导数题型归纳总结

1 / 105 导数题型归纳总结 导数题型归纳总结 函数 f(x)在 x0处的导数： f?(x0) =lim?x?0f(x0?x)?f(x0)?y=lim ?x?x?0?x 函数 y=f 在点 x0 处的导数的几何意义是在该点处的切线的斜率即 k?f?(x0) 求切线方程：先用导数求斜率，再用点斜式求出切线方程；切点既在直线上又在曲线上 注：(x1,y1)要先设切点 (x0,f(x0)，用 k=f?(x0)?y1?f(x0) x1?x0 21、若曲线 y?x?ax?b 在点 (0,b)处的切线方程是 x?y?1?0，则 a?b?232、若存在过点 (1,0)的直线与曲线 y?x 和y?ax?15x?9都相切，则 a=4 3 、已知 y?x?2x ， 则 过 原 点 (0,0) 的 切 线 方 程 是 32 2 / 105 34、 已知 f(x)?x?3x，过点 A(1,m)(m?2)可作 y?f(x)的三条切线，则 m的范围是 ， ?1)的切线方程 5、求过曲线 y?x3?2x 上的点 (1 注：过曲线上一点的切线，该点未必是切点 6、【 2016 辽宁】已知 P,Q 为抛物线 x2=2y 上两点，点 P,Q的横坐标分别为 4， ?2，过 P,Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点 A，则点 A 的纵坐标为 (A) 1 (B) 3 (C) ?4 (D) ? 8 y?0单调递增； y?0单调递减 极值问题：左升右降有极大值；左降右升有极小值；极值点的左右两侧 f?(x)的符号相反； f?(x)=0 的点不一定是极值点，但极值点一定满足f?(x)=0； 求函数极值的步骤： 确定函数的定义域； 求导数，令f?(x)=0，找出所有的驻点； 检查驻点左右的符号，左正3 / 105 右负有极大值，左负右正有极小值； 函数 f(x)在 ?a,b?上连续，则 f(x)在极值点或端点处取得最值 1、函数 f(x)?(x?3)e 的单调递增区间是 x ( ) A. (?,2) B.(0,3) C.(1,4) D. (2,?) 2、要使函数 f(x)?x2?3(a?1)x?2 在区间 (?,3上是减函数，求实数 a 的取值范围。 2f(x)?lnx?a(1?a)x?2(1?a)x 的单调性 a?03、【 2016 广东】设 ,讨论函数 4、【 2016 辽宁】函数 y= A (?1,1 12x? x 的单调递减区间为 2B (0,1 C 1,+) D (0,+) 基础题： 1、求 f?x?13x?4x?4 在 ?0,3? 3 4 / 105 综合题 1、设函数 f(x)?x3?ax2?a2x?m (a?0) 若 a?1时函数 f(x)有三个互不相同的零点，求 m的范围； 若函数 f(x)在 ?1,1?内没有极值点，求 a 的范围； 若对任意的 a?3,6?，不等式 f(x)?1 在 x?2,2?上恒成立，求实数 m 的取值范围 . 2、设函数 f(x)?13x?2ax2?3a2x?b， (0?a?1,b?R) 3 4 若当 x?a?1,a?2?时，恒有 f?(x)?a，试确定 aa 323 、【 2016 浙 江 】 已 知 函 数 f(x)?x?(1?a)x?a(a?2)x?b (a,b?R) 若函数 f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是 ?3，求a,b的值； 若函数 f(x)在区间 (?1,1)上不单调，求 a的取值范围 4、已知函数 f(x)=ax? 5 / 105 若在区间 ? 5、【 2016 湖北】设函数 f， gx，其中 x?R， a、b()x?x?2ax?bx?a()?x?3x?2 为常数，已知曲线 y?f(x)与 y?g(x)在点处有相同的切线 l。 (I) 求 a、 b 的值，并写出切线 l的方程； (II)若方程 f()有三个互不相同的实根 0、 x、 x，其中 x1?x2，且对任意的 x?g()x?mx322332x?1(x?R)，其中 a?0. 2?11?,?上， f(x)?0恒成立，求 a 的取值范围 . 22? x?x恒成立，求实数 m的取值范围。 ()?g()x?m(x?1)1,x2?，fx 326、已知函数 f(x)?x?ax?x?1， a?R设函数 f(x)在区间 ?， ?内是减函数， ?2 ?31?3? 求 a 的取值范围 4 6 / 105 1、当 x?0，求证： e?1?x x 2、设函数 f(x)?x?(x?1)ln(x?1)(x?1). 求 f(x)的单调区间；证明：当 n?m?0 时， (1?n)m?(1?m)n 本类问题主要是命 题人经常考查的一类如 nam?b，一般两边同时取自然对数， mlna?nlnb，再利用函数单调性，可能还需要构造函数 函数图像 1、【 2016 重庆】设函数 f(x)在 R 上可导 ,其导函数 f?(x),且函数 f(x)在 x?2 处取得极小 值 ,则函数 y?xf?(x)的图象可能是 导数的基础知识 一导数的定义： 7 / 105 1.(1).函数 y?f(x)在 x?x0处的导数 :f(x0)?y|x?x?lim f(x0?x)?f(x0) ?x ?x?0 (2).函数 y?f(x)的导数 :f(x)?y?lim ?x?0 f(x?x)?f(x) ?x ?y?x 2.利用定义求导数的步骤： 求函数的增量： ?y?f(x0?x)?f(x0)； 求平均变化率： 取极限得导数： f(x0)?lim 8 / 105 ?y?x ? f(x0?x)?f(x0) ?x ； ?x?0 二、导数的运算： 基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式： C?0(C为常数 )； (x)?nx n n?1 9 / 105 ； ( 1x n m )?(x x ?n )? nx x ?n?1 10 / 105 ； ?(x)? x n mn m x n ?1 (sinx)?cosx ； (cosx)?sinx (e)?e (a)?alna(a?0, 且 a?1)； (lnx)? 1 11 / 105 xxlna 法则 1： f(x)?g(x)?f(x)?g(x)； (口诀：和与差的导数等于导数的和与差 ). x ； (logax)? 1 (a?0,且 a?1) 法则 2： f(x)?g(x)?f(x)?g(x)?f(x)?g(x)(口诀：前导后不导相乘，后导前不导相乘，中间是正号 ) 法则 3： f(x)g(x) ? f(x)?g(x)?f(x)?g(x) 12 / 105 g(x) 2 (g(x)?0) (口诀 ：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号 ) 复合函数 y?f(g(x)的导数求法： 换 元 ， 令 u?g(x) ，则 y?f(u) 分 别 求 导 再 相 乘y?g(x)?f(u)? 回代 u?g(x) 题型一、导数定义的理解 题型二：导数运算 1、已知 f ?x? x x?2x?sin?，则 f 2 ?0? 13 / 105 2、若 f?x? 10 esinx ，则 f 13 ?x? (x)=ax3+3x2+2 ， f?(?1)?4，则 a= 33 三导数的物理意义 A. 14 / 105 B. 1.求瞬时速度：物体在时刻 t0时的瞬时速度 V0就是物体运动规律 S?f?t?在 t?t0 时的导数 f?t0?， 即有 V0?f?t0?。 / s(t) 表示即时速度。 a=v(t) 表示加速度。 四导数的几何意义： 函数 f?x?在 x0 处导数的几何意义，曲线 y?f?x?在点P?x0,f?x0?处切线的斜率是 k?f?x0?。于是相应的切线方程是： y?y0?f?x0?x?x0?。 题型三用导数求曲线的切线 注意两种情况： 曲线 y?f?x?在点 P?x0,f?x0?处切线：性质： k切线 ?f?x0?。相应的切线方程是： y?y0?f?x0?x?x0? 曲线 y?f?x?过点P?x0,y0?处切线：先设切点，切点为 Q(a,b) ,则斜率k=f(a)，切点 Q(a,b) 在曲线 y?f?x?上，切点 Q(a,b)在切线 y?y0?f?a?x?x0?上，切点 Q(a,b)坐标代入方程得关于a,b的方程组，解方程组来确定切点，最后求斜率 k=f(a)，15 / 105 确定切线方程。 例题在曲线 y=x3+3x2+6x-10 的切线中，求斜率最小的切线方程； 解析： k?y|x?x?3x02?6x0?6?3(x0?1)2?3 当 x0=-1时， k有最小值 3， 此时 P 的坐标为故所求切线的方程为 3x-y-11=0 五函数的单调性：设函数 y?f(x)在某个区间内可导， f(x)?0?f(x)该区间内为增函数； f(x)?0?f(x)该区间内为减函数； 注意：当 f(x)在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正时， f(x)在这个区间上仍是递增的。 f(x)在该区间内单调递增 ?f(x)?0 在该区间内恒成立； f(x)在该区间内单调递减 ?f(x)?0 在该区间内恒成立； 题型一、利用导数证明函数 f(x)在某一区间上单调性： 步骤： 求导数 y?f?(x) (2)判断导函数 y?f?(x)在区间上的符号 (3)下结论 16 / 105 f(x)?0?f(x) 该区间内为增函数； f(x)?0?f(x) 该区间内为减函数； 题型二、利用导数求单调区间 求函数 y?f(x)单调区间的步骤为： 分析 y?f(x)的定义域； 求导数 y?f?(x) 解不等式f?(x)?0，解集在定义域内的部分为增区间 解不等式f?(x)?0，解集在定义域内的部分为减区间 题型三 、利用单调性求参数的取值 思路一 .f(x)在该区间内单调递增 ?f(x)?0 在该区间内恒成立； f(x)在该区间内单调递减 ?f(x)?0 在该区间内恒成立； 思路二 .先求 出函数在定义域上的单调增或减区间，则已知中限定的单调增或减区间是定义域上的单调增或减区间的子 17 / 105 集。 注意：若函数 f在上为减函数，在上为增函数，则 x=c两侧使函数 f?变号，即 x=c为函数的一个极值点，所以 f(c)?0 例题若函数 f(x)? lnxx ，若 a?f(3),b?f(4),c?f(5)则 ( ) A. a 六、函数的极值与其导数的关系： 1. 极值的定义：设函数 f(x)在点 x0 附近有定义，且若对x0附近的所有的点都有 f(x)?f(x0)值， x0为极大值点。 可导数 f(x)在极值点，但函数 f(x)在某点 x0处的导数为 0，并不一定函数 f(x)在 x0处的导数为 0 3 该处取得极值。 求极值的步 骤： 第一步：求导数 f(x)； 18 / 105 第二步：求方程 f(x)?0的所有实根； 第三步：列表考察在每个根 x0附近，从左到右，导数 f(x)的符号如何变化， 若 f(x)的符号 由正变负，则 f(x0)是极大值； 若 f(x)的符号由负变正，则 f(x0)是极小值； 若 f(x)的符号不变，则 f(x0)不是极值， x0不是极值点。 2、函数的最值： 最值的定义：若函数在定义域 D 内存 x0，使得对任意的x?D，都有 f(x)?f(x0)，则称 f(x0)为函数的最大值， 记作ymax?f(x0) 如果函数 y?f(x)在闭区间 a,b上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在闭区间 a,b上必有最大值和最小值。 求可导函数 f(x)在闭区间 a,b上的最值方法： 第一步；求 f(x)在区间 a,b内的极值； 第二步：比较 f(x)的极值与 f(a)、 f(b)的大小： 第三步：下结论 :最大的为最大值，最小的为最小值。 19 / 105 注意： 1、极值与最值关系：函数的最值是比较整个定义域区间的函数值得出的，函数的最大值和最小值点可以在极值 点、不可导点、区间的端点处取得。极值 最值。函数 f(x)在区间 a,b上的最大值为极大值和 f(a) 、 f(b)中最大的一个。最小值为极小值和 f(a) 、 f(b)中最小的一个。 2函数在定义域上只有一个极值，则它对应一个最值 3、注意：极大值不一定比极小值大。如 f(x)?x? / / 1x 的极大值为 ?2，极小值为 2。 注意：当 x=x0时，函数有极值 ? f(x0) 0。但是， f(x0)0 不能得到当 x=x0 时，函数有极值； 判断极值，还需结合20 / 105 函数的单调性说明。 题型一、求极值与最值 题型二、导数的极值与 最值的应用 题型四、导数图象与原函数图象关系 导函数 原函数 f(x)的符号 f(x)单调性 f(x)与 x 轴的交点且交点两侧异号 f(x)极值 f(x)的增减性 f(x)的每一点的切线斜率的变化趋势 f(x)的增 f(x)的每一点的切线斜率增大 f(x)减 f(x)的每一点的切线斜率减小 例 1. 已知 f(x)=e-ax-1. 求 f(x)的单调增区间； 若 f(x）在定义域 R内单调递增，求 a 的取值范围； 是否存在 a,使 f(x)在上单调递增？若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由 . 解： 21 / 105 f?(x) x =e-a. 若 a0 ， x x x f?(x) =e-a0 恒成立，即 f(x)在 R 上递增 . x 若 a0,e-a 0, e a,x lna. f(x)的单调递增区间为(lna,+ ). 22 / 105 f 在 R内单调递增， x x f?(x) 0 在 R上恒成立 . x x e-a 0，即 a e 在 R 上恒成立 . a min，又 e0， a 0. 由题意知， x=0为 f(x)的极小值点 . 3 2 f?(0) 23 / 105 =0,即 e-a=0, a=1. 23 例 2. 已知函数 f(x)=x+ax+bx+c,曲线 y=f(x）在点 x=1处的切线为 l:3x-y+1=0，若 x=时， y=f(x）有极值 .求 a,b,c 的y=f(x）在 -3， 1上的最大值和最小值 . 解 由f(x)=x+ax+bx+c,得 3 2 f?(x) =3x+2ax+b, 2 当 x=1 时 ， 切 线 l 的斜率为 3 ， 可 得 2a+b=0 当 x=时， y=f(x)有极值，则 24 / 105 32 ?2?f?3? =0,可得 4a+3b+4=0 由解得 a=2,b=-4.由于切点的横坐标为 x=1, f(1)=4.1+a+b+c=4. c=5. 由可得 f(x)=x+2x-4x+5, 3 2 f?(x) =3x+4x-4, 2 f?(x) 25 / 105 =0,得 x=-2,x=. 3 2 当 x 变化时 ， y,y的取值及变化如下表： x -3 (-3,-2) + 单调递增 -2 0 13 2? ?2,? 3? 26 / 105 23 ?2? ?,1?3? 1 4 y y 8 - 单调递减 9527 + 单调递 增 9527 27 / 105 . y=f在 -3， 1上的最大值为 13，最小值为 例 3.当 x?0，证明不等式证明： f(x)?ln(x?1)? x1?x ?ln(1?x)?x. x(1?x) 2 x1?x ， g(x)?ln(x?1)?x，则 f?(x)?， x1?x ?0， 28 / 105 当 x?0 时。 ?f(x)在 ?0,?内是增函数， ?f(x)?f(0)，即ln(1?x)?又 g?(x)? ?x1?x ，当 x?0 时， g?(x)?0， ?g(x)在 ?0,?内是减函数， ?g(x)?g(0)，即 ln(1?x)?x?0，因 x1?x ?ln(1?x)?x 成立 . x1?x 此，当 x?0时，不等式 点 评 ： 由 题 意 构 造 出 两 个 函数 f(x)?ln(x?1)? ，g(x)?ln(x?1)?x. 利用导数求函数的单调区间或求最值，从而导出是解决本题的关键 . 29 / 105 七定积分求值 1定积分的概念 设函数 f(x)在区间 a,b上连续，则 ?f(x)dx?lim ab n n? ?f? i i?1 b?an n 30 / 105 n 等分区间 ?a,b?； 2.用定义求定积分的一般方法是：分割：近似代替：取点 ?i?xi?1,xi?；求和： ? i?1 b?an f(?i)； 取极限： ?f(x)dx?lim a b n n? ? i?1 31 / 105 f?i? b?an 0,S? ba 3.曲边图形面积： f?x?0,S? t2t1 ? ba f ?x?dx； f?x? f 32 / 105 ?x?dx 在 x 轴上方的面积取正，下方的面积取负 变速运动路程S? 4定积分的性质 性质 1 ?kf(x)dx?k?f(x)dx a a b b ? v(t)dt； 变力做功 W? 33 / 105 ? ba F(r)dr 性质 2 ?f1(x)?f2(x)dx? ab c b ? bab f1(x)dx? ? 34 / 105 ba f2(x)dx 性质 3 ?f(x)dx? a ? a f(x)dx? ? c f(x)dx(其中 a?c?b) b 35 / 105 b 5.定理 函数 F(x)是 a,b上 f(x)的一个原函数，即f(x)?F?(x)则 ?f(x)dx?F(x)|a?F(b)?F(a) a 导数各种题型方法总结 关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量； 2 变更主元； 3 根分布； 4 判别式法 5、二次函数区间最值求法： 对称轴与定义域的关系 端点处和顶点是最值所在 分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决不等式恒成立问题以及充分应用数形结合思想，创建不等关系求出取值范围。 同学们在看例题时，请注意寻找关键的等 价变形和回归的基础 36 / 105 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令 f(x)?0 得到两个根； 第二步：画两图 或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种： 第一种：分离变量求最值 -用分离变量时要特别注意是否需分类讨论 第二种：变更主元 -； 例 1：设函数 y?f(x)在区间 D 上的 导数为 f?(x)， f?(x)在区间 D 上的导数为 g(x)，若在区间 D 上， g(x)?0 恒 2 成立，则称函数 y?f(x)在区间 D 上为凸函数，已知实数m 是常数， f(x)?x 37 / 105 4 3 3x12 ? mx6 ? 2 若 y?f(x)在区间 ?0,3?上为凸函数，求 m的取值范围； 若对满足 m?2 的任何一个实数 m，函数 f(x)在区间 ?a,b?上都为凸函数，求 b?a的最大值 . 解 :由函数 f(x)? x 38 / 105 4 mx3 2 2 12 ? 6 ? 3x2 得 f?(x)? x 39 / 105 3 mx3 ? 2 ?3x ?g(x)?x2 ?mx?3 ?y?f(x)在区间 ?0,3?上为凸函数， 则 ?g(x)?x2 ?mx?3?0 在区间 0,3上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于 gmax(x)?0 ( 来自 : 海 达 范 文 网 : 导 数 题 型 归 纳 总40 / 105 结 ) ?g(0) ?0? 0?30 ?g(3) ?m3?3?0 m?2 ?9 解法二：分离变量法： 当 x?0时 , ?g(x)?x2 ?mx?3?3?0 恒成立 , 当 0?x?3 时 , g(x)?x2?mx?3?0 恒成立 2 41 / 105 等价于 m? x?3x ?x? 3x 的最大值恒成立， 而 h(x)?x? 3x 是增函数，则 hmax(x)?h(3)?2 ?m?2 (2)当 m?2 时 f(x)在区间 ?a,b?上都为凸函数 则等价于当 m?2时 g(x)?x2 42 / 105 ?mx?3?0 恒成立 变更主元法 再等价于 F(m)?mx?x2 ?3?0在 m?2 恒成立 2 ?F(?2)? 0?x2?x?3? ?0?F(2)?0 ?1?x?1 ?2x?x2 ?3?0 ?b?a?2 43 / 105 例 2：设函数 f(x)? 13 2 3 x?2ax 2 ?3ax?b(0?a?1,b?R) 求函数 f 的单调区间和极值； 若对任意的 x?a?1,a?2,不等式 f?(x)?a恒成立，求 a 的取值范围 . 解： f?(x)?x2?4ax?3a2 44 / 105 ?x?3a?x?a? ?0?a?1 导数压轴题型归类总结 目 录 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 二、交点与根的分布 三、不等式证明 作差证明不等式 变形构造函数证明不等式 替换构造不等式证明不等式 四、不等式恒成立求字母范围 恒成立之最值的直接应用 恒成立之分离常数 恒成立之讨论字母范围 45 / 105 五、函数与导数性质的综合运用 六、导数应用题 七、导数结合三角函数 书中常用结论 sinx?x,x?(0,?)，变形即为点连线斜率小于 1. ex?x?1 x?ln(x?1) lnx?x?ex,x?0. sinx ?1，其几何意义为 y?sinx,x?(0,?)上的的点与原 x 1 一、导数单调性、极值、最值的直接应 用 1. 设函数 f(x)?x2?a. 当 a?1时，求函数 g(x)?xf(x)在区间 0,1上的最小值； 当 a?0时，曲线 y?f(x)在点 P(x1,f(x1)(x1?a)处的切线为46 / 105 l， l 与 x轴交于点 A(x2,0)求证： x1?x2?a. 解： (1)a?1时， g(x)?x3?x，由 g?(x)?3x2?1?0，解得 x?3 . 3 32时， g(x)有最小值 g()?. 339 (2)证明：曲线 y?f(x)在点 P(x1,2x12?a)处的切线斜率k?f?(x1)?2x1 所以当 x? 曲线 y?f(x)在点 P处的切线方程为 y?(2x12?a)?2x1(x?x1). x?ax?aa?x1 ?x1? 令 y?0，得 x2?1， x2?x1?1 2x12x12x1a?x1 47 / 105 ?0，即 x2?x1. x1?a， 2x1 2 x1x1?ax1xaaa ?21?a 又 ?， x2? 22x12x122x122x1 222 2 所以 x1?x2?a. 2. 已知函数 f(x)?(x2?ax?2a2?3a)ex(x?R),其中 a?R 当 a?0时，求曲线 y?f(x)在点 (1,f(1)处的切线的斜率； 48 / 105 当 a? 2 时，求函数 f(x)的单调区间与极值 . 3 2 x 2 x 解：本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。 当 a?0 时， f(x)?xe， f(x)?(x?2x)e，故 f(1)?3e. 所以曲线 y?f(x)在点 (1,f(1)处的切线的斜率为 3e. 49 / 105 f(x)?x2?(a?2)x?2a2?4aex. ? 令 f(x)?0，解得 x?2a，或 x?a?2.由 a? 以下分两种情况讨论： 2 知， ?2a?a?2. 3 2 若 a 2 ，则 ?2a a?2.当 x 变化时， f(x)， f(x)的变化情况如下表： 50 / 105 3 所以 f(x) 函数 f(x)在 x?2a 处取得极大值 f(?2a)，且f(?2a)?3ae?2a. 函数 f(x) 在 x?a?2 处 取 得 极 小 值 f(a?2) ，且f(a?2)?(4?3a)ea?2. 2 若 a，则 ?2a a?2，当 x变化时， f(x)， f(x)的变化情况如下表： 3 所以 f(x)函数 f(x)在 x?a?2 处取得极大值 f(a?2)，且f(a?2)?(4?3a)ea?2. 函数 f(x)在 x?2a 处取得极小值 f(?2a)，且 f(?2 a)?3 51 / 105 ae?2a. 12 x?2ax,g(x)?3a2lnx?b. 2 设两曲线 y?f(x)与 y?g(x)有公共点，且在公共点处的切线相同，若 a?0，试建立 b 关于 a 的函数关系式，并求 b 的最大值； 若 b?0,2,h(x)?f(x)?g(x)?(2a?b)x在 (0,4)上为单调函数，求 a 的取值范围。 3. 已知函数 f(x)? 3 4. a. x (1)当 a0时，判断 f(x)在定义域上的单调性； 52 / 105 3 (2)若 f(x)在 1,e上的最小值为，求 a的值 . 2 已知函数 f(x)=lnx 解： (1)由题得 f(x)的定义域为 (0, )，且 f (x) 1ax?a . 2 2 xxx a0， f (x)0，故 f(x)在 (0, )上是单调递增函数 . (2)由 (1)可知： f (x) x?a 53 / 105 ， 2 x 若 a 1，则 x a 0，即 f (x) 0 在 1,e上恒成立，此时 f(x)在 1,e上为增函数， f(x)min f(1) a 33 ， a (舍去 ). 22 若 a e，则 x a 0，即 f (x) 0 在 1,e上恒成立，此时 f(x)在 1,e上为减函数， f(x)min f(e) 1 a3e ， a (舍去 ). e22 若 e 当 10， f(x)在 ( a,e)上为增函数， f(x)min f( a) ln( a) 1综上可知： a 5. 已知函数 f(x)?x?求 f(x)的单调区间； 54 / 105 若 f(x)在 0,?)上的最大值是 0，求 a 的取值范围 . 解：f?(x)? 3 ?a 2 12 ax?ln(1?x)，其中 a?R. 2 若 x?2是 f(x)的极值点，求 a的值； x(1?a?ax) ,x?(?1,?). x?1 55 / 105 11 依题意，令 f?(2)?0，解得 a?. 经检验， a?时，符合题意 . 33 4 解： 当 a?0时， f?(x)? x. x?1 故 f(x)的单调增区间是 (0,?)；单调减区间是 (?1,0). 1 当 a?0时，令 f?(x)?0，得 x1?0，或 x2?1. a 当 0?a?1 时， f(x)与 f?(x)的情况如下： 56 / 105 所以， f(x)的单调增区间是 (0, ?1)；单调减区间是 (?1,0)和 (?1,?). aa 当 a?1 时， f(x)的单调减区间是 (?1,?). 当 a?1时， ?1?x2?0， f(x)与 f?(x)的情况如下： ?1)和 (0,?). a 当 a?0 时， f(x)的单调增区间是 (0,?)；单调减区间是(?1,0). 综上，当 a?0时， f(x)的增区间是 (0,?)，减区间是 (?1,0)； 11 当 0?a?1 时， f(x)的增区间是 (0,?1)，减区间是 (?1,0)和(?1,?)； aa 57 / 105 当 a?1时， f(x)的减区间是 (?1,?)； 11 当 a?1 时， f(x)的增区间是 (?1,0)；减区间是 (?1,?1)和(0,?). aa 由知 a?0 时， f(x)在 (0,?)上单调递增，由 f(0)?0，知不合题意 . 1 当 0?a?1 时， f(x)在 (0,?)的最大值是 f(?1)， a 1 由 f(?1)?f(0)?0，知不合题意 . 58 / 105 a 当 a?1时， f(x)在 (0,?)单调递减， 可得 f(x)在 0,?)上的最大值是 f(0)?0，符合题意 . 所以， f(x)在 0,?)上的最大值是 0 时， a 的取值范围是1,?). 所以， f(x)的单调增区间是 (?1,0)；单调减区间是 (?1, a 6. 5 导数及其应用 【考纲说明】 1、了解导数概念的某些实际背景；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。 59 / 105 2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。 3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 (导数在极值点两侧异号 )；会求一些实际问题 (一般指单峰函数 )的最大值和最小值。 【知识梳理】 一、导数的概念 ?y ?y=f f?x 叫做函函数 y=f(x),如果自变量 x 在 x0处 有 增 量 ?x ， 那 么 函 数 y 相 应 地 有 增 量 00 ，比值 ?yf(x0?x)?f(x0)?y ?x数 y=f 在 x0到 x0+?x之间的平均变化率，即 ?x=。如果当 ?x?0时， ?x有极限，我们 60 / 105 就说函数 y=f(x)在点 x0 处可导，并把这个极限叫做 f 在点x0处的导数，记作 f或 y |x?x0。 f(x0?x)?f(x0)?y limlim ?x?x?0?x 即 f=x?0。 说明： ?y?y 函数 f在点 x0处可导，是指 ?x?0时， ?x有极限。如果 ?x不存在极限， 就说函数在点 x0处不可导， 或说无导数。 61 / 105 ?x 是自变量 x 在 x0 处的改变量， ?x?0 时，而 ?y 是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f在点 x0处的导数的步骤： 求函数的增量 ?y=f f； ?yf(x0?x)?f(x0) ?x求平均变化率 ?x=； ?y 取极限，得导数 f (x0)=?x?0?x。 lim 二、导数的几何意义 函数 y=f 在点 x0处的导数的几何意义是曲线 y=f在点 p）处的切线的斜率。也就是说，曲线 y=f 在点 p）处的切线的斜率是 f。相应地，切线方程为 y y0=f/。 三、几种 常见函数的导数 xn?nxn?1;?C?0; (sinx)?cosx; 62 / 105 (cosx)?sinx; ? xxxx ? (e)?e; (a)?alna; ?lnx? 11 ?logax?logae x; x. 四、两个函数的和、差、积的求导法则 法则 1：两个函数的和 (或差 )的导数 ,等于这两个函数的导数的和 (或差 )， 63 / 105 u?v)?u?v. 即： ( 法则 2：两个函数的积的导数 ,等于第一个函数的导数乘以第二个函数 ,加上第一个函数乘以第二个函数的导数， (uv)?uv?uv. 即： (Cu)?Cu?Cu?0?Cu?Cu若 C为常数 ,则 .即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： (Cu)?Cu. 法则 3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方： ?u?uv?uv ? 64 / 105 ?v? =v2 。 形如 y=f?(x)?的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解 求导 回代。法则： y |x= y |u u |x 五、导数应用 1、单调区间： 一般地，设函数 y?f(x)在某个区间可导， f 如果 (x)?0，则 f(x)为增函数； f 如果 (x)?0，则 f(x)为减函数； f 如果在某区间内恒有 (x)?0，则 f(x)为常数； 2、极点与极值： 曲线在极值点处切线的斜率为 0，极值点处的导数为 0；曲65 / 105 线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正； 3、最值： 一般地，在区间 a， b上连续的函数 f(x)在 a， b上必有最大值与最小值。 求函数 ?(x)在 (a， b)内的极值； 求函数 ?(x)在区间端点的值 ?(a)、 ?(b)； 将函数 ?(x)的各极值与 ?(a)、 ?(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。 4定积分 (1)概念：设函数 f(x)在区间 a， b上连续，用分点 a x0 在每个小区间 xi 1， xi上取任一点 i作和式 In i 1 ?f n ( i) x，把 n 即 x 0 时，和式 In的极限叫做函数 f(x)在区间 a，b上的定积分，记作： a 66 / 105 ? b f(x)dx ，即 ? b a f(x)dx lim?f n? 67 / 105 i?1 n ( i) x。 这里， a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限，区间 a， b叫做积分区间，函数 f(x)叫做被积函数， x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积式。 基本的积分公式： 1m?1 x ?0dx C； ?xdx m?1 C； m 1 68 / 105 ?xdx lnx C； ?exdx ex C； ax xa?dx lna C； ?cosxdx sinx C； ?sinxdx cosx C。 (2)定积分的性质 b b ? ab kf(x)dx?k?f(x)dx a ba 69 / 105 ； ba ? ab f(x)?g(x)dx?f(x)dx?g(x)dxf(x)dx?f(x)dx?f(x)dx c c b ； a a (3)定积分求曲边梯形面积 70 / 105 ? ，及直线 x a， x 围成，那么所求图形的面积 S S曲边梯形 AMNB S 曲边梯形 DMNC a 面积 S?f(x)dx b b ? b 71 / 105 a f1(x)dx?f2(x)dx a b 。 【经典例题】 【例 1】曲线 y=x3-x+3在点 (1,3)处的切线方程：。 【解析】先对函数 y=x3-x+3 求导，得： y=3x2-1。代入点 (1,3)求出斜率， k=2。设切线方程为 y-3=2(x-1)，得切线方程为：y=2x+1。 【例 2】已知 P， Q为抛物线 x2=2y上两点，点 P，Q 的横坐标分别为 4， -2，过 P， Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点 A 的纵坐标为 。 【解析】抛物线变形为： y= 72 / 105 12 x。求导 y,=x。代入两点横坐标得出两切线的斜率分别为： 4，-2。点 P， Q 两点坐标 2 aInxb ?，曲线 y=f(x)在点 (1,f(1)处的切线方程为x+2y-3=0。 x?1x 为 (4,8)， (-2,2)。得出两切线为： y=4x-8， y=-2x-2。两直线交点为 (1,-4)。所以交点的纵坐标为 -4。 【例 3】已知函数 f(x)=(1)求 a， b 的值； (2)如果当 x0，且 x 1时， f(x) Inxk ?，求 k的取值范围。 x?1x a( 73 / 105 【解析】 (1)f,(x)= f(x)=1 b=1 故 即 解得 a=1， b=1。 11af,(1)=? ?b=? x?1 ?Inx) 1b由于直线 x+2y-3=0的斜率为，且过点 (1,1)， ? 2(x?1)2x2 2 74 / 105 lnxk1(k?1)(x2?1)lnx1 ?)?(2lnx?)。 (2)由知 ?，所以 f(x)?( x?1x1?x2xx?1x 22 (k?1)(x2?1)(k?1)(x2?1)?2x 考虑函数 h(x)?2lnx?。 (x?0)，则 h(x)? xx2 k(x2?1)?(x?1)2 (i)设 k?0，由 h(x)?知，当 x?1时， h(x)?0。而 h(1)?0，故 2 x 1 75 / 105 h(x)?0； 1?x2 1 当 x?时， h0 2 1?x 当 x?(0,1)时， h(x)?0，可得 lnxklnxk +） 0，即 f+. x?1xx?1x112 设 00,故 h 0,而 h=0，故当 x? 1?k1?k 1 时， h0，可得 h 1?x 76 / 105 1 设 k?1.此时 h 0,而 h=0，故当 x?时， h0，可得 h 1?x2 矛盾。综合得， k的取值范围为已知函数 f(x) = ，曲线 y= f(x)在点 -处的切线与 x 轴平行。 求 k 的值； 求 f(x)的单调区间； 设 g(x)=(x2+x) f(x),其中 f(x)为 f(x)的导函数，证明：对任意 x 0， g(x)?1?e。 ?2 1 ?k?lnx lnx?k1?k?【解析】由 f(x) = 可得，而，即 ?0，解得 k?1； f(x)?f(1)?0xx 77 / 105 eee 1 ?1?lnx f?(x)?，令 f?(x)?0 可得 x?1， x e 11 当 0?x?1 时， f?(x)?1?lnx?0；当 x?1时， f?(x)?1?lnx?0。 xx 于是 f(x)在区间 (0,1)内为增函数；在 (1,?)内为减函数。 1 ?1?lnx 78 / 105 1?x2?(x2?x)lnx2g(x)?(x?x)， ?xx ee 当 x?1时， 1?x?0,lnx?0,x?x?0,e?0， g(x)?0?1?e 2 2 x ?2 . 1 ?1?lnx 1?x2?(x2?x)lnx2 当 0?x?1时，要证 g(x)?(x?x)?1?e?2。 xx 79 / 105 ee 只需证 1?x?(x?x)lnx?e(1?e)，然后构造函数即可证明。 2 2 x ?2 【例 5】已知函数 f(x)? a(x?1) x2，其中 a?0. 求函数 f(x)的单调区间； 80 / 105 若直线 x?y?1?0是曲线 y?f(x)的切线，求实数 a的值； 2 g(x)?xlnx?xf(x)，求 g(x)在区间 1,e上的最大值 . 设 导数各种题型方法总结 请同学们高度重视： 首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量； 2 变更主元； 3根分布； 4判别式法 5、二次函数区间最值求法：对称轴 与定义域的关系 端点处和顶点是最值所在 其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决不等式恒成立问题以及充分应用数形结合思想，创建不等关系求出取值范围。 最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 81 / 105 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令f(x)?0 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种： 第一种：分离变量求最值 -用分离变量时要特别注意是否需分类讨论 第二种：变更主元 -； 例 1：设函数 y?f(x)在区间 D 上的导数为 f?(x)， f?(x)在区间 D 上的导数为 g(x)，若在区间 D 上， g(x)?0 恒成立，则称函数 y?f(x)在区间 D上为凸函数，已知实数 m 是常数，f(x)? x 82 / 105 4 12 ? mx6 3 ? 3x2 2 若 y?f(x)在区间 ?0,3?上为凸函数，求 m的取值范围； 若对满足 m?2 的任何一个实数 m，函数 f(x)在区间 ?a,b?上都为凸函数，求 b?a的最大值 . 83 / 105 解 :由函数 f(x)? 2 x 4 12 ? mx6 3 ? 3x2 2