基本初等函数总结

1 / 35 基本初等函数总结 函数的概念 1. 映射 设 A， B是两个集合，如果按照某种对应法则 f，对于集合 A中的每一个元素，在集合 B中都有惟一的元素和它对应，那么 这样的单值对应叫做集合 A到集合 B的映射，记作 f:AB. 给定一个集合 A到 B 的映射，如果 aA,bB. 且元素 a和元素 b 对应，那么，我们把元素 b叫做元素 a的象，元素 a 叫做元素 b 的原象 学习映射时需注意： 映射只要求 “ 对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有惟一确定的元素 y与之对应 ” ，即对于中的每一个原象在中都有象，至于中的元素在中是否有原象，以及有原象时原象是否惟一等问题是不需要考虑的。 2 / 35 例、给出下列四个对应，其中构成映射的是 A只有 ， B 只有 ， C 只有 ， ， D只有 分析 :对于集合到集合的映射，集合中的每一个原象在中都有象，至于中的元素在中是否有原象，以及有原象时原象是否惟一等问题是不需要考虑的。简单来说，可以一对一，多对一，但是不能一对多。故只有 和 满足映射的定义，故选 设集合 A 和 B 都是坐标平面上的点集 把集合 A 中的元素 下，象的原象是 映射成集合 B中的元素，映射，则在映射 A. B. C. D. 解析：象为集合 B 中的元素，所以有，解得：，故选 B。 2. 函数 3 / 35 一般地，设 A、 B是两个非空的数集，如果按某种对应法则 f ,对于集合 A 中的每一个元素 x，在集合 B 中都有唯一的元素y和它对应 ,这样的对应叫做从 A到 B的一个函数 (function),通常记为 y=f(x),xA .A 称为函数的定义域 (domain),y 的集合 数的值域 (range). 即函数是由一个非空数集到另一个非空数集的映射 . 注意：定义域、对应法则是函数的两大要素 ,值域是由 定义域和对应法则所确定的第三要素 .对应法则是函数的核心。 3. 函数的表示法： 下面三种表示方法都有各自的优点，要根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。 解析法：简明、全面地概括了变量间的关系；还可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值 . 列表法：直观形象地表示自变量的变化，相应的函数值变化4 / 35 的趋势 . 图象法：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值 . 4. 分段函数 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。 重难点归纳 对于函数的概念，必须明白以下两点： 定义域、值域和对应关系是决定函数的三要素，这是一个整体。 函数记号 y=f(x)的内涵。同时也应用具体的函数说明符号“y=f(x)” 为 “y 是 x 的函数 ” 这句话的数学表示，它仅仅是函数符号，并不表示 “y 等于 f 与 x 的乘积 ” ；符号 f(a)称为函 与 f(x)既有区别又 有联系， f(a)表示当自变量 x=a 时函数5 / 35 f(x)的值，是一个常量，而 f(x)是自变量 x的函数。在一般情况下，它是一个变量， f(a)是 f(x)的一个特殊值。 2. 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的 .那么，它的定义域是使各部分都有意义的 x的值组成的集合 . (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义 . b.下面四组函数 f(x)与 g(x)中，表示同一函数的是 A 6 / 35 B C D 分析：当两函数的对应法则与定义域都相同时，两函数表示同一函数，而与表示变量的字母无关 . A 不是， f(x)的定义域为 R， g(t)的定义域为 0， ）； B不是， f(x)的定义域为 1， ）， g(x)的定义域为 ， 11 ， ） .C不是，定义域、值域虽都相同，但对应法则不同 . 故选 . c.设 M=0|0x2 ， N=y|0y2 ，给出下列 4 个图形，其中能表示集合 M 到集合 N 的函数关系的有 A B C D 解析： 函数必须是一对一对应，并且定义域、值域必须在给定的集合内取值。 7 / 35 按照函数定义分析可得： A中使 M中的元素 x(1x2) 无象；C 中使 M 中的元素 2 的象不在 N 中；而 D 中使 M 中的元素x(1x2) 的象不唯一 .故选 B. d.求函数的定义域 . 分析：对于函数 ，当 g(x)0 时，分式 式 0 有意义；当 h(x)0 时，二次根有意义；当 p(x)0 时，(p(x)有意义 .因此，求函数定义域问题可转化为求不等式组的解集问题来处理 . 解：要使函数 f(x)有意义，有 原函数的定义域为 . 函数 f(x)= (xR) 的值域是 ( ) A.(0,1) B.(0,1 C.0,1) D.0,1 8 / 35 分析： 可以用排除法，首先 f(x)不可能等于 0，所以排除C、 D，在当 x等于 0 时 f(x)=1，排除 A。也可以直接求解，所以，故，故选 B。 函数的基本性质 一、重难点知识归纳 1、函数的单调性 定义 : 设函数 y=f(x)的定义域为 A ：区间， 如果对于区间 I上的任意两个自变量的值，当 时，都有 ，那么就说 f(x)在区间 I 上是增函数 . 区间 I 称为y=f(x)的单调增区间 ; 如果对于区间 I上的任意两个自变量的值，当 时，都有 9 / 35 ，那么就说 f(x)在这个区间上是减函数 . 区间 I 称为 y=f(x)的单调减区间 . 函数是增函数还是减函数 .是对定义域内某个区间而言的 . 有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上可能是减函数，因此函数的单调性是函数的局部性质 . 图象的特点 如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数 y=f(x)在这一区间上具有 (严格的 )单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的 . 判定方法 定义法： 1)取值：对任意，且； 2)作差：； 3)变形 :把差化为乘积或平方和的形式 4)判定差的正负； 10 / 35 5)根 据判定的结果作出相应的结论 . 图象法 例 1、若函数 f(x)=ax2 2(a 1)x b 在区间上是减函数，那么实数 a的取值范围是 高一数学必修 1 知 识点总结 基本初等函数 一、指数函数 指数与指数幂的运算 1根式的概念：一般地，如果 xn ?a，那么 x 叫 做 a 的 n 次方根，其中 n1，且 nN* ? 负数没有偶次方根； 0的任何次方根都是 0，记作 0?0。 当 n 是奇数时， an?a，当 n是偶数时， ?a(a?0) 11 / 35 an?|a|? ?a(a?0) 2分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： a?am(a?0,m,n?N*,n?1)a ?mn mn ， ? 1a mn 12 / 35 ? 1 am (a?0,m,n?N*,n?1) ? 0 的正分数指数幂等于 0， 0 的负分数指数幂没有意义 3实数指数幂的运算性质 aa r r ?ar?s (a?0,r,s?R)； 13 / 35 rsrs(a)?a rrs (ab)?aa (a?0,r,s?R)； (a?0,r,s?R) 指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数其中 y?ax(a?0,且 a?1)叫做指数函数，量，函数的定义域为 R 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1 2、指数函数的图象和性质 x 是自变 注意：利用 函数的单调性，结合图象还可以看出： 在 a， b上， f(x)?ax(a?0 且 a?1)值域是 14 / 35 f(a),f(b)或 f(b),f(a)； 对于指数函数 f(x)?ax(a?0 且 a?1)，总有 f(1)?a； 二、对数函数 对数 1对数的概念：一般地，如果 ax ?N(a?0,a?1)， 那么数 x 叫做以 a 为底 N的对数，记作： x?logaN 说明： 1 注意底数的限制 a?0，且 a?1； 2 ax?N?logaN?x； 3 注意对数的书写格式 两个重要对数： 15 / 35 1 常用对数：以 10为底的对数 lgN； 2 自然对数：以无理数 e?为底的对数 的对数 lnN ? 指数式与对数式的互化 幂值 真数 对数 对数的运算性质 如果 a?0，且 a?1， M2 ?0， N?0，那么： 1 loga(MN)?logaM logaN； loga M ?logaM logaN； N 16 / 35 3 logaMn?nlogaM 注意：换底公式 logab? logcb logca (n?R) 利用换底公式推导下面的结论 loga n ?mb n 17 / 35 logab?1logab； mlogba 对数函数 1、对数函数的概念：函数 y?logax(a?0，且 a?1)叫做对数函数，其中 x是自变量，函数的定义域是 注意： 1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如： y?2log2x， y?log 5 x 5 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数 2 对数函数18 / 35 对底数的限制： (a?0，且 a?1) 2、对数函数的性质： 幂函数 1、幂函数定义：一般地，形如 y?x?(a?R)的函数称为幂函数，其中 ?为常数 2、幂函数性质归纳 所有的幂 函数在都有定义并且图象都过点； ?0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间 0,?)上是增函数特别地，当 ?象上凸； ?0时，幂函数的图象在区间 (0,?)上是 ?1时， 幂函数的图象下凸；当 0?1时，幂函数的图 19 / 35 基本初等函数知识点总结 一、指数函数 指数与指数幂的运算 1根式的概念：一般地，如果 xn?a，那么 x叫做 a 的 n 次方根， * 其中 n1，且 nN ? 负数没有偶次方根； 0的任何次方根都是 0，记作0?0。 当 na n 当 na?a， n (a?0)?a 20 / 35 ?|a|? ?a(a?0)? 2分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： m aa n ? mn a(a?0,m,n?N,n?1)1 mn 21 / 35 m* ， * ? ? 1 a ? 0 的正分数指数幂等于 0， 0 的负分数指数幂没有意义 3实数指数幂的运算性质 a m (a?0,m,n?N,n?1) 22 / 35 a a?a r s rs rrr?s (a?0,r,s?R)； (a?0,r,s?R)； (a)?a (ab)?aa r r s 23 / 35 (a?0,r,s?R) 指数函数及其性质 1、指数函数 的概念：一般地，函数 y?ax(a?0,且 a?1)叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域为 R 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： 在 a， b上， f(x)?ax(a?0 且 a?1)值域是 f(a),f(b)或f(b),f(a)； 若 x?0，则 f(x)?1； f(x)取遍所有正数当且仅当 x?R； 对于指数函数 f(x)?ax(a?0且 a?1)，总有 f(1)?a； 二、对数函数 对数 1对数的概念：一般地，如果 ax?N(a?0,a?1)，那么数 x叫做以 a为底 N 的对数，记作： x?log数， log a 24 / 35 a N 说明： 1 注意底数的限制 a?0，且 a?1； 2 a?N?logN?x； 3 注意对数的书写格式 x a 两个重要对数： 1 常用对数：以 10为底的对数 lgN； 2 自然对数：以无理数 e?为底的对数的对数 lnN ? 指数式与对数式的互化 25 / 35 幂值 真数 指数 对数 对数的运算性质 如果 a?0，且 a?1， M?0， N?0，那么： 1 loga(M N)?logaM logaN； 2 log3 log M a NM 26 / 35 n ?log a M log a a N； a ?nlogM (n?R) 注意：换底公式 logcb 27 / 35 c?0， logab? logca利用换底公式推导下面的结论 log a m b? n nm log a logb； 28 / 35 a b? 1log b a 对数函数 1、对数函数的概念：函数 y?log a x(a?0，且 a?1)叫做对 数 函数，其中 x是自变量，函数的定义域是 29 / 35 注意： 1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如： y?2log2x， y ?log x 5 都不是对数函数，而只能 5 称其为对数型函数 2 对数函数对底数的限制： (a?0，且 a?1) 幂函数 1、幂函数定义：一般地，形如 y?x(a?R)的函数称为幂函数，30 / 35 其中 ?为常数 2、幂函数性质归纳 所有的幂函数在都有定义并且图象都过点； ?0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间 0,?)上是增函数特别地 ，当 ?1 时，幂函数的图象下凸；当 0?1 时，幂函数的图象上凸； ?0时，幂函数的图象在区间 (0,?)上是减函数在第一象限内，当 x 从右边趋向原点时，图象在 y轴右方无限地逼近 y 轴正半轴，当 x 趋于 ?时，图象在 x轴上方无限地逼近 x轴正半轴 ? 为高等数学小结的 基本初等函数 1.函数的五个要