对称轴为直线，利用待定系数法求解即可；（2）过点B作BHy轴，交OA于点H，将OAB分成OBH和ABH两部分求解；（3）假设存在满足题意的D点，再根据BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形这一条件解答解答：解：（1）由题知：解之，得，该抛物线的解析式为：（2）过点B作BHy轴，交OA于点H，由题知直线OA为：，设点，点，S=SOBH+SABH=，=，当m=3时，；（3）存在，点B为（1+，）或（5，），理由如下：设在抛物线的对称轴上存在点D满足题意，过点D作DQBC于点Q，则由（2）有点，点B，BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形，即是：且（0m6），若，解之：（舍去），时，点B（1+，），若，解之：（舍去），当时，综上，满足条件的点B为（1+，）或（5，）点评：本题考查了二次函数的知识，是一道综合题，难度较大，需要对各部分知识熟练掌握并灵活应用5已知抛物线y=ax22ax+n（a0）与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0），交y轴的负半轴于点C，且x1x2，OC=OB，SABC=6（1）求此抛物线的解析式；（2）若D为抛物线的顶点，P为抛物线上的点，且在第二象限，SPBD=15，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点M，使MBD为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的M点坐标，若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题4946047专题：综合题；压轴题分析：（1）根据抛物线的解析式，可用n表示出C、B的坐标（OB=OC），易求得抛物线的对称轴方程，根据点B的坐标即可求得点A的坐标，从而得到AB的长，利用ABC的面积即可求得n的值，从而求出A、B、C的坐标，代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值，从而确定该抛物线的解析式（2）根据（1）题所得抛物线的解析式，即可求得点D的坐标；由于PBD的面积无法直接求出，需要通过其他图形来间接获得，过P作直线PEBD，那么PBD、EBD就同底等高，所以面积相等；易求得直线BD的解析式，设出点P的坐标，即可求得PE的函数解析式，从而得到点E的坐标；过D作DFy轴于F，EBD的面积，可由EOB、梯形FDBO的面积和减去EDF的面积获得，根据已知的PBD的面积（即EBD的面积）可得到关于P点横坐标的方程，从而求出点P的坐标（3）此题应分作三种情况考虑：以M为直角顶点，连接CD、BD，根据B、C、D的坐标，易求得BC、CD、BD的长，根据勾股定理逆定理，可求得此时BCD是直角三角形，且BCD=90，此时点C满足点M的要求；以B为直角顶点，已求得直线BD的解析式，由于BMBD，那么直线BM的斜率与直线BD的斜率的乘积为1，结合点B的坐标，可求得直线BM的解析式，联立抛物线的解析式，即可求得点M的坐标；以D为直角顶点，方法同解答：解：（1）易知：C（0，n），B（n，0）；由题意知，抛物线的对称轴为：x=1；故A（n+2，0），AB=2n2；SABC=ABOC=（2n2）（n）=6，即n2+n6=0，解得n=2（舍去），n=3；A（1，0），B（3，0），C（0，3）；设抛物线的解析式为：y=a（x3）（x+1），依题意有：a（03）（0+1）=3，即a=1；该抛物线的解析式为：y=x22x3（2）设点P的坐标为（a，a22a3）；易知B（3，0），D（1，4），直线BD：y=2x6；过P作直线PEBD，交y轴于E，则SPBD=SBED，设直线PE的解析式为y=2x+h，则有：2a+h=a22a3，h=a24a3，即直线PE：y=2x+a24a3，则E（0，a24a3）；过D作DFy轴于F，则有：DF=1，OF=4，EF=a22a3+4=a22a+1；SEBD=SEOB+S梯形OBDFSEDF=（a22a3）3+（1+3）4（a22a+1）=15，即a24a12=0，解得a=6（舍去），a=2；P（2，5）（3）假设存在符合条件的M点；已知B（3，0），C（0，3），D（1，4）；以M为直角顶点；连接BC、CD；则BC=3，CD=，BD=2；BC2+CD2=18+2=20=BD2，即BCD是直角三角形，且BCD=90；此时M、C重合，故M（0，3）；以B为直角顶点；由（2）知，直线BD：y=2x6；可设直线BM：y=x+h，由于点B（3，0），则有：+h=0，即h=，直线BM：y=x+；联立抛物线的解析式有：，解得（舍去），；M（，）；以D为直角顶点，同可求得M（，）综上可知，存在符合条件的M点，且坐标为：M1（0，3），M2（，），M3（，）点评：此题考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、函数图象交点坐标的求法、直角三角形的判定等知识在所求图形面积不规则时，一定要设法将其转化为其他规则图形面积的和差来解；在（3）题中，要根据不同的直角顶点分类讨论，以免漏解；此题的综合性较强，难度很大6已知二次函数的图象如图所示，（1）求二次函数的解析式及顶点M的坐标；（2）若点N为线段BM上的一点，过点N作NQX轴于点Q，当点N在BM上运动时（点N不与点B、点M重合），设NQ的长为t，四边形NQAC的面积没有空为S，求S与t之间的函数关系式及自变量的取值范围；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使PAC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题4946047专题：综合题；压轴题分析：（1）根据A与B的横坐标，设出抛物线的二根式方程，将C坐标代入求出a的值，确定出抛物线解析式，将解析式化为顶点坐标式，即可求出抛物线顶点M的坐标（2）根据抛物线的解析式可求出A、B、C三点的坐标，进而可求出直线BM的解析式，已知了QN=t，即N点纵坐标为t，代入直线BM的解析式中，可求得Q点的横坐标即OQ得长，分别求出OAC、梯形QNCO的面积，它们的面积和即为所求的四边形QNCO的面积，由此可求出S、t的函数关系式（3）根据函数的图象及A、C的位置，可明显的看出APC不可能是直角，因此此题要分两种情况讨论：PAC=90，设出点P的坐标，然后表示出AC2、PA2、PC2的值，根据勾股定理可得到关于P点横、纵坐标的等量关系式，联立抛物线的解析式，即可求出此时点P的坐标；PCA=90，解法同解答：解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x2），将x=0，y=2代入得：a=1，抛物线y=x2x2=（x）2，顶点M的坐标为（，）；（2）抛物线与y=x2x2与x轴的两交点为A（1，0），B（2，0），设线段BM所在直线的解析式为y=kx+b，则，解得；故线段BM所在直线的解析式为y=x3，设点N的坐标为（x，t），点N在线段BM上，t=x3，x=t+2，S四边形NQAC=SAOC+S梯形OQNC=12+（2+t）（t+2）=t2+t+3，S与t之间的函数关系式为S=t2+t+3，自变量t的取值范围为0t；（3）假设存在符合条件的点P，设点P的坐标为P（m，n），则m且n=m2m2；PA2=（m+1）2+n2，PC2=m2+（n+2）2，AC2=5，分以下几种情况讨论：若PAC=90，则PC2=PA2+AC2，解得：m1=，m2=1；m，m=，P1（，）；若PCA=90，则PA2=PC2+AC2，则，解得：m3=，m4=0，m，m=，P2（，），当点P在对称轴右侧时，PAAC，边AC的对角APC不可能是直角，存在符合条件的点P，坐标分别为P1（，）；P2（，）点评：此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，利用了分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键7如图，抛物线y=ax25ax+4经过ABC的三个顶点，已知BCx轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC（1）求抛物线的对称轴；（2）写出A，B，C三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在PAB是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由（4）在抛物线对称轴上是否存在点M，使点M到点A和B的距离之差最大？若存在，直接写出所有符合条件的点M坐标；不存在，请说明理由考点：二次函数综合题4946047专题：压轴题分析：（1）根据对称轴x=，代入求出即可；（2）令x=0，求出C的坐标，根据抛物线的对称求出点B的坐标，由AB=BC=5，OA=4，得到A的坐标，代入解析式即可求出解析式；（3）分三种情况讨论：以AB为腰且顶角为A，先求出AB的值，再利用等腰三角形的性质结合勾股定理求出P1N的长，即可求出P1的坐标；以AB为腰且顶角为角B，根据MN的长和MP2的长，求出P2的纵坐标，已知其横坐标，可得其坐标；以AB为底，顶角为角P时，依据RtP3CKRtBAQ即可求出OK和P3K的长，可得P3坐标；（4）在抛物线的对称轴确定一点M，使|AMBM|的值最大时，点M为直线