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文档简介

一.方阵的特征值与特征向量,二.相似矩阵及其性质,三.矩阵可对角化的条件,四.实对称矩阵的对角化,第四章矩阵的特征值与特征向量,1.特征值与特征向量的定义,定义1:,注：,设是阶方阵，,若数和维非零列向量，使得,成立，则称,是方阵的一个特征值，,为方阵的对应于特征值的一个特征向量。,1.定义2.求法3.性质,（2）特征向量是非零列向量,（4）一个特征向量只能属于一个特征值,（3）方阵的与特征值对应的特征向量不唯一,是方阵,一.方阵的特征值与特征向量,问题：单位矩阵的特征值和特征向量？,或,或,是关于的一个多项式，称为矩阵的特征多项式。,2.特征值与特征向量的求法,称为矩阵的特征方程。,求特征值、特征向量：,把得到的特征值代入上式，,即为所求特征向量。,求出即为特征值;,解：,第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值.,解：,第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值.,特征值为,系数矩阵,自由未知量:,令得基础解系:,解：,解：,第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值.,特征值为,系数矩阵,自由未知量:,令得基础解系:,得基础解系,特征值的重数k对应的线性无关的特征向量的个数,？,若可逆，则的特征值是,的特征值是,且仍然是矩阵,分别对应于的特征向量。,为x的多项式，则的特征值为,3.特征值和特征向量的性质,的特征值是,称为矩阵A的迹。（主对角元素之和）,性质3：幂等矩阵的特征值只有0或1。,例：,例：设,解：（1）,设为矩阵的特征值，求的特征值；,若可逆，求的特征值。,求：（1）的特征值和特征向量。,（2）求可逆矩阵，使得为对角阵。,得,自由未知量:,得基础解系,取,存在,本题启示:,问题：矩阵是否唯一？矩阵是否唯一？,2.提供了一种求的方法.,则,定理：设是方阵的个特征值，,依次是与之对应的特征向量。,如果各不相等，,则线性无关。,即，方阵的属于不同特征值的特征向量线性无关。,类推之，有,把上列各式合写成矩阵形式，得,等号左边第二个矩阵的行列式为Vandermonde行列式，,当各不相同时，该行列式的值不等于零，所以存在逆矩阵。,等号两边同时右乘它的逆矩阵，有,即,又因为为特征向量，,所以,线性无关。,推广,线性无关。,例,证,由题知,反证,同一特征值的特征向量的线性组合仍是这一特征值的特征向量,分属不同特征值的特征向量的线性组合不是特征向量,定义：矩阵的主对角线元素之和，就称为矩阵的迹。,.矩阵的迹,矩阵的迹的性质:,特征值与特征向量
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