如何在数学教学中培养学生的创造性思维

1 / 11 如何在数学教学中培养学生的创造性思维 世纪之交，科技突飞猛进，知识更新和高新技术产业化日益加快，知识经济已露端倪。在这个经济大转变时代，国家的创新能力是决定其在国际竞争和全球多极化格局地位的重要因素。江总书记明确指出： 创新是一个民族进步的灵魂，是国家兴旺发达的不竭动力。 而一切创新都有赖于具有创造力的高素质人才。科教兴国，育人为本，决定了我们为师者培养创新一代的无可推卸的重任，因此，我们数学教师必须把创造性思维的培养作为数学教学的核心要求。 于是，我们有必要了解及解决以下几个问题： 1、什么是创造性思维？ 2、创造性思维的因素是什么？3、创造性思维具备哪些品质特征？ 4、在数学教学中如何加强学生创造性思维的培养？ 一、创造性思维及其品质特征 倘若说： 思维是数学的体操 ，那么创造性思维则是思维的最高形式，是创造力的核心。 1、何为创造性思维呢？它大抵有以下三种不同的定义，但皆道出其相通之处。 (1)指有创见性的思维，它不仅能揭示事物的本质，而且能在此基础上提供新的、具有社会价值的产物。 (2)指开拓人类认识新领域的思维活动。亦即在 思维领域追求 独到 和 最佳 ，在前人、常人的基础上有新的见解、2 / 11 新的发现、新的突破的思维。 (3)指以强烈的兴趣和丰富的知识为基础，通过有关事物的启示，触发联想，从而达到认识上的 顿悟 与飞跃的心理活动。 创造性思维高的人往往对客观事物中存在明显的失常、矛盾和不平衡现象易产生强烈的兴趣，对于新情境、新材料、新问题的感受特别强烈，并能迅速找到解决的对策，而且答案往往别出心裁、标新立异。 2、创造性思维的因素有直觉、想象和灵感。 心理学上表明： (1)直觉是指一 个人在某方面经过长期的知识积累而偶然产生的一种可靠的判断。其特点是：产生的非逻辑性，整体的把握性。直觉思维在数学教学中随处可见、屡见不鲜。 (2)想象是在过去感知的基础上对表象进行加工改造，形成新形象的一种心理活动。其特点是：高度自由流动性 (犹如天马行空，独来独往 )、易变性 (千变万化 )、偶然性和情绪性 (如李白的一些不朽的诗作，可以说都是情绪的产物 )。在立几中，我们就是通过空间图形的概念、性质和画法等的学习，来逐步发展学生的空间观念和空间想象能力，进一步培养学生的逻辑思维能力，同时培养学生的辩证 唯物主义观点。 (3)灵感是人类在创造过程中达到高潮阶段出现的一种3 / 11 最富有创造性的心理状态。其特点是：突发性、跳跃性、不稳定性和迷狂性。 例如：约翰 施特劳斯创作的蓝色的多瑙河圆舞曲、 乐圣 贝多芬创作的划时代作品第九交响曲都是突如其来的神来之笔；爱迪生的一些发明创造、牛顿发现的万有引力定律，以及小高斯对 1+2+100 的简捷计算，都蕴含着灵感的不期而遇和思维的跳跃性。 概括起来，我们有： 3、创造性思维的品质特征： (1)求异性：即 人们在认识过程中，着力于发掘客观事物之间的差异性、现象与本质、形式与内容之间的不一致性和已有知识的局限性。 (2)非逻辑性：创造性思维 (乃至创造力的开发 )不在严谨的逻辑结构中产生。 (3)兼容性：创造性思维兼容多种方式，内容、手段和途径。 (4)跃进性：创造性思维乃至发明创造有间断性和跃进性的过程，不一定非要在短期内完整的过程中完成。 这些思维品质之间没有严格的界定，它们既标志着思维的广度、深度和速度，又标志着思维的新颖度。它们之间既相互联系又相互影响。 一 个创造性思维高的人还需具备广博的知识，对某一门4 / 11 学科具有强烈的好奇与兴趣，思维活跃、想象力丰富，敢于迎接新问题的挑战，并且具有大无畏的冒险精神。 二、培养学生创造性思维的途径 根据创造性思维具备的品质特征，我在数学教学中主要有以下途径： 1、激发兴趣、发展个性，培养学生创造性思维的求异性。 心理学上认为，兴趣是人的一种带有趋向性的心理特征。一个人对某种事物发生兴趣时，他就会主动地、积极地、执着地去追求、探索。我们知道：相当部分的数学知识，理论性及系统性强，概念、法则、定 理、推论等往往比较抽象，有些公式颇为枯燥，所以，在数学教学中培养学生的学习兴趣显得十分重要，务必要逐步培养，持之以恒。 那么，如何激发兴趣，发展个性，培养学生强烈的创造性欲望呢？其方式方法，多种多样，不胜枚举。 首先，教师必须酷爱自己所执教的学科，并在教法和 (学生的 )学法上多下功夫，狠下功夫，确信 功夫不负苦心人 ，以使自己的教学艺术达到引人入胜，至臻完善的境地，才能更有效地激发学生的学习兴趣；其次，课堂教学中应充分发挥学生的主体作用和教师的主导功能，而非师生的 双主体 作用。教师可根据 教学内容的特点，精心组织、科学排比，把抽象的概念、深奥的原理，拓展为生动、有趣的典故、发5 / 11 现史，或适当、合理地运用图片、模型、多媒体教学等手段，促进理论与实际的有机结合，使学生产生浓厚的兴趣。 例如： 复数的指数形式，由欧拉公式ei=cos+isin 补充导出欧拉绝妙公式： ei+1=0( 式中含有 五朵金花 -0,1,e,i 和两种基本符号 +、 =，把乍看风马牛不相及的元素，用一个简单的关系式表达，一气呵成，绝对绝妙 !)，立刻使课堂教学妙趣横生 又如，对于椭圆拋物面和双曲拋物面的 讲授，本人结合讲座的方式，渗透黎曼几何和罗巴切夫斯基几何的介绍，打开了全新的局面，使学生进一步了解到，并不是所有的 三角形 的内角和都等于 1800，有助于学生进一步巩固欧氏几何的有关逻辑理论及知识结构体系，带给学生一个生动有趣，全然不同的知识发展的空间 只有当学生有了学习兴趣，思维达到 兴奋点 (即 临界点 ),才可能带着愉悦、激昂的情绪去面对和克服一切困难，执着地去比较、分析、探索认识对象的发展规律，展现自己的智能和才干。 再次，必须使学生创造力的表现成为一种自主自觉的活动，这就需 要营造教学上的民主、和谐、发展的氛围。它集中体现在，师生关系民主和谐，学生真正成为学习的主体，自觉、积极地参与教学，并积极表达与众不同的创见，充分发掘个性潜能，给创造性思维营造求异的空间。 6 / 11 例如，高教版中专教材第七章复数的入门教学，我在预习提纲中特意安排了这样一个题目： 已知 X2-X+1=0，求 X2000+1/X2000 的值， 部分学生作出如下解答：由 X2-X+1=0 得 X3+1=0 X3=-1 且 X+1/X=1 ， 于 是X2000+1/X2000=X3*666+2+1/X3*666+2 =X2+1/X2=(X+1/X)2-2=-1， 而 -10，从而 X2000+1/X20000， 1/X20000(X0) ， X2000+1/X20000。现在却得到 X2000+1/X20000，这是个前所未闻的 怪论,真不可思议！这就为紧接下来顺理成章地接受 怪数 -虚数单位 i-奠定了坚实的基础，学生们唏嘘不已，见怪不怪了，于是为自然过渡到 复数的概念的学习顺利拉开帷幕。 关于求异性思维 (即发散性思维 )问题的探究屡见报端，这里不再赘述。 2、重视知识积蓄，构建知识网络，培养学生创造性思维的兼容性。 有了兴趣，绝不意味着就有了创造性思维能力，创造性思维能力的培养还要以丰富的知识为奠基石，以启发、联想、想象为钥匙来实现认识上的飞跃。我时常以 睿智而勤奋，7 / 11 博大而精深 作为师生共勉的座右铭。教育他们牢记：学海无涯。同时，当学生有了较为广博的知识基础，再逐步指导他们通过联想等方式提出和解决一些新的问题，发现和构建一些可能的知识联系，产生知识的迁移和联结，来形成自己的新观点、新思想，培养创造性思维的兼容性。 例如，教材 P206习题 5-2 第 7 题的改造题：（图略） 已知四边形 ABcD， cDEF， EFGH 都是正方形， 试证： a+=/2( 或 90) 显然， a=/4 ，只需证 +=/4 即可。 可以有以下几种截然不同的思路的七、八种证法，通过知识的迁移和联结，达到殊途同归之效，从而培养创造性思维的兼容性。 思路一： (初中阶段：构造法 )， 不妨设正方形边长为 1，（图略）并排补上三个相邻的全等正方形， 连结 Ac 、 cG,易知： =cGc,+=AGc, 且 Ac=cG=5,AG=10. 由勾股定理， Ac2+cG2=(5)2+(5)2=(10)2=AG2 从而 AcG 是一个等腰直角三角形。 AGc=45. 即 +=45. 结论于是得证。 当然，利用全等的观点还可以有其它不同的构造法。 思路二： (高中阶段：利用正 切加法定理 ) 8 / 11 易知， tg=1/2,tg=1/3, 且 0/4, 由 正 切 加 法 定 理 ， 得 tg(+)=（ tg+tg)/(1 -tgtg) =(1/2+1/3)/(1-1/2*1/3)=1 且 0+/2.+=/4. 得证 . 当然，利用正、余弦加法定理也可以类似地证明。 本 例 还 可 进 一 步 改 造 为 证 明 ：arctg1+arctg1/2+arctg1/3=/2 或 arctg1/2+arctg1/3=/4 等等。 思路三： (利用复数乘法运算的观点 ) 根据三角形式的复数的乘法法则：复数相乘 模长相乘，幅角相加。可以把角的相加问题迁移为复数的乘法问题。 如图，建立复平面，设正方形的边长为 1，点 c、 F、 G分别表示复数 Z1、 Z2、 Z3，则 Z1=1+i,Z2=2+i,Z3=3+i,由平行线内错角相等可知，锐角 a, 分别是复数 Z1、 Z2、 Z3的的幅角的主值，它们的和 a+ 恰是复数 Z1、 Z2、 Z3的积的幅角的主值。 Z1Z2Z3=(1 +i)(2+i)(3+i)=10i=10(cos/2+isin/2), a+=/2. 值得一提的是，这个问题也可以放在小学阶段，让小学9 / 11 生利用测量的方法求和，并大胆猜想结论，打造创造性思维的雏形。 3、鼓励学生不囿于常规，敢于突破陈规，从而培养学生创造性思维的非逻辑性和跃进性。 虽然广博的知识是形成创造性思维的必要条件，但决非充分条件，即知识并不等于创造性思维本身。把所学知识转化为创造性思维是一个极其复杂艰辛的过程。其重要原因之一是定势思维方式严重妨碍着学 生变通思维能力的发挥。历年高考问卷调查统计表明，当前数学教学的弊端之一是题型教学，易使学生形成思维定势，严重抑制了学生创造性思维能力的发挥。我们应该清醒地意识到，数学教学中每一种题型的教学，在教会学生一种方法的同时，虽然使学生达到解一类问题的目的，但也容易导致学生在处理问题时形成思维定势。因此，在教学过程中，教师必须不断打破学生积淀在头脑中的习惯性思维，为学生创造性思维的充分发挥提供广阔的舞台。同时必须注意经常性地向学生提供新素材、新观点，促使学生对新材料、新问题进行分析、思考和解决。不断鼓励学生敢于质疑， 善于质疑，大胆地向课本、教师、专家及权威质疑，对一些问题提出自己独特的见解，并敢于标新立异。 下面略举一例，说明非逻辑性思维的培养： 例：已知 cos4/cos2+sin4/sin2=1 ， 10 / 11 求证： cos4/cos2+sin4/sin2=1 。 分析 诚然，上述关系式皆十分整齐，但若欲找出已知条件与求证结论直接的逻辑关系却难上加难。怎么办呢？此时，应引导学生对条件结构的进一步认识。可以发现：原来，它酷似椭圆的标准方程。因此，可设想构造椭圆： x2/cos2+y2/sin2=1 。 易知，点 m(cos2,sin2) 、 N(cos2a， sin2a)均在椭圆上， 且在过 m 点的切线为 x+y=1上，而点 N 也在切线 x+y=1上， 由切点的唯一性可知： m、 N 两点重合。 cos2a=cos2 ， sin2a=sin2. 从而cos4/cos2+sin4/sin2=cos2+sin2=1 。 以上通过构造解析模型，利用点的坐标、曲线方程的有关性质探寻条件与结论之间的隐含关系，曲中有直，巧中藏妙！ 当然，此类典型的非逻辑性问题，并无 “ 通法 ” 可以解决，必须具体问题具体分析，方能独辟蹊径以至曲径通幽，我们在平时的教学中要逐步培养学生自编改造题，为培养创造性思维的跃进性做好准备 经过十多年的教学实践，本人虽然走了一些弯路，但也11 / 11 在不断的实践、探索中，寻找教学规律，总结并形成了自